Часть 4

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПСИХОФИЗИОЛОГИЯ ЦВЕТОВОГО ЗРЕНИЯ

Глава 4.1 одностадийные модели

4.1.1. Теория и модель в науке

Научная теория – это некоторая языковая структура, которая -с помощью логики и интуиции связывает в систему одну группу экспериментальных феноменов и на основе этой связи позволяет 'формально выводить другие группы экспериментальных данных, а иногда и предсказывать совершенно новые феномены. Когда фено­менология (результаты наблюдений или опытов) представлена в количественном выражении в виде графиков, таблиц или уравне-лий, в качестве языка можно использовать математику и соответ­ственно строить математическую теорию.

Частным случаем теории является модель, которая позволяет проверить один или несколько аспектов теории путем конкретиза­ции (обычно упрощающей) некоторых фундаментальных положе­ний, лежащих в основании теории. Модель выполняет две важ­нейшие функции: компактного представления накопленных дан­ных и рабочей гипотезы. После того как модель построена и след­ствия из нее выведены, она подвергается экспериментальной про­верке. В науке известно два основных типа полезных моделей: отвергающие и развивающие теорию [167].

Например, модель дихроматического зрения, построенная на основе трехкомпонентной теории цветового зрения, предсказывает, что дейтеранопы в связи с потерей зеленочувствительного прием­ника из всего набора тонов спектра сохраняют в своем зрении только синие и красные тона и теряют голубые, зеленые, желтые и оранжевые, т. е. те, которые формируются за счет участия зеле­ночувствительного приемника. Это предсказание вступает в про­тиворечие с экспериментальными данными, которые показывают, что у дейтеранопов как раз желтые тона сохраняются, а красные, наоборот, пропадают.

В данном случае модель дихроматического зрения выступает в роли отвергающей теорию модели. Однако выявленное моделью рассогласование теории и эксперимента не обязательно отвергает теорию полностью, оно может быть связано с отдельными ее поло­жениями, которые необходимо отвергнуть или изменить так, чтобы модельные результаты согласовывались с экспериментальными.

В нашем примере дефект трехкомпонентной теории содержится в положении об одностадийной структуре цветового зрения, т. е. лредставлении, что информация от трех рецепторов поступает не-

169

посредственно в систему порождения образа цветового восприя­тия. Изменив это положение введением второй стадии переработки информации (стадии оппонентных механизмов), можно согласо­вать теорию и эксперимент с помощью новой модели. В данном случае модель дихроматического зрения будет включать постре-цепторный блок красно-зеленого и сине-желтого оппонентных ка­налов переработки информации, и в такой модели трехкомпонент-ная теория не будет отвергаться.

Более того, оказывается, что такая модель дихроматического зрения одним из своих следствий будет иметь новый тип дихро­матизма (так называемую тетартонопию), существование которой экспериментальными исследованиями ранее обнаружено не было* а определилось только после теоретических разработок. В таких случаях модель дихроматического зрения будет развивать теорию,. дополнять ее новыми следствиями и выводами, т. е. она будет относиться к развивающим теорию моделям.

Кроме полезных моделей нередко в науке встречаются и бес­полезные, так называемые модели ad hoc :{&т лат. к случаю). Остроумный вариант такого типа моделей придумал Пост [167;. 222]. Представим себе фермера, предлагает Пост, который хочет сделать в ограде деревянную калитку. Его интересует, какой дли­ны должно быть диагональное крепление / при определенной. длине основания х и высоте у калитки. Он умеет измерять длины предметов, но не подозревает о существовании теоремы Пифагора, предполагая в этой связи, что в прошлом этот фермер был спе­циалистом по колориметрии [222]. Пытаясь выяснить, как свя­заны между собой длины элементов калитки, он придумывает следующую модель:

1=х + у. (а)

Обоснование своей модели он видит в совпадении некоторых. общих соотношений между свойствами реальных длин и характе­ристиками модели. В частности, при увеличении длины основания или высоты калитки длина диагонального элемента увеличится,, и это учитывается моделью. Далее, при д: = 0, или */ = 0, / будет равно длине оставшейся стороны калитки и т. д. Но, как только он пытается вычислить в модели по длинам сторон длину диаго­нали, он каждый раз получает некоторое расхождение между рас­четом и практически требуемой длиной. В калитке диагональ почему-то всегда меньше. И вот, чтобы объяснить расхождение между своей моделью и реальными измерениями, фермер вводит новый феномен «сокращение калитки» и включает этот феномен в свою модель:

l = k-(x + y). (б>

Исследуя свойства k, фермер устанавливает, что k не просто меньше или равно единице, а представляет собой довольно слож­ную функцию от х и у (рис. 4.1.1). Построив распределения ко-

170

эффициента k от х и у, фермер со спокойной душой считает про­блему решенной.

Можно представить себе его разочарование, когда он попы­тается применить эту модель для расчетов калитки не прямо­угольной, а, например, трапециевидной формы. Один из верных способов избежать моделей фермерского типа – это включать в структуру модели как можно большее число различных феноме­нов. Модель одного феномена – это практически всегда решение &d hoc [94]. Но еще важнее добиваться содержательной интер-

Рис. 4.1.1. Функция зависимости эф- Рис 4.1.2. Зависимость общего поро-фекта «сокращения калитки» от гового различия AS от порогового длины основания калитки (х) и вы- изменения в активности рецепторов, соты (у) представленная в метрике трехмер-

ного евклидова пространства

претации всех характеристик модели, избегая .математических структур, которые не переводятся на язык психофизиологических -феноменов. Особенностью психофизиологических моделей являет­ся то, что они должны объединить в себе и психофизические зако­номерности, и нейрофизиологические механизмы. Психофизиологи­ческая модель строится из нейроноподобных элементов таким образом, чтобы на выходе всей модели получать психофизиологи­ческие зависимости. При этом каждый нейроноподобный элемент модели должен воспроизводить реакции реального нейрона, уча­ствующего в осуществлении моделируемой функции.

Проверка психофизиологической модели осуществляется путем построения предсказанных на основе модели психофизических за­кономерностей и характеристик тех реальных нейронов, которые были постулированы в модели. При подтверждении модели она используется для новых предсказаний. При ее расхождении с опытом модель модифицируется так, чтобы она охватывала всю совокупность экспериментальных данных.

171

Математические модели цветового зрения, которые будут рас­сматриваться в последующих разделах, принадлежат к категории

полезных моделей.

4.1.2. Модель Гельмгольца

Автором первой математической модели различения цветов был Герман фон Гельмгольц [103; 162]. Он разработал ее неза­долго до смерти в 1894 г., основываясь на своей теории цветового зрения. На модель Гельмгольца уже много лет ссылаются только как на начальную точку в истории математических моделей цвето-различения [92; 222]. Действительно, модель Гельмгольца очень быстро обнаружила свою несостоятельность в решении проблемы цветоразличения, но тем не менее она имеет не только историче­ский, но и теоретический интерес. Целый ряд идей, лежащих в ос­нове модели Гельмгольца, без изменений входит во все последую­щие модели. Такова, например, идея применения в качестве мо­дели различения цветов метрического многомерного пространства, в котором точки представляют отдельные цвета, а межточечные расстояния – соответственно цветовые различия. Затем Гельм-гольцу принадлежит также идея физиологической интерпретации осей цветового пространства. В связи с этим будет полезно рас­смотреть главные положения модели Гельмгольца.

Построение модели Гельмгольц начал с решения следующей проблемы: как можно различать цвета, основываясь на изменении интенсивности трех базисных процессов /?, G, В, протекающих а приемниках сетчатки?

Пусть Д/д, Д/с и Д/s представляют минимальные величины из­менения интенсивности, приводящие к активации соответствующие приемники, г AS – величина минимального цветового различия. Тогда ответом иа вопрос будет следующее уравнение:

' AS = F(AI_R, Д/_с, Д/в). (4.1.1)

Каким психофизиологическим требованием должна удовлетворять функция F в выражении (4.1)? Во-первых, AS не может быть от­рицательным, поскольку цветовое различие не может быть меньше нуля (т. е. различия двух идентичных цветов). Далее, при AS = 0 должно выполняться Д/д = Д/_с = Д/в=0, поскольку цветовое разли­чие может исчезнуть только в том случае, если ни один из прием­ников не меняет своей активности. Самая простая функция, кото­рая удовлетворяет таким требованиям, это:

(ДЯ)² = (Д/_й)² + (Д/_с)²+ (Д/в)², (4.1.2>

что в геометрических терминах может быть представлено как рас­стояние в трехмерном евклидовом пространстве (рис. 4.1.2).

172

Следующий вопрос, на который отвечал Гельмгольц, касалсяг психофизической характеристики чувствительности приемников-. сетчатки. Здесь Гельмгольц принял Фехнеровскую идею

AS = k– (4.1.3)

для каждого из приемников, но несколько модифицировал выра­жение (4.3), введя константы для учета изменений на очень низ­ких и очень высоких уровнях интенсивности:

M_H = HR^L; AI_G = HG^-; AI_B = HB–_f (4.1.4)

х у г

где

Н =----------\---------- (4.1.5)<

1 -г- а^ Ч~ by -f- cz

И

# = -^-; G = –^G-^–\ B--^-. (4.1.6)-

а + х P+t/ у+г

Константы а, р, у интерпретировались Гельмгольцем как характе­ристики «собственного света» сетчатки, а термин Я был введен для сохранения закона Вебера при максимальных уровнях яркости света.

Проверку своей модели Гельмгольц начал с расчета величины расстояния, соответствующей едва заметному различию. Для этого он упростил задачу, перейдя к измерению только яркостного раз­личия между цветами.

Допустим, мы изменили яркость цвета на некоторую величи­ну. Различие между бывшим и новым цветами также выражает­ся как AS. При этом изменении активность цветоприемников из­меняется в одном и том же отношении так, что

= –– =------=Др. (4.1.7)*

х у г

Отсюда, учитывая уравнения (4.1.2) и (4.1.4), можно записать

(AS)² = tf-(tf²+G² + Ј²)Ap.

Принимая, что на высоких уровнях яркости #=1, а /?, G и В приближаются к константе k, Гельмгольц получил

(AS)² =Ь (3k²) Ар. (4.1.8)

Использовав теперь для расчета экспериментальные данные Ке-нига и Дитеричи [125] по различению яркостей, Гельмгольц вы­вел, что величина AS равна 0,018. Эту константу он использовал для вычисления функции цветоразличения АХ(Х) и получил хорошее соответствие между теоретической и экспериментальной функция­ми. На рис. 4.1.3 показаны две эти функции, сплошная линия

173

представляет экспериментальные измерения Кенига и Дитеричи, а пунктирная – расчеты в модели Гельмгольца.

Когда же Гельмгольц попытался вывести из своей модели функции спектральной чувствительности первичных приемников, которые были бы согласованы с уже выведенной функцией цвето-различения, он потерпел неудачу. Полученные функции спектраль­ной чувствительности имели два пика и очень мало соответствова­ли характеристикам приемников, на которых базировалась трех-компонентная теория. Такие функции спектральной чувствитель-

эксперимент модель

АЛ 2 1

440 480 520 560 600 640

Длина болны , им

Рис 4.1.3. Сравнение эксперимен­тальной функции цветоразличе-ния [125] с теоретической функ­цией, выведенной из одностадий­ной модели Гельмгольца. Взято из Грехема [92]

400

500 600

Длина волны, нм

700

Рис. 4.1.4. Функция фотоцической спектральной чувствительности, по­лученная методом последовательно­го сдвига по спектру (точки). Ли­ния представляет теоретические дан­ные, выведенные из модели Стайлса

ности, хорошо согласующиеся с требованиями трехкомпонентнои теории, уже были выведены Кепигом и Дитеричи на основании экспериментов по смешению цветов [126].

После Гельмгольца многие исследователи пытались найти бо­лее удачное решение, модифицируя различные параметры модели. В частности, Шредингер [175] модифицировал модель Гельмголь­ца, заменив выражение (4.1.3) следующей формой:

AS^k

м

//

(4.1.9)

Шредингер вывел из своей модели функции спектральной чув­ствительности первичных приемников, которые были согласованы с данными смешения цветов Кенига и Дитеричи [126], однако в этом случае оказалось невозможным вывести функцию цветораз-личения из модели Шредингера [222].

174

Таким образом, модели Гельмгольца и Шредингера показывав ли, что функция цветоразличения не имеет прямой связи с функ­циями чувствительности приемников сетчатки, что служило ре­шающим аргументом для отвержения трехкомпонентной односта­дийной теории цветового зрения.