Примеры решения задач

110. В поле многочленов GF(q(х)) по модулю неприводимого многочлена g(x)=х³+х+1 над числовым полем GF(2) составить таблицу неприводимых многочленов, записать порождающий многочлен, проверочный многочлен, каноническое разложение многочлена х⁷+1 и неканоническое в виде g(x)h(x).

Решение. g(x)=х³+х+1 – многочлен 3 степени, т.е. n=3. Характеристика числового поля р=2. Тогда q=2³=8, а неприводимый многочлен g(x)= , где с – примитивный корень.

Запишем в таблицу неприводимых многочленов напротив степеней многочлен g(x)=х³+х+1.

Выразим остальные степени через :

Обший вид многочлена g(х)=g₀+g₁х+g₂х²+g₃х³, т.е. g₀=1, g₁=1, g₂=0, g₃=1.

Воспользуемся формулами:

cⁿ=g₀+g₁c+g₂c²+…+g_n-1c^n-1,

cⁿ⁺¹=c cⁿ.

c³=g₀+g₁c+g₂c²=1+1 с+0 с=с+1;

с⁴= g₀c+g₁c²+g₂c³=1 с+1 с²+0 с³= с²+с;

с⁵= g₀c²+g₁c³+g₂c⁴=1 с²+1 с³+0 с⁴= с³+с²=с²+(с+1), т.к. c³=с+1;

с⁶= g₀c³+g₁c⁴+g₂c⁵=1 с³+1 с⁴+0 с⁵= с⁴+с³=(с²+с)+(с+1)=с²+1;

с⁷= g₀c⁴+g₁c⁵+g₂c⁶=1 с⁴+1 с⁵+0 с⁶= с⁵+с⁴=(с²+с+1)+(с²+с)=1;

сi	Выражение сi через :	gi(x)
c1	c	х3+х+1
c2	c2	х3+х+1
c3	с+1
c4	с2+с
c5	с2+с+1
c6	с2+1
c7	1

Ищем остальные неприводимые множители:

Пусть а=с³= с+1, тогда а²=(с³)² mod 7=c⁶= с²+1.

a⁴=(с³)⁴ mod 7=c^12-7=c⁵= с²+с+1.

Тогда можно записать = =(х²-х(c⁶+с³)+с⁹)(х-с⁵)=(х²-хс²-хс³)+с^9-7)(х-с⁵)=(х²-хс²-хс³+с²)(х-с⁵)=х³-х²с⁵-х²с⁶+хс⁶с⁵-х²с³+хс³с⁵+хс²-с⁷=х³-х²(с⁵+с⁶+с³)+х(с¹¹+с⁸+с²)-с⁷=х³-х²(с²+с+1+с²+1+с+1)+х(с²+с+с+с²)-с⁷= х³-х²-1. Следовательно, против корней 3, 5, 6 ставим неприводимый многочлен х³+х²+1.

Пусть а=с⁴= с²+с, тогда а²=(с⁴)² mod 7=c^8-7=с.

a⁴=(с⁴)⁴ mod 7=c^16-27=c².

Тогда можно записать = =(х²-хс-хс⁴+с⁵)(х-с²)=х³-х²с²-х²с+хсс²-х²с⁴+хс⁴с²+хс⁵-с⁷=х³-х²(с²+с+с⁴)+х(с³+с⁶+с⁵)-с⁷=х³-х²(с²+с+с²+с)+х(с+1+с²+1+с²+с+1)-с⁷= х³+х-1. Следовательно, против корней 1, 2, 4 ставим неприводимый многочлен х³+х+1. Число -1 mod 2=1.

Для с⁷ многочлен легко подобрать, нужен такой многочлен, чтобы при подстановке туда значения 1 получить ноль. Это х+1.

В итоге, получаем таблицу:

сi	Выражение сi через :	gi(x)
c1	c	х3+х+1
c2	c2	х3+х+1
c3	с+1	х3+х2+1
c4	с2+с	х3+х+1
c5	с2+с+1	х3+х2+1
c6	с2+1	х3+х2+1
c7	1	х+1

Каноническое разложение многочлена:

х⁷+1=(х+с)(х+с²)(х+с³)(х+с⁴)(х+с⁵)(х+с⁶)(х+с⁷).

Неканоническое (разложение на простые, неприводимые множители):

х⁷+1=(х³+х+1)(х³+х²+1)(х+1).

Разложение в виде двух сомножителей g(x) и h(x) выглядит так:

х⁷+1=(х³+х+1)(х⁴+х²+х+1).