Примеры решения задач

110. Определить кратные неприводимые множители многочлена f(x)=x⁵-15x³-10x²+60x+72 над полем Q.

Решение. f(x)=x⁵-15x³-10x²+60x+72

1. f ^/(x)=5x⁴-45x²-20x+60; НОД(f,f^/)=d₁=x³+x²-8x-12

d₁^/=3x²+2x-8; НОД(d₁,d₁^/)=d₂=x+2

d₂^/=1; НОД(d₂,d₂^/)=d₃=1

2. g=f/d₁=h₁= x²-x-6=(x-3)(x-2)

d₁/d₂=h₂= x²-x-6; d₂/d₃=h₃=x+2

h₄=1

3. h₁/h₂=1=x₁; h₂/h₃=x-3=x₂; h₃/h₄=x+2=x₃

f(x)=(x-3)²(x+2)³.

Задачи для самостоятельного решения

110. Определить кратные неприводимые множители многочлена над полем F₂.

а) f(x)=x¹⁰+x⁹+x³+x²+1;

б) f(x)=x⁵+x³+x²+x+1;

в) f(x)=x⁸+x⁷+x⁵+ x⁴+x³+ x+1.

7.2.2.Порядок многочлена над конечным полем

У каждого ненулевого многочлена f(x) над конечным полем кроме его степени deg(f(x)) имеется еще одна важная целочисленная характеристика – его порядок, обозначается ord(f(x)).

Порядок неприводимого многочлена можно определить, пользуясь следующей теоремой.

Теорема. Если f(x)F_q[x] неприводимый многочлен степени m над полем F_q, то его порядок ord(f(x)) делит число q^m -1.

Значения порядков многочленов играют важную роль при формировании линейных рекуррентных псевдослучайных последовательностей над конечными полями и кольцами, которые в свою очередь являются основой для создания поточных криптосистем.

Теорема. Пусть nN и g(x) – неприводимый многочлен над конечным полем характеристики P, такой что g(0)0. Тогда для многочлена вида f(x)=gⁿ(x) имеем

ord(f(x))=ord(gⁿ(x))=p^tord(g(x)),

где t – наименьшее целое число, для которого p^tn.

Теорема. Пусть g₁(x),...,g_k(x) – попарно взаимно простые ненулевые многочлены над полем F_q, и пусть f(x)=g₁(x)g₂(x)...g_K(x), тогда

ord(f(x))=ord(g₁(x))ord(g_K(x))=НОК(ord(g₁(x),...,ord(g_K).

Иными словами, порядок произведения попарно взаимно простых ненулевых многочленов равен наименьшему общему кратному порядков его сомножителей (многочленов).

Обобщить эти результаты можно теоремой.

Теорема. Пусть F_q конечное поле характеристики p. Если каноническое разложение в кольце F_q[x] многочлена f(x)F_q[x] положительной степени, такого что f(0)0, то

,

где t – наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству p^tmax{n₁,...,n_K}.

Примеры решения задач

110. Найдите порядок многочлена f(x)=x¹⁰+x⁹+x³+x²+1=(x²+x+1)³(x⁴+x+1) над полем F₂.

Решение. Т.к. ord(x²+x+1)=3 и имея ord(gⁿ(x)=p^tord(g(x)), получаем, что ord((x²+x+1)³)=2²3=12 т.к. у нас F₂ т.е. p=2 и t=2 чтобы 2²>3). Далее ord(x⁴+x+1)=15. Тогда ord(f(x))=НОК(12,15)=60.

Задачи для самостоятельного решения

110. Найдите порядок многочленов над полем F₂.

а) f(x)=x⁹+x⁸+x⁷+x⁶+x³+x⁴+x+1;

б) f(x)=x⁵+x³+x²+x+1;

в) f(x)=x⁸+x⁷+x⁵+ x⁴+x³+ x+1.

7.2.3.Сравнение многочленов по данному модулю

Для многочлена, как и для чисел, можно ввести сравнение многочлена а(х) по модулю многочлена q(x): а(х) r(x) mod q(x). Поэтому можно говорить о поле многочленов GF(q) над числовым GF(p). p называется характеристикой поля GF(p). Характеристика определяет размерность поля многочлена: q= pⁿ, где n - степень многочлена q(x).

Каждому элементу такого поля можно сопоставить двоичное или десятичное число.