- •Оглавление
- •Глава 5. Основы математической теории информации 58
- •Глава 6. Элементы теории чисел 74
- •6.2.1. Основные определения 83
- •Глава 7. Алгебраические структуры 87
- •Введение
- •Глава 1.Введение
- •1.1.Основные понятия криптографии
- •1.1.1.История развития криптографии
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.1.2.Сложность алгоритмов
- •1.1.3.Стойкость криптографических систем
- •Глава 2.Элементы теории множеств
- •2.1.Основные понятия теории множеств
- •2.1.1.Обозначения и способы задания множеств
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.1.2.Операции над множествами
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.1.3.Прямое произведение множеств
- •П римеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.2.Отношения между множествами
- •2.2.1.Определение бинарных отношений
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.2.2.Представление бинарных отношений в виде графа, матрицы
- •Примеры решения задач
- •Построенная таблица есть таблица бинарного отношения. Задачи для самостоятельного решения
- •2.2.3.Свойства бинарных отношений, отношение эквивалентности
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для повторения
- •Глава 3.Булева алгебра
- •3.1.Булевы функции
- •3.1.1.Понятие булевой функции
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1.2.Суперпозиция функций
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1.3.Двойственные функции
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1.4.Логические схемы
- •Примеры решения задач
- •3.2.Нормальные формы
- •3.2.1.Разложение функций по переменным
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.2.2.Минимизация нормальных форм, карты Карно
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Полиномы Жегалкина, алгоритм их построения для произвольных функций
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.3.Полные системы функций
- •3.3.1.Полнота множества функций
- •Примеры решения задач
- •Глава 4.Элементы теории графов
- •4.1.Основные понятия теории графов
- •4.1.1.Способы задания графов, основные определения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1.2.Числовые характеристики графов
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1.3.Операции с графами
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1.4.Изоморфизм графов
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1.6.Расстояния в графе, центры графа
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1.7.Эйлеровы циклы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1.8.Алгоритм построения Эйлерова цикла
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1.9.Гамильтоновы циклы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1.10.Алгоритм построения гамильтонова цикла в графе
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.2.2.Алгоритм Краскала для построения минимального остовного дерева
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.2.3.Обходы дерева
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для повторения
- •Вопросы для повторения
- •Глава 5.Основы математической теории информации
- •5.1.Меры информации
- •5.1.1.Мера Хартли
- •Примеры решения задач
- •5.1.2.Мера Шеннона
- •Примеры решения задач
- •5.1.3.Единицы измерения количества информации
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.2.2.Код Хаффмана
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.3. Помехоустойчивое кодирование
- •5.3.1. Код с проверкой на четность
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.3.2.Коды с повторением
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.3.3.Групповой код Хемминга
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.3.4.Помехозащищенность кода
- •Примеры решения задач
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1.2.Теорема о делении с остатком. Алгоритм Евклида
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1.3.Отношение сравнимости
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1.4.Алгебра вычетов
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1.5.Решение сравнений вида ахb(mod m)
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1.6.Применение алгебры вычетов к простейшим шифрам
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1.7.Построение и использование хеш-функций
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для повторения
- •6.2.Алгебра многочленов
- •6.2.1.Основные определения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.2.2.Нод многочленов
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •6.2.3.Разложение многочлена на множители
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для повторения
- •Глава 7.Алгебраические структуры
- •7.1.Основные понятия и свойства алгебраических структур
- •7.1.1.Алгебра
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.1.2.Группа
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.1.3.Кольцо
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.1.4.Поле
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.1.5.Конечные поля
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.2.Многочлены над конечными полями
- •7.2.1.Каноническое разложение многочлена
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.2.2.Порядок многочлена над конечным полем
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.2.3.Сравнение многочленов по данному модулю
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.2.4.Поиск неприводимых многочленов поля gf(g(X)) над полем gf(р)
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.3.Генераторы псевдослучайных последовательностей
- •7.3.1.Понятие псевдослучайной последовательности чисел
- •7.3.2.Практические методы получения псевдослучайных чисел
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.3.3.Понятие линейной последовательности
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.3.4. Периодичность линейных рекуррентных последовательностей
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7.3.5.Связь линейных рекуррентных последовательностей над конечными полями с многочленами
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для повторения
- •214018, Г. Смоленск, проспект Гагарина, 56, т.: (0812) 55 – 41 – 04.
Вопросы для повторения
Понятия граф, орграф, мультиграф, полный и связный граф, степень вершин. Способы задания графов. Примеры.
Способы задания графов. Изоморфизм графов и операция дополнения графа. Примеры.
Понятия неориентированный граф, маршрут, цепь, цикл в графе, длина маршрута в неориентированном графе. Примеры.
Понятия граф, подграф, остовный подграф, подграф, порожденный заданным множеством вершин, дерево, остовное дерево. Примеры. Алгоритм Краскала.
Понятие Эйлеров граф. Необходимое и достаточное условие существования Эйлерова цикла и Эйлеровой цепи в графе. Алгоритм построения эйлерова цикла в графе.Пример.
Понятия матрица смежности, матрица инцидентности и матрица достижимости. Примеры их построения для заданного графа и построения графа по заданной матрице.
Понятия полный и регулярный графы, двудольный граф. Критерий двудольности графа. Пример.
Задача коммивояжера и её приложение к теории графов. Алгоритмы её решения.
Числовые характеристики графа: внутренне и внешне устойчивые множества, цикломатическое число. Матрица расстояний графа, диаметр, радиус и центры графа.
Деревья. Матричная теорема о деревьях. Обходы дерева.
Алгоритм Краскала построения минимального остовного дерева.
Глава 5.Основы математической теории информации
5.1.Меры информации
Под информацией будем понимать устраненную неопределенность в знаниях о сигнале. В качестве оценок степени неопределенности знаний существуют следующие меры: синтактическая, связанная с неопределенностью, с которой можно судить о сигнале до его приема; структурная или логарифмическая, которая характеризует информацию по объему (мера Хартли); и вероятностная или статистическая, которая характеризует информацию по объему и новизне (мера Шеннона).
5.1.1.Мера Хартли
Обозначим через I количество информации, N – число состояний физической системы (n общее количество сообщений длины N), тогда I =I(N) – функция количества информации.
I (N) =n log N
На количество информации, получаемой из сообщения, влияет фактор неожиданности его для получателя, который зависит от вероятности получения того или иного сообщения. Чем меньше эта вероятность, тем сообщение более неожиданно и, следовательно, более информативно. Сообщение, вероятность которого высока и, соответственно, низка степень неожиданности, несет немного информации. Р. Хартли понимал, что сообщения имеют различную вероятность и, следовательно, неожиданность их появления для получателя неодинакова. Но, определяя количество информации, он пытался полностью исключить фактор «неожиданности». Поэтому формула Хартли позволяет определить количество информации в сообщении только для случая, когда появление символов равновероятно и они статистически независимы. На практике эти условия выполняются редко. При определении количества информации необходимо учитывать не только количество разнообразных сообщений, которые можно получить от источника, но и вероятность их получения.
Формула, предложенная Хартли, удовлетворяет предъявленным требованиям. Поэтому ее можно использовать для измерения количества информации.
Обосновывая вид функции, которую Хартли выбрал для описания количества информации в физической системе, он отмечал три основных момента.
1. Если физическая система имеет одно единственное состояние, то информация, содержащаяся в ней равна нулю: I = I(1) = 0
2. При наличии независимых источников информации с N1 и N2 числом возможных состояний I(N1 * N2) = log (N1*N2) = log N1 + log N2 = I( N1) + I(N2), т.е. количество информации, приходящееся на одно сообщение, равно сумме количеств информации, которые были бы получены от двух независимых источников, взятых порознь.
3. Большее количество информации содержит физическая система, имеющая большее число состояний, т.е. если N1 > N2, тогда I(N1 )> I( N2).
Итак, Хартли предложил определять количество информации в физической системе, основываясь на числе ее возможных состояний. При этом он считал все состояния системы равновероятными, и в этом был главный недостаток формулы Хартли.