Примеры решения задач

110. Является ли конструкция вида <Z, +> группой, абелевой группой?

Решение. Z - множество целых чисел с операцией + (сложение). Известно, что данная операция, т.е. сумма двух целых чисел однозначно определяет целое число, следовательно, это алгебра. Проверим условия группы:

1). Операция «+» ассоциативна, т.к. для любых a,b: (a+b)+с=а+(b+с).

2). Найдем нейтральный элемент такой, что а: а+е = e+a = a. Таким свойством обладает целое число 0Z, т.е. единичным элементом является 0.

3). Выясним, есть ли у любого элемента симметричный такой, что a + a ^-1 = a ^-1 + a = e.

a + a ^-1 = e  a ^-1 =0-а=-а. -аZ.

Все условия выполнились, следовательно, <Z, +> группа.

a+b = b+а – равенство верно, следовательно, группа является абелевой.

110. Будет ли структура G=<(-,1),  >, где ху=х+у-ху группой?

Решение. 1. Убедимся, что  - бинарная операция, т.е. проверим, что хуG. Пусть хG и уG, т.е. x<1 и y<1, что равносильно 1-x>0 и 1-y>0. Проверим, что 1- (ху) >0.

1-(х+у-ху)=1-х-у+ху=1-х-у(1-х)=(1-х)(1-у)>0. Следовательно, G – алгебра.

2. Проверим, является ли она группой, для этого проверим выполнение 3-х условий:

а). x,y,zG проверим, является ли операция  - ассоциативной:

(xy) z=(x+y-xy) z= x+y-xy+z-(x+y-xy)z= x+y+z-xy-xz-yz+xyz;

x(yz)=x(y+z-yz)= x+(y+z-yz)-(y+z-yz)x= x+y+z-xy-xz-yz+xyz;

Т.е. (xy) z= x(yz) – операция ассоциативна.

б). Найдем нейтральный элемент е такой, что xG хе=х и ех=х.

х+е-хе=х

е(1-х)=0

1-х0 (см. п.1), значит, е=0. Аналогично, рассмотрев равенство ех=х, получаем е=0. Левый и правый нейтральные элементы совпали, это и будет единица в этой пока еще алгебре.

в). Проверим, существует ли симметричный элемент для любого элемента заданного множества, т.е. х^/G: хх^/=е и х^/х=е. Элемент е=0.

хх^/=0

х+х^/-хх^/=0

х^/(1-х)=-х

х^/= . Аналогично, рассмотрев равенство х^/х=е, получаем х^/= . Левый и правый симметричные элементы совпали.

Итак, алгебра G=<(-,1),  >, где ху=х+у-ху является группой.

Задачи для самостоятельного решения

110. Являются ли следующие структуры алгеброй, группой, абелевой группой?

а). <Q₊,  >;

б). <{(x,y,z)| x,y,zZ},  >, где (a₁,a₂,a₃)(b₁,b₂,b₃)=(a₁+b₁, a₂+b₂,a₃+b₃);

в). <Q,  >;

г). <(-1,1),  >, где ab= ;

ж). <(1; +),  >, где ху=х-у+ху;

з). <R\{0},  >;

и). <R, * >, где ;

к). <R, * >, где ;

л) <R₊, * >, где ;

м) <R₊\{1}, * >, где ;

н). <R,  >, где ху=х+у+ху;

о). <R\{1},  >, где ху=х+у+ху;

п). Множество всех двоичных слов длины m с операцией покоординатного сложения по модулю 2.

7.1.3.Кольцо

Кольцом К называется множество К с двумя бинарными операциями, обозначаемыми + или  (операции + и  не обязательно являются обычным сложением и умножением)такими, что:

1. К – абелева группа относительно операции + (т.е. выполняется коммутативный закон сложения a+b=b+a)

2. Выполняются законы дистрибутивности:  a, b, c  К справедливо a  (b + c) = ab + ac; (b + c) a = ba + ca.

Виды колец:

Кольцо называется коммутативным, если операция  коммутативна a  b = b  a.

Кольцо называется ассоциативным, если операция  ассоциативна (a  b) с = a  (b с).

Кольцо называется кольцом с единицей, если существует нейтральный элемент по операции умножения (единица), т.е. существует такой элемент e  К, что a  e = e  a = a для всех a  К

Подмножество К₁ кольца К называется подкольцом этого кольца, если оно замкнуто относительно операций + и  и образует кольцо относительно этих операций. (Замкнутость - это условие когда результат операций a+b и ab над a,bК₁ также принадлежит К₁).

Теорема (критерий подкольца). Для того, чтобы К₁0, которое является подмножеством множества К было подкольцом относительно операций кольца, необходимо и достаточно чтобы выполнялись следующие условия: 1. a,bK₁: a-bK₁; 2. a,bK₁: abK₁.