2.1.2.Операции над множествами

Объединением множеств А и В называется множество, которое состоит из тех и только тех элементов, которые содержатся хотя бы в одном их множеств А или В. Объединение множеств обозначают АВ.

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые содержатся как во множестве А, так и во множестве В. Пересечение множеств обозначают АВ.

Разностью множеств А и В называют множество, состоящее из элементов, которые содержатся в множестве А и не содержатся в множестве В. Разность множеств А и В обозначают как А\В.

Симметрической разностью множеств А и В называют множество, состоящее из элементов, которые содержатся в одном из этих множеств и не содержатся в другом. Симметрическую разность обозначают АВ.

Из определения симметрической разности множеств следует, что А∆В=(А\В)  (В\А) и А∆В=(АВ) \ (АВ).

Дополнением множества А называется универсальное множество, не включающее элементы исходного множества. Дополнение множества А обозначают Ā. По определению Ā=U\А.

Примеры решения задач

17. Заданы два множества. Выполните над ними все известные операции.

А=x| xR и 1x3, B=x| xR и 2x4.

Решение: AB=x|xR и 1x4; AB=x|xR и 2x3;

A\B=x|xR и 1x<2; A∆B=x|xR и 1x<2 и 3<x4;

Ā=x|xR и x<1 и x>3;

18. Пусть А – множество всех женщин, универсальное множество U – множество всех людей. Тогда Ā – это множество всех мужчин.

Задачи для самостоятельного решения

19. Опишите на словах элементы следующих множеств: АВС; (АВ) .

20. Пусть А={1,3,5,7}; В={2,4,6,8}; С={1,2,3,4,5}. Найдите: .

21. Пусть U={1,2,3,4}; A={1,3,4}; В={2,3}, С={1,4}. Найдите:

22. Изобразите на числовой прямой пересечение, объединение и разность следующих множеств: X₁=x|xR и x²-10} и X₂={x| |x|<1.

23. Выполните все известные вам операции над заданными множествами:

    1. А={1,2,3,4}; В={1,3,5}; С={5,6}.

    2. А={a,b,d}; В={b,d,e,h}; U={a,b,c,d,e,f,g,h}.

    3. А={2,4,6,8}; В={3,6,9}; С={1,2,3,…,10}.

24. В качестве универсального множества данной задачи зафиксируем U={p,q,r,s,t,u,v,w}. Пусть А={p,q,r,s}, В={r,t,v}, С={p,s,t,u}. Найдите элементы следующих множеств:

1. ВС;

2. АС;

3. ;

4. АВС;

5. ;

6. ;

7. ;

8. В\С.

2.1.3.Прямое произведение множеств

Прямым (декартовым) произведением двух множеств А и В называется совокупность всех упорядоченных пар, первый элемент которых принадлежит А, а второй принадлежит В. Обозначают АВ.

Говоря об упорядоченной паре, имеют ввиду, что два объекта расположены в определенном порядке. Один из них считается первым, другой – вторым.

Декартово произведение множества само на себя (случай когда А=В) обозначают А².

В общем случае, АВВА. Но если А=В или одно из множеств пусто, то АВ=ВА.

Рассмотрим множество действительных чисел R. Известно, что точка на плоскости может быть задана упорядоченной парой координат. Тогда декартово произведение RR=R² определяет плоскость координат. Если А и В подмножества множества R (т. е. АR и ВR), то АВ можно изобразить на плоскости.