Примеры решения задач

110. Найдите количество элементов в полной и приведенной системе вычетов

     1. по модулю 6;

     2. по модулю 9.

Решение. Z₆={0,1,2,3,4,5}; т.е. (6)=2. Z₉=0,1,2,3,4,5,6,7,8, .(9)=6. Конечно, можно воспользоваться и формулой для вычисления (m):

110. Найдите остаток от деления:

1. числа 123∙176 на 15;

2. числа 46^-289 на 15;

3. числа 14²³ на 19;

4. числа 2¹²³ на 11.

Решение. а) В данном случае можно, конечно, перемножить два числа, потом разделить на 15 и найти остаток. Но проще воспользоваться определением операции умножения по заданному модулю:

(123∙176) (mod15)=123(mod15)∙176(mod 15) =(3∙11) (mod 15)=33 (mod 15)=3.

b) Воспользуемся определением операции степени:

46^-289 (mod 15)=(46 mod 15)^-289=1^-289=1.

c) Известно, что 14 -5 (mod 19), кроме того, (-5)²³(mod 19)= =(-5)²⁰⁺²⁺¹(mod 19)=((-5)⁴)⁵ (mod 19)(-5)² (mod 19)(-5) (mod 19)= =(625 (mod 19))⁵(25 (mod 19))(-5 (mod 19)) (17 (mod 19))⁵6(mod 19)(-5 (mod 19)) (-2)⁵(mod 19)6 (mod 19)  (-5 (mod 19))=(-32(mod 19))(-30 mod 19)) (13(mod 19))(11(mod 19))=143 (mod 19) 10(mod 19).

d) m=11 – простое число, 2 и 11 взаимно просты. Тогда по теореме Ферма 2^11-1 (mod 11) 1, т.е. 2¹⁰ (mod 11) 1. Следовательно, ((2¹⁰)¹²∙2³) (mod 11)=(2¹⁰(mod 11))¹²∙2³ (mod 11)=1¹²∙8(mod 11)=8(mod 11).

Задачи для самостоятельного решения

110. Найдите остатки от деления чисел:

1. 7⁵⁰⁰ на 5;

2. 17⁸⁵ на 5;

3. 7³⁰⁸ на 9;

4. 8¹⁴⁶ на 13.

110. Найдите остатки от деления чисел:

1. 7³⁴⁷ на 23;

2. 42³⁷ на 7;

3. 21⁹⁷ на 13;

4. 13²⁵⁷ на 6;

110. Найдите количество элементов в полной и приведенной системе вычетов

1. по модулю 60;

2. по модулю 81;

3. по модулю 5;

4. по модулю 5040;

5. по модулю 1294700

6. по модулю 100.

110. Запишите приведенную систему вычетов по модулю 42.

111. Показать, что числа 25, -20, 16, 46, -21, 18, 37, -1 составляют полную систему вычетов по модулю 8.

112. По какому модулю числа 20, -4, 22, 18, -1 составляют полную систему вычетов?

6.1.5.Решение сравнений вида ахb(mod m)

Если НОД(a,m)=1, то сравнение ахb(mod m) имеет решение и притом единственное. Единственность решения следует понимать в смысле единственности класса чисел, которые получаются по формуле хba^(m)-1 (mod m).

Если НОД(a,m)=d и b не делится на d, то сравнение ахb(mod m) решений не имеет.

Если НОД(a,m)=d и b делится на d, то сравнение ахb(mod m) нужно свести к виду: а^/х=b^/(mod m^/), где а^/=a/d, b^/=b/d, m^/=m/d. Теперь НОД(a^/,m^/)=1 и существует единственное (частное) решение х^/ по модулю m^/= m/d. Но m^/<m и два разных числа, попавших в один класс по модулю m^/ могут быть в разных классах по модулю m. Все решения запишутся в виде: хх^/+ m^/t, t=0,1,2,…,d-1.

Примеры решения задач

110. Решите следующие сравнения:

1. 5х3 (mod 6);

2. 3x6 (mod 9).

Решение. а). 5х3 (mod 6); НОД(5,6)=1, следовательно, имеется одно решение: х ba^(m)-1=35^(6)-135^2-1153(mod 6). Класс чисел, удовлетворяющих этому сравнению можно записать так: х=3+6t.

б). 3x6 (mod 9); НОД(3,9)=3 и 6 3, следовательно, имеется 3 различных класса решений. Согласно свойству 6 п. 6.1.3 можно разделить это сравнение на 3: x2 (mod 3) – получили частное решение. Общее же решение будет выглядеть так: х₁2(mod 9), x₂2+31(mod 9), x₃2+32(mod 9).

Ответ: а). х=3+6t; б). х₁=2+9t, х₁=5+9t, х₁=8+9t.