Примеры решения задач
Дан взвешенный граф. Построить минимальное остовное дерево с помощью алгоритма Краскала.
Решение.
Сортируем ребра в порядке неубывания:
(E,I), (B,C), (B,E), (B,F), (D,L), (E,G), (F,H), (F,I), (G,L), (A,D), (C,D), (E,H), (A,C), (C,F),
5 10 10 10 10 10 10 10 15 15 15 15 20 20
(D,G), (G,F), (L,I), (H,I), (H,M), (A,B), (D,E), (I,M), (L,M).
20 20 20 20 20 30 30 30 40
Помечаем все вершины меткой 0 (рис.75).
Просматриваем список ребер, включаем их в дерево, изменяя метки вершин в соответствии с алгоритмом до тех пор, пока не включим 11-1 ребер (для 11 вершин).
№ реб-ра |
Рассматрива-емое ребро |
Метка вершин, образующих это ребро |
Новые метки вершин (те, что изменились) |
Вес ребра, включен дерево |
Графич иллюстр |
1 |
(E,I) |
(0,0) |
m(E)=1, m(I)=1 |
5 |
Рис. 76 |
2 |
(B,C) |
(0,0) |
m(B)=2, m(C)=2 |
10 |
Рис. 77 |
3 |
(B,E) |
(2,1) |
m(E)=2, m(I)=2 |
10 |
Рис. 78 |
4 |
(B,F) |
(2,0) |
m(F)=2 |
10 |
Рис. 79 |
5 |
(D,L) |
(0,0) |
m(D)=3, m(L)=3 |
10 |
Рис. 80 |
6 |
(E,G) |
(2,0) |
m(G)=2 |
10 |
Рис. 81 |
7 |
(F,H) |
(2,0) |
m(H)=2 |
10 |
Рис. 82 |
|
(F,I) |
(2,2) |
Ребро образует цикл, не включаем |
|
|
8 |
(G,L) |
(2,3) |
m(G)=3, m(E)=3, m(B)=3, m(C)=3, m(F)=3, m(H)=3, m(I)=3 |
10 |
Рис. 83 |
9 |
(A,D) |
(0,3) |
m(A)=3 |
15 |
Рис. 84 |
|
(C,D) |
(3,3) |
Ребро образует цикл, не включаем |
|
|
|
(E,H) |
(3,3) |
Ребро образует цикл, не включаем |
|
|
|
(A,C) |
(3,3) |
Ребро образует цикл, не включаем |
|
|
|
(C,F) |
(3,3) |
Ребро образует цикл, не включаем |
|
|
|
(D,G) |
(3,3) |
Ребро образует цикл, не включаем |
|
|
|
(G,F) |
(3,3) |
Ребро образует цикл, не включаем |
|
|
|
(L,I) |
(3,3) |
Ребро образует цикл, не включаем |
|
|
|
(H,I) |
(3,3) |
Ребро образует цикл, не включаем |
|
|
10 |
(H,M) |
(3,0) |
m(M)=3 |
20 |
Рис. 84 |
Рис. 75 |
Рис.76 |
Рис. 77 |
Рис.78 |
Рис.79 |
Рис. 80
|
Рис. 81 |
Рис. 82 |
Рис. 83 |
Рис. 84 |
Таким образом, минимальное остовное дерево построено. Его вес: 5+10+10+10+10+10+10+10+15+20=110.