Примеры решения задач

110. По каналу связи передают 3 кодовых слова f_a, f_b, f_c: 1110100, 0010110, 1100010. При передаче одно из слов изменилось на f=0110110. Определить, в каком слове была допущена ошибка.

Решение. Найдем кодовые расстояния между этими словами: d(f_a, f_b)=3, d(f_b, f_c)=4, d(f_a, f_c)=3. Найдем расстояния от 0110110 до f_a, f_b, f_c: d(f_a, f)=2, d(f_b, f)=1, d(f_c, f)=3. Делаем вывод, что скорее всего, изменилось второе слово.

Задачи для самостоятельного решения

110. По каналу связи передали 4 слова:

1001110001101101000101001111010101010100. Определить количество ошибок, которые способен обнаружить и исправить корректирующий код.

Вопросы для повторения

1. Когда целесообразно использовать эффективное кодирование?

2. Каковы сложности в реализации систем передачи с применением эффективных кодов?

3. До какого предела может быть сокращена средняя длина кодовой комбинации?

4. Каковы преимущества методики Хаффмана?

5. Какой код называется префиксным?

Глава 6.Элементы теории чисел

6.1.Делимость чисел

6.1.1.НОД. Простые и составные числа

Общим делителем двух или нескольких чисел называется число, являющееся делителем каждого из этих чисел.

Если а₁,…,а_n числа из Z и хотя бы одно из них не равно нулю, то множество их общих делителей конечно и среди этих делителей существует наибольшее число.

Наибольшим общий делителем (НОД) чисел а₁,…,а_n называется наибольший из их общих делителей. Он обозначается (а₁,…,а_n).

Наименьшее общее кратное чисел а₁,…,а_n называется наименьшее число, которое делится и на а₁ и на а₂, и т.д. Оно вычисляется по формуле .

Число n>1 называется простым, если оно не имеет других делителей кроме 1 и n.

Число n называется составным, если оно имеет делитель отличный от 1 и n.

Если НОД (а₁,…,а_n)=1, то числа а₁,…,а_n называют взаимно простыми

Основная теорема арифметики. Любое натуральное число n>1 представляется в виде произведения простых чисел, причем единственным образом:

,

Такой вид записи называется каноническим разложением числа n на простые множители.

Построение в настоящие время таблицы простых чисел показывают, что с ростом их величин они встречаются все реже и реже. Например, в первой сотне чисел (N=100) их 25, во второй - 21, третьей 16 и т.д. В первой 1000 их 168, во второй тысяче - 135, в третьей - 120 и т.д. Особый класс простых чисел составляют числа вида . Такие числа называют простыми числами Мерсенна и они являются наибольшими по своему размеру среди других известных простых чисел. Во времена Эйлера наибольшим простым числом было пятое число Мерсенна 2³¹-1. Через сто лет было найдено шестое число Мерсенна 2⁶¹-1. В 1992 найдено самое большое известное число -32 число Мерсенна. Его запись содержит 227 832 цифры и требует около ста страниц текста.

Примеры решения задач

110. Представьте каноническое разложение числа 261360.

Решение. Разложим число на простые множители:

261360	2
130680	2
65340	2
32670	2
16335	3
5445	3
1815	3
605	5
121	11
11	11
1

Ответ: