Примеры решения задач

110. Подсчитать число остовов данного графа.

Решение. Составим матрицу смежности данного графа и заменим 1 на -1 и элементы главной диагонали на значения степени соответствующих вершин. Deg(V₁)=2, Deg(V₂)=3, Deg(V₃)=3, Deg(V₄)=3, Deg(V₅)=1.

	0	1	1	0	0		2	-1	-1	0	0
	1	0	1	1	0		-1	3	-1	-1	0
A=	1	1	0	1	0	; M=	-1	-1	3	-1	0
	0	1	1	0	1		0	-1	-1	3	-1
	0	0	0	1	0		0	0	0	-1	1

Найдем алгебраическое дополнение (2,2) –го элемента этой матрицы:

2	-1	0	0
-1	3	-1	0	=		3	-1	0		-1	0	0
0	-1	3	-1		2	-1	3	-1	+	-1	3	-1	=2(9-1-3)-	3	-1	=10-(3-1)=8.
0	0	-1	1			0	-1	1		0	-1	1		-1	1

З адача о нахождении остовов заданного графа часто возникает в приложениях, например, при рассмотрении возможных способов соединения нескольких городов в единую энергетическую сеть.

110. На рис. 70-73 представлены четыре графа. Определите, являются ли они деревьями. Какие из них являются бинарными, полными бинарными деревьями уровня n.

Решение. Все четыре графа являются деревьями, причем бинарными из них являются только два (рис. 70, 72). Дерево на рис. 73 не бинарное, т.к. есть узлы, не являющиеся листьями и не образующие два поддерева. Дерево на рис. 71 не бинарное, т.к. есть узлы, из которых исходит три дуги. Бинарное дерево на рис. 72 является полным.