Примеры решения задач

110. Зашифровать с помощью системы с открытым ключом сообщение: 312.

Решение. Генерация ключей: p=3, q=11; n=рq = 3*11 = 33;

(p-l)(q-1) = 2*10=20, е=7;

Определим d: 7d1(mod 20). Отсюда d=17^(33)-1=7¹⁹(mod 20).

7¹⁹(mod 20) (7³)⁶7=343⁶73⁶73⁴3²7=81633 (mod 20).

Пусть S₁=3, S₂=1, S₃=2 (S₁, S₂, S₃ <n=33). Тогда код определяется следующим образом:

С₁=З⁷ mod 33=2187 mod 33=9;

С₂= 1⁷ mod 33=1 mod 33=1;

С₃=2⁷ mod 33=128 mod 33=29.

При расшифровке имеем:

P₁=9³ mod 33=729 mod 33=3;

P₂=1³ mod 33=1 mod 33=1;

P₃=29³ mod 33=24389 mod 33=2.

Задачи для самостоятельного решения

110. Зашифруйте следующие сообщения с заданными значениями p, q:

1. 526, p=7, q=19;

2. tree, p=11, q=13;

3. крошка, p=11, q=17;

4. скрипт, p=133, q=29.

6.1.7.Построение и использование хеш-функций

Под термином хеш-функция понимается функция, отображающая электронные сообщения произвольной длины в значения фиксированной длины. Т.о. у всякой хеш-функции h имеется большое количество коллизий, т.е. пар значений х и у таких, что h(x)=h(y). Основное требование, предъявляемое криптографическими приложениями к хеш-функциям, состоит в отсутствии эффективных алгоритмов поиска коллизий. Кроме того, хеш-функция должна быть односторонней, т.е. функцией, по значению которой вычислительно трудно найти её аргумент, в то же время, функцией, для аргумента которой вычислительно трудно найти другой аргумент, который давал бы то же самое значение функции. Схемы электронной цифровой подписи – основная сфера применения хеш-функций.

Один из практических методов построения хеш-функций - на основе какой-либо известной вычислительно трудной математической задачи. Например, легко вычислить квадрат числа по модулю n: х² (mod n), но вычислительно трудно извлечь квадратный корень по этому модулю. Т.о., хеш-функцию можно записать так: H_i=[(H_i-1M_i)²] (mod n), где i=1…n; H₀=0; M=M₁, M₂, … , M_n. Длина блока M_i представляется в октетах, каждый октет разбит пополам и к каждой половине спереди приписывается полуоктет, состоящий из двоичных единиц: n – произведение двух больших (512-битных) простых чисел p и q.

Примеры решения задач

110. Получить хеш-код для сообщения «ДВА» при помощи хеш-функции с параметрами p=7, q=3, вектор инициализации I=6 (выбираем случайно).

Решение. 1). Получаем значение модуля: n=pq=73=21;

2). Представить сообщение «ДВА» в числовом эквиваленте (по номеру буквы в алфавите):

ДВА

5 3 1

3). Представить коды битовой строкой:

5 3 1

00000101 00000011 00000001

I=6₁₀=00000110₂.

4). Разбить байт пополам (разбиение октета на полуоктеты), добавить в начало полубайта единицы и получить хешируемые блоки M_i:

М₁ М₂ М₃ М₄ М₅ М₆

11110000 11110101 11110000 11110011 11110000 11110001.

5). Выполнить итеративные шаги:

первая итерация:

М₁=11110000,

Н₀= 00000110,

Н₀М₁= 11110110₂=246₁₀,

[(Н₀М₁)]²(mod 21)=246²(mod 21)=15²(mod 21)=(-6)²(mod 21)=15,

H₁=15₁₀=000011111₂.

Вторая итерация:

М₂=11110101,

Н₁= 00001111,

Н₁М₂= 11111010₂=250₁₀,

[(Н₁М₂)]² (mod 21)=250² (mod 21)= 19²(mod 21)=(-2)²(mod 21)=4,

H₂=4₁₀=00000100₂.

И т.д. Всего нужно выполнить шесть итераций, полученное число Н₆ и будет хеш-код.