Смоленский промышленно-экономический колледж
В.Г. Малахова
Математические основы защиты информации
Руководство к решению задач
СМОЛЕНСК 2006
Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры «Информационных технологий»
Автор: Малахова В.Г. (преподаватель СПЭК)
Математические основы защиты информации.
Руководство к решению задач.
В книгу вошли задачи по следующим разделам: множества, отношения, булевы функции, основы теории графов, элементы теории чисел, отношение сравнимости, основные понятия и свойства алгебраических структур, элементы кодирования информации и генераторы псевдослучайных последовательностей.
Данное учебное пособие предназначено для студентов средних профессиональных учебных заведений, связанных с изучением защиты информации в автоматизированных системах.
Оглавление
Введение 6
Глава 1. Введение 7
1.1. Основные понятия криптографии 7
1.1.1. История развития криптографии 7
1.1.2. Сложность алгоритмов 8
1.1.3. Стойкость криптографических систем 9
Глава 2. Элементы теории множеств 10
2.1. Основные понятия теории множеств 10
2.1.1. Обозначения и способы задания множеств 10
2.1.2. Операции над множествами 12
2.1.3. Прямое произведение множеств 13
2.2. Отношения между множествами 14
2.2.1. Определение бинарных отношений 14
2.2.2. Представление бинарных отношений в виде графа, матрицы 15
2.2.3. Свойства бинарных отношений, отношение эквивалентности 16
Вопросы для повторения 19
Глава 3. Булева алгебра 20
3.1. Булевы функции 20
3.1.1. Понятие булевой функции 20
3.1.2. Суперпозиция функций 22
3.1.3. Двойственные функции 23
3.1.4. Логические схемы 24
3.2. Нормальные формы 24
3.2.1. Разложение функций по переменным 24
3.2.2. Минимизация нормальных форм, карты Карно 26
3.3. Полные системы функций 29
3.3.1. Полнота множества функций 29
3.3.2. Базисы 29
Вопросы для повторения 30
Глава 4. Элементы теории графов 31
4.1. Основные понятия теории графов 31
4.1.1. Способы задания графов, основные определения 31
4.1.2. Числовые характеристики графов 33
4.1.3. Операции с графами 35
4.1.4. Изоморфизм графов 37
4.1.5. Маршрут, виды маршрутов 39
4.1.6. Расстояния в графе, центры графа 40
4.1.7. Эйлеровы циклы 41
4.1.8. Алгоритм построения Эйлерова цикла 42
4.1.9. Гамильтоновы циклы 43
4.1.10. Алгоритм построения гамильтонова цикла в графе 44
4.2. Деревья 46
4.2.1. Основные определения 46
4.2.2. Алгоритм Краскала для построения минимального остовного дерева 48
4.2.3. Обходы дерева 53
Задачи для повторения 54
Вопросы для повторения 56
Глава 5. Основы математической теории информации 58
5.1. Меры информации 58
5.1.1. Мера Хартли 58
5.1.2. Мера Шеннона 59
5.1.3. Единицы измерения количества информации 60
5.2. Кодирование информации 62
5.2.1. Код Шеннона-Фано 62
5.2.2. Код Хаффмана 65
5.3. Помехоустойчивое кодирование 68
5.3.1. Код с проверкой на четность 68
5.3.2. Коды с повторением 69
5.3.3. Групповой код Хемминга 70
5.3.4. Помехозащищенность кода 72
Вопросы для повторения 73
Глава 6. Элементы теории чисел 74
6.1. Делимость чисел 74
6.1.1. НОД. Простые и составные числа 74
6.1.2. Теорема о делении с остатком. Алгоритм Евклида 75
6.1.3. Отношение сравнимости 76
6.1.4. Алгебра вычетов 77
6.1.5. Решение сравнений вида ахb(mod m) 79
6.1.6. Применение алгебры вычетов к простейшим шифрам 80
6.1.7. Построение и использование хеш-функций 81
6.2. Алгебра многочленов 83
6.2.1. Основные определения 83
6.2.2. НОД многочленов 84
6.2.3. Разложение многочлена на множители 85
Вопросы для повторения 86
Глава 7. Алгебраические структуры 87
7.1. Основные понятия и свойства алгебраических структур 87
7.1.1. Алгебра 87
7.1.2. Группа 87
7.1.3. Кольцо 89
7.1.4. Поле 90
7.1.5. Конечные поля 91
7.2. Многочлены над конечными полями 92
7.2.1. Каноническое разложение многочлена 92
7.2.2. Порядок многочлена над конечным полем 93
7.2.3. Сравнение многочленов по данному модулю 94
7.2.4. Поиск неприводимых многочленов поля GF(g(x)) над полем GF(р) 95
7.3. Генераторы псевдослучайных последовательностей 98
7.3.1. Понятие псевдослучайной последовательности чисел 98
7.3.2. Практические методы получения псевдослучайных чисел 99
7.3.3. Понятие линейной последовательности 100
7.3.4. Периодичность линейных рекуррентных последовательностей 101
7.3.5. Связь линейных рекуррентных последовательностей над конечными полями с многочленами 102
Вопросы для повторения 104