Задачи для самостоятельного решения.

110. Найдите НОД двух многочленов

а). f(x)=х⁶+2х³+х²+2х+2 и g(x)= х⁵+х⁴+х³+х²+х+1;

б). f(x)=х⁷+1 и g(x)=х⁴+х²+х+1;

в). f(x)= х¹¹+х¹⁰+х⁹+х⁷+х⁵+х⁴+х³+2х²+х+2 и g(x)= х⁵+х⁴+х³+х²+х+1.

6.2.3.Разложение многочлена на множители

Если f(с)=0, то с – корень многочлена f(х). Число с будет корнем f(х) тогда и только тогда, когда f(х) делится на (х-с) без остатка. Общее число корней многочлена степени n всегда равно n. Однако могут встречаться кратные корни: f(х)= (х-с₁)ⁿ¹ (х-с₂)ⁿ² … (х-с_k)^nk.

Схема Горнера: правило нахождения по известным f(x)=а₀хⁿ+a₁x^n-1+…+a_nx+a_n и (х-а) неполного частного q(x)=b₀x^n-1+b₁x^n-2+…+b_n-2x+b_n-1 и остатка r.

	a0	a1	a2	…	aj	…	an-1	an
a	b0 =a0	b1=ab0+a1	b2=ab1+a2	…	bj=abj-1+aj	…	bn-1=abn-2+an-1	r=abn-1+an

Важнейшим понятием теории чисел является понятие неприводимого многочлена. Многочлен f(x) называется неприводимым, если он имеет положительную степень и равенство f(x)=g(x)h(x) может выполняться лишь в том случае, когда либо g(x), либо h(x) является постоянным многочленом (т.е. его степень n0).

Многочлен положительной степени f(x) называется приводимым, если существуют два многочлена положительной степени f₁(x) и f₂(x) такие, что f(x)= f₁(x) f₂(x).

Неприводимые многочлены играют важную роль в теории чисел, так как любой многочлен f(x) может быть записан, причем единственным способом, в виде произведения неприводимых многочленов (аналог того, что любое число n>1 может быть представлено в виде произведения простых чисел).

Теорема. (об однозначном разложении на множители)

Каждый многочлен положительной степени f(x) может быть представлен в виде произведения , где а старший коэффициент f(x); f₁(x), …, f_k(x) - различные нормированные неприводимые многочлены; l₁, …, 1_k - натуральные числа 1,2,….

При этом такое разложение называют каноническим разложением многочлена.

Известны ситуации, когда многочлен f(x) имеет часть действительных корней, а часть –комплексных. Т.о. о приводимости и неприводимости многочленов можно говорить лишь по отношению к данному множеству.

Примеры решения задач

110. Является ли число 2 корнем многочлена f(x)= х⁴ -х²-3х-6?

Решение. Воспользуемся для решения этой задачи схемой Горнера: в верхнюю строку впишем коэффициенты f(x), а в нижней рассчитаем коэффициенты q(x) и найдем остаток r. Если остаток будет равен 0, то значит f(x) делится на (х-2), следовательно, 2-корень.

	1	0	-1	-3	-6
2	1	2	3	3	0

Ответ: 2 – корень многочлена.

110. Является ли многочлен х²+х+1 приводимым в поле действительных и комплексных чисел?

Решение. Как известно, многочлен х²+х+1 не имеет действительных корней, т.е. его нельзя разложить на множители и над полем действительных чисел данный многочлен неприводим. В поле комплесных чисел данный многочлен имеет 2 корня и, следовательно, в этом поле приводим.

х²+х+1=0;

D=1²-4=-3;

x₁₂= .