Задачи для самостоятельного решения

110. Введите в схему Фибоначчи «бит переноса», который может иметь начальные значения 0 или 1, постройте генератор сложения с переносом и получите последовательность псевдослучайных чисел.

7.3.3.Понятие линейной последовательности

Определение. Пусть k - натуральное число, а,а₀,а₁,…,а_k-1 - заданные элементы конечного поля F_q. Последовательность s₀,s₁,… элементов поля F_q., удовлетворяющая соотношению s_n+k=a_k-1s_n+k-1+a_k-2s_n+k-2+…+a₀s_n+a, n=1,2,… называется линейной рекуррентной последовательностью (ЛРП) k - го порядка над полем F_q.

Первые члены s₀,s₁,…s_k-1 однозначно определяют всю последовательность и называются начальными значениями. Будем считать, что линейное рекуррентное соотношение k - го порядка (k - го порядка над полем F_q) называется однородным, если а=0, в противном случае - неоднородным.

В практическом плане линейные рекуррентные последовательности реализуются на базе современных компьютерных систем, работающих на основе двузначной логики. Все числовые данные в ЭВМ представляются с помощью элементов двух типов 0 и 1. Т.е. вся обработка информации осуществляется на основе элементов простого конечного поля F₂ или его расширений F_2N. Реализация линейных рекуррентных последовательностей над полем F₂ может быть достаточно просто осуществлена на основе регистров сдвига с обратной связью. Пусть у нас имеется однородное линейное рекуррентное соотношение вида (т.е. порядка k=4): s_n+4=a₃s_n+3+a₂s_n+2 +a₁s_n+1+a₀s_n, a₀=a₁=a₂=a₃=1. Тогда его реализация на основе регистра сдвига из k=4 разрядов с обратной связью будет иметь вид:

Рис. 96

Если какой либо из коэффициентов a₁,a₂,a₃ равен нулю, то соответствующий сумматор  из цепи обратной связи исключается.

Нетрудно видеть, что под действием тактовых импульсов в моменты времени n=1,2,… на выходе регистра происходит генерация последовательности s_n,s_n+1,s_n+2,… Вектор {s_n,s_n+1,s_n+2,…s_n+k-1} - это вектор n - го состояния регистра. При n=0 - это вектор начального состояния.

Примеры решения задач

110. Запишите линейную рекуррентную последовательность 4 порядка над полем F_q.

Решение. Если порядок k=4, тогда имеем линейную рекуррентную последовательность 4 порядка над полем F_q вида: s_n+4=a₃s_n+3+a₂s_n+2 +a₁s_n+1+a₀s_n+a.

Задачи для самостоятельного решения

110. Запишите линейную рекуррентную последовательность 5 порядка над полем F₂.

111. Запишите однородную линейную рекуррентную последовательность 6 порядка над полем F₂, a₀=a₁=a₂=a₃=1. Зная вектор начального состояния {0,1,1,1,0,1}, вычислите s₆, s₇, s₈, s₉, s₁₀, s₁₁.

7.3.4. Периодичность линейных рекуррентных последовательностей

Пусть S - произвольное непустое множество, и пусть s₀,s₁,… последовательность элементов из множества S. Если существуют целые числа r>0 и n₀>0, такие что s_n+r=s_n для всех nn₀, то последовательность s₀,s₁,… называется периодической последовательностью, а r - периодом этой последовательности. Наименьший из всех возможных периодов называется минимальным периодом.

Периодическая последовательность s₀,s₁,… с минимальным периодом r называется чисто периодической, если равенство s_n+r=s_n выполняется при всех n=0,1,2,…

Рассмотрим теперь основные результаты о свойствах периодичности линейных рекуррентных последовательностей над конечными полями, т.к. для криптографических приложений желательно иметь ЛРП с как можно большим минимальным периодом r .

Теорема. Пусть F_q - произвольное конечное поле, k - некоторое натуральное число. Тогда каждая линейная рекуррентная последовательность k - го порядка над полем F_q является периодической. При этом ее минимальный период r удовлетворяет неравенству r q^k, а в случае однородной последовательности r q^k-1.

Из всех однородных линейных рекуррентных последовательностей над полем F_q удовлетворяющих соотношению k - го порядка, т.е. s_n+k=a_k-1s_n+k-1+a_k-2s_n+k-2+…+a₀s_n, можно выделить одну ЛРП с максимальным значением минимального периода r, которую называют импульсной функцией или ЛРП, порожденной импульсом. Эта последовательность обозначается d₀,d₁,… и определяется начальными значениями d₀=d₁=…=d_k-2=0, d_k-1=1 и линейным рекуррентным соотношением d_n+k=a_k-1d_n+k-1+a_k-2d_n+k-2+…+a₀d_n, (n=0,1,…).