7.1.5.Конечные поля

Для простого числа Р обозначим через F_P множества {0,1,2,...,P -1} целых чисел. Тогда множество F_P со структурой поля, называется полем Галуа порядка P. (Такое поле еще обозначают GF(p) – аббревиатура от слов Galois и Field(поле)).

Особенный интерес представляют неприводимые многочлены степени n, у которых коэффициенты взяты из числового поля GF_p, где p – простое число.

Французский математик Эварист Галуа (1811 -1832гг) создал теорию (теорию поля Галуа), доказывающую существование неприводимых многочленов сколь угодно большой степени, но поиск таких многочленов - очень сложная задача, и криптографические службы всего мира ведут активную работу по поиску таких многочленов, но эти работы засекречены. Известен неприводимый многочлен степени 61: x⁶¹+ x³+1.

В связи с использованием для вычислений ЭВМ не менее важным является поле Галуа из элементов {0,1}, обозначаемое GF(2^N) и соответствующее строкам данных длиной N бит. Такие строки бит удобно рассматривать в виде многочленов. Например, байт из 8 бит можно представить (10010101)=x⁷+x⁴+x²+1.

Существует связь между отсутствием или несуществованием корней и неприводимостью многочленов. Если f(x) - неприводимый многочлен степени n2, то он не имеет корней в поле F. Обратное утверждение справедливо только для многочленов степени 2 и 3.

Примеры решения задач

110. Найдите сумму и произведение многочленов а(х)=х³+х+1 и b(х)=х²+х+1 в поле GF(2).

Решение. Не забывайте, что все коэффициенты, полученный при обычном сложении и умножении многочленов, рассматриваются по модулю 2:

а(х)+ b(х)= х³+х²; а(х)  b(х)= х⁵+х⁴+1.

110. Найдите неприводимые многочлены степени 2 и 3 над конечным полем F2.

Решение. Можно найти неприводимые многочлены степени 2 и 3 над конечным полем F₂, путем исключения из всей совокупности многочленов указанной степени, тех многочленов, которые имеют корни в поле F₂.

Напомним, что элементами поля F₂ являются {0,1}. Тогда многочлены степени 2: f₁=x²+1, f₂=x²+x, f₃=x²+x+1. Подставляя в них вместо x элементы поля GF(r), т.е. 0 или 1, получим: f₁=0 при x=1,

f₂=0 при x=1 и x=0,

f₃0 при любом x{0,1}.

У f₃ корней нет, значит он неприводим.

Тоже самое и для многочленов степени 3: f₁=x³+x²+x+1, f₂=x³+x²+1, f₃=x³+x+1, f₄=x³+x²+x, f₅=x³+x ²…

Ответ: имеется только один неприводимый многочлен степени 2: f(x)=x²+x+1 и два неприводимых многочлена степени 3: f(x)=x³+x+1, x³+x²+1.

Задачи для самостоятельного решения

110. Найдите сумму, произведение и частное многочленов а(х)=х³+1 и b(х)=х⁴+х+1 в поле GF(2) и GF(3).

111. Найдите сумму, произведение и частное многочленов а(х)=3х⁴+х³+1 и b(х)=2х⁴+2х²+3х+1 в поле GF(4)и GF(5).

112. Найти НОД и НОК двух многочленов с коэффициентами из числового поля GF(3): а(х)=х⁶+2х³+х²+2х+1 и b(х)=х⁵+х⁴+х³+х²+х+1.

Примечание: НОК(а, b)=(а  b)/НОД(а, b).

7.2.Многочлены над конечными полями

7.2.1.Каноническое разложение многочлена

Для любого многочлена f(x) положительной степени с коэффициентами из F_q существует каноническое разложение . где - различные нормированные неприводимые делители многочлена f(x); е₁, е₂,…е_k - натуральные числа.

Для этого, применяя алгоритм Евклида, найдем многочлен, d(x)=НОД(f(x),f ^/(x)) т.е. наибольший общий делитель f(x) и его производной f ^/(x).

Если d(x)=1, то известно, что f(x) не имеет кратных сомножителей (существует соответствующая теорема, доказывающая этот факт).

Если d(x)=f(x), то очевидно (т.к. f ^/(x)< f(x)) f ^/(x)=0, а это значит, что f(x)=g(x)^p для некоторого многочлена g(x), где р - характеристика поля F_q. Указанную процедуру редукции можно при необходимости повторить и для g(x) пока не получим представление , где h^/(x)0.

Если d(x) отличен от 1 и от f(x) он является нетривиальным делителем f(x) и тогда многочлен f(x)/d(x) не имеет кратных неприводимых сомножителей. Мы придем к разложению f(x), разложив по отдельности многочлены меньшей степени d(x) и f(x)/d(x). Если d(x) все еще имеет кратные сомножители, для него повторяем указанный процесс редукции.

Таким образом, применяя описанную процедуру, нужное число раз, мы сведем исходную задачу к задаче разложения некоторого числа многочленов, не имеющих кратных неприводимых сомножителей. Канонические разложения этих многочленов сразу приведут к каноническому разложению исходного многочлена f(x).