Задачи для самостоятельного решения

110. Найдите неполное частное и остаток от деления многочленов

а). f(x)=х⁴+х³-3х²-4х-1 и g(x)=х³+х²-х-1; б). f(x)=-2х⁵+3х⁴+х³-3х²+х и g(x)=2х²-3х+1;

в). f(x)= х³+х²-х-1 и g(x)=-2х²-3х-1; г). f(x)=х³+х+1 и g(x)=х²+х+1;

д). f(x)=х⁶+2х³+х²+2х+2 и g(x)=х+2; е). f(x)=х⁷+1 и g(x)=х³+х+1;

6.2.2.Нод многочленов

Теорема. Пусть f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) - многочлены, не все равные нулю. Тогда существует однозначно определенный нормированный многочлен d(x), обладающий свойствами:

1.d(x) делит каждый многочлен f_i(x), i=1, …, n.

2.Любой многочлен g(x), который делит каждый из многочленов f_i(x) (i=1, …, n), делит и многочлен d(x).

Нормированный многочлен d(x) называют наибольшим общим делителем многочленов f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) и обозначают НОД(f₁(x),f₂(x),…,f_n(x)). Если НОД(f₁(x),f₂(x),…,f_n(x))=1, то многочлены f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) называются взаимно простыми. Они называются попарно взаимно простыми, если .

Наибольший общий делитель двух многочленов (также как и двух целых чисел) можно найти при помощи алгоритма Евклида. Пусть многочлен g(x)0 и не делит многочлен f(x).

Тогда, применяя многократно алгоритм деления многочленов с остатком, получим

Т.к. степень deg(g(x)) конечна, то процедура заканчивается за конечное число шагов.

Примеры решения задач

110. Найдите НОД двух многочленов f(x)= х⁴+х³-3х²-4х-1 и g(x)=х³+х²-х-1

Решение.

_ х4+х3-3х2-4х-1

x3+x2-х-1

_-2x2-3x-1

- x -

х4+х3- х2 - х

x3-x2+x-1=q1(x)

-2x2-2x

-2x2-3x-1

=r1(x) 0

_ -х-1

x +

-х-1

_x3+ x2 -x-1

-2x2-3x-1

0

= r3(x)

x3+ х2+ x

- х+

- x2 - x -1

- x2 - x -

- x - = r2(x)0

Т.о., НОД(f (x), g(x))= - x - .