Задачи для самостоятельного решения

110. Являются ли заданные числа корнями предложенных многочленов? Проверьте с помощью схемы Горнера.

а). 5 для f(x)= х⁴ +х²+5х³-5х;

б). -3 для f(x)= х⁷+2х⁶-3х⁵+ х⁴ +3х³+3х+9?

в). i для f(x)=ix³- iх²+3х-3i;

г). -i для f(x)=(i+1)x⁴- х²+iх-2.

110. Выясните, являются ли следующие многочлены приводимыми над полем Q, R, C? Укажите соответствующее разложение на множители.

а). f(x)= х-2;

б). f(x)= х²-1;

в). f(x)= х²-2;

г). f(x)= х²+1;

д). f(x)= х⁴+х³;

е). f(x)= х⁴-2;

ж). f(x)=2 х²+5х+4.

з). f(x)=- х²+iх-2.

Вопросы для повторения

1. НОД. Простые и составные числа. НОК.

2. Теорема о делении с остатком. Алгоритм Евклида.

3. Отношение сравнимости.

4. Классы вычетов. Полная и приведенная системы вычетов. Теорема Эйлера и Ферма.

5. Основные определения алгебры многочленов. Деление с остатком.

6. НОД многочленов.

7. Разложение многочлена на множители.

Глава 7.Алгебраические структуры

7.1.Основные понятия и свойства алгебраических структур

7.1.1.Алгебра

Пусть дано некоторое непустое множество А.

Бинарной операцией на множестве А называется любое отображение  декартова квадрата множества А в себя, т. е. : ААА.

Иначе говоря, любой паре (a,b), принадлежащей А², ставится в соответствие единственный элемент с тоже из А. Обозначают a  b=c. Это так называемое свойство замкнутости операции.

Под алгеброй (алгебраической структурой или системой) понимают упорядоченную пару <А,О>, где А – непустое множество (носитель алгебры), а О – некоторое множество операций, заданных на этом множестве А.

Примеры решения задач

110. Пусть А множество натуральных чисел, А=N. Рассмотрим операцию “+” и “-”. Являются ли они бинарными?

Решение: (5,7)12, т. е. 5+7=12, 12N. Известно, что при сложении двух натуральных чисел получим натуральное число, следовательно, операция бинарная. Операция “-” не является бинарной операцией на множестве А=N, т. к. 5-7=-2, а -2N.

Задачи для самостоятельного решения

110. Являются ли следующие структуры алгеброй?

а). <(1; +),  >, где ху=х+у-ху;

б). <(1; +),  >, где ху=ху-х-у;

7.1.2.Группа

Группой <G,*> называется некоторое множество G c бинарной операцией * на нем, для которых выполняются следующие условия:

1. Операция * ассоциативна, т.е. для любых а,b,c,  G справедливо a*(b*c)=(a*b)*с.

2. В G существует нейтральный элемент (единица) е такой, что для любого аG а*е = e*a = a.

3. Для каждого аG существует симметричный (обратный) элемент a ^-1G, такой что a * a ^-1 = a ^-1 * a = e

Если группа G удовлетворяет также следующему условию: для любых а,bG справедливо

а*b=b*а , то она называется коммутативной или абелевой группой.

Единичный e и обратный а ^-1 элемент группы G для каждого данного элемента аG определяется однозначно указанными выше условиями. Для всех элементов а,b  G имеет место равенство (a*b) ^-1 = b ^-1*a ^-1.

Группа называется конечной (бесконечной), если она состоит из конечного (бесконечного) числа элементов. Число элементов конечной группы G называется ее порядком и обозначается G.

Подмножества Н группы G называется подгруппой этой группы, если Н само образует группу относительно операций группы.