- •Оглавление
- •Глава 5. Основы математической теории информации 58
- •Глава 6. Элементы теории чисел 74
- •6.2.1. Основные определения 83
- •Глава 7. Алгебраические структуры 87
- •Введение
- •Глава 1.Введение
- •1.1.Основные понятия криптографии
- •1.1.1.История развития криптографии
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.1.2.Сложность алгоритмов
- •1.1.3.Стойкость криптографических систем
- •Глава 2.Элементы теории множеств
- •2.1.Основные понятия теории множеств
- •2.1.1.Обозначения и способы задания множеств
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.1.2.Операции над множествами
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.1.3.Прямое произведение множеств
- •П римеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.2.Отношения между множествами
- •2.2.1.Определение бинарных отношений
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.2.2.Представление бинарных отношений в виде графа, матрицы
- •Примеры решения задач
- •Построенная таблица есть таблица бинарного отношения. Задачи для самостоятельного решения
- •2.2.3.Свойства бинарных отношений, отношение эквивалентности
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для повторения
- •Глава 3.Булева алгебра
- •3.1.Булевы функции
- •3.1.1.Понятие булевой функции
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1.2.Суперпозиция функций
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1.3.Двойственные функции
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1.4.Логические схемы
- •Примеры решения задач
- •3.2.Нормальные формы
- •3.2.1.Разложение функций по переменным
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.2.2.Минимизация нормальных форм, карты Карно
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Полиномы Жегалкина, алгоритм их построения для произвольных функций
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.3.Полные системы функций
- •3.3.1.Полнота множества функций
- •Примеры решения задач
- •Глава 4.Элементы теории графов
- •4.1.Основные понятия теории графов
- •4.1.1.Способы задания графов, основные определения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1.2.Числовые характеристики графов
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1.3.Операции с графами
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1.4.Изоморфизм графов
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1.6.Расстояния в графе, центры графа
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1.7.Эйлеровы циклы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1.8.Алгоритм построения Эйлерова цикла
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1.9.Гамильтоновы циклы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1.10.Алгоритм построения гамильтонова цикла в графе
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.2.2.Алгоритм Краскала для построения минимального остовного дерева
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.2.3.Обходы дерева
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для повторения
- •Вопросы для повторения
- •Глава 5.Основы математической теории информации
- •5.1.Меры информации
- •5.1.1.Мера Хартли
- •Примеры решения задач
- •5.1.2.Мера Шеннона
- •Примеры решения задач
- •5.1.3.Единицы измерения количества информации
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.2.2.Код Хаффмана
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.3. Помехоустойчивое кодирование
- •5.3.1. Код с проверкой на четность
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.3.2.Коды с повторением
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.3.3.Групповой код Хемминга
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.3.4.Помехозащищенность кода
- •Примеры решения задач
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1.2.Теорема о делении с остатком. Алгоритм Евклида
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1.3.Отношение сравнимости
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1.4.Алгебра вычетов
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1.5.Решение сравнений вида ахb(mod m)
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1.6.Применение алгебры вычетов к простейшим шифрам
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1.7.Построение и использование хеш-функций
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для повторения
- •6.2.Алгебра многочленов
- •6.2.1.Основные определения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.2.2.Нод многочленов
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •6.2.3.Разложение многочлена на множители
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для повторения
- •Глава 7.Алгебраические структуры
- •7.1.Основные понятия и свойства алгебраических структур
- •7.1.1.Алгебра
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.1.2.Группа
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.1.3.Кольцо
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.1.4.Поле
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.1.5.Конечные поля
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.2.Многочлены над конечными полями
- •7.2.1.Каноническое разложение многочлена
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.2.2.Порядок многочлена над конечным полем
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.2.3.Сравнение многочленов по данному модулю
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.2.4.Поиск неприводимых многочленов поля gf(g(X)) над полем gf(р)
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.3.Генераторы псевдослучайных последовательностей
- •7.3.1.Понятие псевдослучайной последовательности чисел
- •7.3.2.Практические методы получения псевдослучайных чисел
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.3.3.Понятие линейной последовательности
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.3.4. Периодичность линейных рекуррентных последовательностей
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.3.5.Связь линейных рекуррентных последовательностей над конечными полями с многочленами
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для повторения
- •214018, Г. Смоленск, проспект Гагарина, 56, т.: (0812) 55 – 41 – 04.
5.3.2.Коды с повторением
Будем рассматривать коды только с двумя повторениями. Различают код с повторением каждого элемента и код с повторением кодовой комбинации. Повторение символа или группы символов может быть зеркальным, т.е. если нужно повторить единицу пишем ноль.
Среди кодов с повторениями заслуживает внимания инверсный код. Вторая половина комбинации кода просто повторяется, если количество единиц в исходной комбинации четно и повторяется инверсно, если количество единиц в исходной комбинации нечетно.
Например, если исходная комбинация 10101, то полученная – 1010101010.
Данный код позволяет исправлять ошибки. Рассмотрим алгоритмы приема кодовой комбинации, соответствующих двум случаям: 1. одиночная ошибка поражает первую половину кода 2. одиночная ошибка поражает вторую половину кода.
Алгоритм 1.
Принимаем первую половину кодовой комбинации, подсчитываем в ней число единиц k.
Если k – четно, то суммируем по модулю 2 первую и вторую части без изменений, если k – нечетно, то суммируем по модулю 2 первую и инверсную вторую части.
Если результат суммирования состоит из одних нулей, то ошибки нет. Если результат состоит из единиц с одним нулем, то искажен один разряд, соответствующий нулю в первой части комбинации.
Алгоритм 2.
Принимаем первую половину кодовой комбинации, подсчитываем в ней число единиц k.
Если k – четно, то суммируем по модулю 2 первую и вторую части без изменений, если k – нечетно, то суммируем по модулю 2 первую и инверсную вторую части.
Если результат суммирования состоит из одних нулей, то ошибки нет. Если результат состоит из нулей с одной единицей, то искажен разряд, соответствующий этой единице в второй части комбинации.
Примеры решения задач
Принято кодовое слово 1110101010. Известно, что для его получения использовался код с повторением. Проверить, есть ли ошибка в принятом слове, если есть, то исправить её.
Решение. Принимает первую половину слова: 11101. Количество единиц 4 - четно, складываем её со второй частью: 11101
01010
______________
10111
Исходя из алгоритма 1 ошибка во втором разряде первой части, т.е. было передано следующее сообщение: 1010101010.
Принято кодовое слово 1010101110. Известно, что для его получения использовался код с повторением. Проверить, есть ли ошибка в принятом слове, если есть, то исправить её.
Решение. Принимает первую половину слова: 10101. Количество единиц 3 - нечетно, складываем её с инвертированной второй частью: 10101
10001
_______________
00100
Исходя из алгоритма 2 ошибка в третьем разряде второй части, т.е. было передано следующее сообщение: 1010101010.
Задачи для самостоятельного решения
Принято три кодовых слова 101010111011011111111001111010. Известно, что для их получения использовался код с повторением. Проверить, есть ли ошибка в принятых словах, если есть, то исправить её.
5.3.3.Групповой код Хемминга
Наиболее распространенным является алфавит, состоящий из двух символов {0,1}. Сообщение кодируется по заданной схеме более длинной последовательностью, чтобы при приеме можно было распознать и исправить ошибки, проанализировав информацию, содержащуюся в дополнительных символах.
Построение конкретного корректирующего кода производится исходя из требуемого объёма кода N, т.е. необходимого числа передаваемых команд или дискретных значений измеряемой величины и статистических данных о наиболее вероятных векторах ошибок в используемом канале связи. Вектором ошибки будем называть кодовую комбинацию, имеющую единицы в разрядах, подвергающихся искажению, и нули во всех остальных разрядах. Любую искаженную кодовую комбинацию можно рассматривать теперь как сумму (равно как и разность) по модулю два разрешенной кодовой комбинации и вектора ошибки.
Исходя из равенства
2k - 1 > N
определяем число информационных разрядов, необходимое для передачи заданного числа команд обычным двоичным кодом.
Чтобы иметь возможность получить информацию о векторе ошибки, воздействию которого подверглась полученная кодовая комбинация, каждому вектору ошибки, подлежащей устранению, должна быть сопоставлена некоторая контрольная последовательность символов, называемая опознавателем.
Каждый символ на приемной стороне будет определяться в результате проверки справедливости одного из равенств, которые мы составим для определения значений проверочных символов при кодировании.
В групповом коде значения проверочных символов подбираются так, чтобы сумма по модулю для всех символов (включая проверочный), входящих в каждое из равенств, равнялась нулю. В таком случае число единиц среди этих символов четное. Поэтому операции определения этих символов опознавателя называют проверками на четность. При отсутствии ошибок в результате всех проверок на четность образуется опознаватель, состоящий из одних нулей. Если проверочное равенство не удовлетворяется, то в соответствующем разряде опознавателя появляется единица. Исправление ошибок возможно лишь при наличии взаимно однозначного соответствия между множеством опознавателей и множеством подлежащих исправлению разновидностей ошибок.
Таким образом, количество подлежащих исправлению ошибок является определяющим для выбора числа избыточных символов n-k. Последних должно быть достаточно для того, чтобы обеспечить необходимое число опознавателей.