Задачи для самостоятельного решения
Найдите функции, двойственные к функциям:
а)
b) ху
c) (x & (y z)) x;
d) х | y.
Являются ли функции самодвойственными?
а) f(x, y, z)=(0,0,0,1,0,1,1,1)
b). f(x, y, z)=(1,1,0,1,0,1,0,0)?
3.1.4.Логические схемы
В курсе дискретной математики мы рассматриваем функции, значения которых на определенных наборах 0 или 1. На самом деле в реальных устройствах различают сигналы различного уровня напряжения: сигнал менее 0.6 вольт расценивается как логический ноль, а сигнал более 2.5 вольт как логическая единица.
В соответствии с ГОСТом элементарные функции изображаются следующим образом:
При построении схемы по формуле нужно придерживаться некоторых правил. Схема строится слева направо или сверху вниз. Все линии на схеме должны быть прямыми и пересекаться или преломляться под прямым углом. Если на схеме линии пересекаются, но контакта нет, то пересечение обозначается так, как на рисунке 36. Если контакт есть, то изображают так, как показано на рисунке 37.
Примеры решения задач
Построить логическую схему для функции
.
Решение. Можно построить схему так, как показано на рисунке 38, но в реальных схемах отрицание не отдельный элемент. Поэтому аккуратнее схема будет выглядеть так, как показано на рисунке 39.
3.2.Нормальные формы
3.2.1.Разложение функций по переменным
Часто при разработке устройств инженер получает задание: вот таблица входных и выходных значений, нужно создать схему устройства. Существует два стандартных способа представления функций: СДНФ, СКНФ и полином Жегалкина.
Одну и ту же булеву функцию можно задать различными формулами. Нормальная форма – это синтаксически однозначный способ записи заданной функции.
Введём обозначение:
Элементарной
конъюнкцией называется произведение
переменных или их отрицание, где
переменные не повторяются. Например,
даже если функция f(x,y,z,t).
Дизъюнктивная
нормальная форма это дизъюнкция
элементарных конъюнкций, где слагаемые
не повторяются. Например,
.
Теорема. (Совершенная дизъюнктивная нормальная форма). Любую функцию f(x1,...,xn)≠ 0 для любого n можно представить в виде:
Теорема. (Совершенная конъюнктивная нормальная форма). Любую функцию f(x1,...,xn)≠1 для любого n можно представить в виде
Таким образом, любая булева функция может быть представлена суперпозицией конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Разложение по всем переменным в дизъюнкцию называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) функции, а в конъюнкцию – совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ).
Алгоритм приведения к СДНФ:
Построить таблицу значений функции.
Выделить все наборы переменных, где f=1.
Для каждого такого набора построить произведение
.Полученные конъюнкции объединить знаком дизъюнкции.
Алгоритм приведения к СКНФ:
Построить таблицу значений функции.
Выделить все наборы переменных, где f=0.
Для каждого такого набора построить дизъюнкции
.Полученные дизъюнкции объединить знаком конъюнкции.