П римеры решения задач

25. Даны множества А=1, 2; В=a, b. Найдите АВ, ВА.

Решение: АВ=(1,a), (1,b), (2,a), (2,b).

ВА=(a,1), (b,1), (a,2), (b,2).

26. Изобразить на плоскости декартово произведение множеств А и В.

А=xR| x[1,2]; В=yR| y[2,3].

Решение: см. рис. 5

АВ=(x,y)R²| xA, yB

Задачи для самостоятельного решения

27. Дано два множества А={x,y} и В={1,2,3}. Найдите декартовы произведения: АВ, ВА, ВВ, АА, ВАВ, АВА.

28. Изобразите на плоскости декартовы произведения множеств: АВ, ВА, ВВ.

    1. А={x | x[0;1]}; B={y | y(-1;1)};

    2. A={ x | xR и x²>1}; B={y | yR и y[1; )}.

29. Постройте множество А², если :

1. А= {0, 1};

2. A={x, y, z};

3. A={0, 2, 4, 6, 8};

4. A={1, 3, 5, 7};

5. A={день, ночь};

6. A={a, b, c, d}.

2.2.Отношения между множествами

2.2.1.Определение бинарных отношений

Рассмотрим два множества:

А=М1, М2, М₃,М₄ - множество точек; В=l₁, l₂, l₃ - множество прямых.

Зададим отношение  между точками и прямыми. Точки находятся в отношении  с прямой, если точка принадлежит прямой. Допустим, что M₂  l₁ и M₃  l₂. Обозначают M₂  l₁ или M₃  l₂. Пишут, что отношение включает в себя пары: =(M₂,l₁), (M₃,l₂).

Бинарным отношением (соответствием) между множествами А и В называется любое подмножество  декартова произведения множеств, то есть  АВ.

Например, пусть А – множество всех мужчин, а В – множество всех женщин. Тогда АВ – множество всевозможных пар. В этом множестве можно выделить подмножество супружеских пар, значит между исходными множествами А и В можно задать отношение  “быть супругами”.

Примеры решения задач

46. Пусть А=2, 8, 16, 18, а В=4, 6, 9, 12. Приведите примеры отношений между этими множествами.

Решение: 1. ₁=(16,6), (2,12) - множество пар чисел из А и В, оканчивающихся на одинаковую цифру,  АВ;

2. ₂=(8,4), (16,4), (18,6), (18,9) - множество пар чисел первое из которых, взятое из А, без остатка делится на второе из множества В.

46. Задайте бинарное отношение на множестве А=5,7,11,23, т.е.  АА=А².

Решение: Элементы множества А находятся в отношении , если их разность без остатка делится на 3.

=(5,11), (11,5) (5,23), (23,5), (11,23), (23,11), (5,5), (11,11), (23,23).

Задачи для самостоятельного решения

48. Р ассмотрим генеалогическое древо, изображенное на рисунке 7. Выпишите упорядоченные пары, находящиеся в следующих отношениях на множестве Р членов этой семьи:

    1. ={(x,y) | x – дедушка y}; b) φ={(x,y) | x – сестра y}.

49. Выпишите упорядоченные пары, принадлежащие следующим бинарным отношениям на множествах А={1,3,5,7} и В={2,4,6}:

    1.  ={(x,y) | x+y=9};

    2. φ ={(x,y) | x<y}.

50. Множество ={(х,у) | х – делитель у} определяет отношение на множестве А={1,2,3,4,5,6}. Найдите все упорядоченные пары, ему принадлежащие.

51. Для каждого из следующих отношений на множестве натуральных чисел N опишите упорядоченные пары, принадлежащие отношениям:

    1. ={(x,y) | 2x+y=9};

    2. ={(x,y) | x+y<7};

    3. ={(x,y) | y=x²};

    4. ={(x,y) | 4x=y²}.

52. Является ли множество пар  отношением, заданным на множестве М:

    1. ={(1,3), (3,3), (4,1)}, M={1,3,4};

    2. ={(1,1), (4,4)}, M={1,4};

    3. ={(4,6), (4,5), (5,4)}, M={4,5,6};

    4. ={(1,3,1), (0,1,3), (2,1,3)}, M={0,1,2,3};

    5. ={(1,3,1),(1,3,2), (0,3,1), (2,3,2), (3,2,2)}, M={0,1,2,3};

    6. ={(0,0), (,), (,), (,)}, M={0, , , }.