6.1.3.Отношение сравнимости

Определим на множестве целых чисел бинарное отношение сравнимости Z² следующим образом: для того, чтобы два целых числа были сравнимы по модулю m необходимо и достаточно, чтобы их разность (a-b) делилась на m или другими словами, если при делении на m они дают один и тот же остаток. Записывают (a,b) или a b(mod m).

Свойства отношения сравнимости на множестве Z:

1). Если a b (mod m) и kZ, то a+k b+k (mod m).

2). Если a b (mod m) и с d (mod m), то ac bd (mod m).

3). Если a b (mod m) и с d (mod m), то ac bd (mod m).

4). Если a b (mod m), kZ и nN, то ak _{bk (mod m)} и aⁿ _bⁿ _{(mod m).}

_{5). Если} ak _{bk (mod m) и (k,m)=1 (т.е. k и m взаимно простые), то} a b (mod m).

6). Если ak _{bk (mod mk) и} kN, то a b (mod m).

7). Если a b (mod m) и  - общий делитель a и m, то b .

Примеры решения задач

110. Верно ли, что

     1. 6 _{2 (mod 2);}

     2. _{18236 18218 (mod 3);}

     3. 21 _{7 (mod 2) 3 1 (mod 2);}

     4. _{20 14 (mod 6)10 7 (mod 6).}

Решение. а) 6 _{2 (mod 2), верно по определению т.к. 6-2=4, 4 2.}

1. _{18236 18218 (mod 3), по определению т.к. 18236-18218=18, 18 3.}

2. 21 _{7 (mod 2)37 17 (mod 2). Т.к. (7,2)=1, то по свойству 5 можем сократить сравнение, т.е. 3 1 (mod 2).}

3. _{20 14 (mod 6)102 72 (mod 6). Вывод 10 7 (mod 6) неверен, т.к. (10-7) не делится на 6. Чтобы получить эквивалентное сравнение, необходимо было воспользоваться свойством 6: 20 14 (mod 6)102 72 (mod 32) 10 7(mod 3). По определению это сравнение верно.}

Задачи для самостоятельного решения

110. Доказать, что отношение сравнения является отношением эквивалентности.

111. Доказать свойства отношения сравнимости.

112. Верно ли, что:

1. 6 _{3 (mod 2);}

2. _{654321 654317 (mod 4);}

3. 140 _{95 (mod 9) 28 19 (mod 9);}

4. _{625 30 (mod 5)125 6 (mod 5).}

110. _{Являются ли истинными утверждения?}

1. _{2m+1 (m+1)}² _{(mod m) mN;}

2. _(m-1)² _{1 (mod m) mN;}

3. ₃¹⁴ _{-1 (mod 29);}

4. ₂₃⁵ _{-10 (mod 21).}

110. Найти все целые х, удовлетворяющие сравнениям:

1. х _{0 (mod 3);}

2. х _{1 (mod 2);}

3. х _{5 (mod m);}

4. 2^5x-1 _{0 (mod 31)}

6.1.4.Алгебра вычетов

Фактормножество множества целых чисел по отношению сравнимости обозначают Z/mod m=Z_m. Фактормножество это множество классов эквивалентности Z_m= , ,…, , где =mk| kZ - множество чисел кратных m;

=mk+1| kZ - множество чисел, которые при делении на m дают остаток 1;

…

=mk| kZ - множество чисел кратных, дающих остаток m-1.

Эти классы называют классами вычетов по модулю m. Множество Z_m носит название полной системы вычетов.

Определим на множестве Z_m три операции:

: , Z_m полагаем, что = ;

: , Z_m полагаем, что = ;

степени: Z_m полагаем, что ( )ⁿ= .

Рассмотрим только такие классы вычетов, элементы которых взаимно просты с m и обозначим - подмножество Z_m. (Числа а и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1). -приведенная система вычетов.

Число элементов s в приведенной системе вычетов зависит от m. Функция (m)=| | называется функцией Эйлера. Значение этой функции равно количеству элементов множества , т.е. количество натуральных чисел взаимно простых с m. Например, (6)=2, (9)=6.

Если р - простое число, то (p)=р-1, и вообще, (m)<m.

Если каноническое разложение числа , то справедливо равенство:

где p₁,..., p_k — все простые делители m.

Теорема. Если х₁,х₂, …, х_s - приведенная система вычетов и имеется целое число a, взаимно простое с m, то ах₁,ах₂, …, ах_s - также является приведенной системой вычетов.

Теорема (Эйлера). Если mN и m>1, (a,m)=1, то (mod m).

Однако при больших m использовать эту формулу неудобно.

Теорема (малая теорема Ферма). Если р>1 — простое число и (a,p)=1, то (mod p).

Теорема. Если числа n₁,..., n_k попарно взаимно простые, число n =n₁n₂…n_k —их произведение, х и а — целые числа, то х a (mod n) .