4.2 Расчеты на прочность и жесткость
Рисунок 4.1 К установлению прочности и жесткости при кручении.
Рассмотрим элемент,
выделенный сечениями I и II из цилиндра,
конец которого закреплен неподвижно
по указанной плоскости, а другой нагружен
парой сил с моментом М (рисунок 4.1, а). В
результате действия внешнего момента
М возникает деформация кручения, при
которой образующая цилиндра aвcd займет
положение
(рисунок
4.1, а).
Если сечение I–I,
находящиеся на расстоянии х от нижнего
конца цилиндра, повернулось на угол
,
то сечение II–II, находящиеся на расстоянии
от нижнего сечения, повернется на угол
(рисунок 4.1, б). Проведем из точки в прямую
«вс» параллельно
.
Тогда угол
.
Элемент
до поворота сечения II относительно
сечения I имел вертикальные боковые
стороны, следовательно, абсолютный
сдвиг элемента:
.
Относительный сдвиг:
.
Обозначим
,
тогда
,
где
–
угол закручивания, отнесенный к единице
длины цилиндра, называемой относительным
углом закручивания.
Для цилиндров
постоянного сечения, подвергаемых
действию крутящего момента,
.
Так как в соответствии с принятыми
допущениями радиусы при кручении
остаются прямыми, то можно сказать, что
для всякого элемента, лежащего внутри
цилиндра на радиусе
,
относительный сдвиг:
(4.2)
По закону Гука напряжение в сечении цилиндра:
(4.3)
при
;
Из соотношения (4.3) следует, что напряжение внутри цилиндра изменяется по линейному закону пропорционально расстоянию от оси вращения. Минимальное напряжение, равное нулю, имеет место в центре поперечного сечения, а максимальное – на поверхности цилиндра (рисунок 4.1, в).
Элементарная касательная сила, перпендикулярная радиусу сечения, проведенному в центр тяжести элементарной площади dF, действующая на эту площадку с учетом соотношения (4.3), будет:
.
Элементарный
момент, создаваемый силой
относительно
центра сечения:
.
Сумма таких
элементарных моментов, взятая по всей
площади поперечного сечения цилиндра,
равна крутящему моменту
,
который действует в рассматриваемом
сечении цилиндра и в данном конкретном
случае равен внешнему моменту М:
.
Так как
и
,
то
.
Но
–
полярный момент инерции сечения. Поэтому:
(4.4)
Из соотношения (4.4) получим величину угла закручивания, отнесенного к единице длина цилиндра:
(4.5)
Полный угол закручивания в радианах:
(4.6)
или в градусах:
(4.7)
Произведение
модуля упругости второго рода на полярный
момент инерции
называют жесткостью
при кручении.
Эта величина характеризует способность
тела из данного материала с поперечным
сечением длинного размера и форма
сопротивляется деформации кручения.
Таким образом, полный угол закручивания
цилиндра прямо пропорционален крутящему
моменту и длина цилиндра и обратно
пропорционален жесткости при кручении.
Найдем зависимость напряжения от крутящего момента. В соответствии с (4.3) вместо подставляем его значение из (4.5):
Отсюда (рисунок 4.1, в) наибольшее напряжение при кручении:
(4.8)
или
(4.9)
где
– отношение полярного момента инерции
к расстоянию от оси вращения до наиболее
удаленной точки сечения; это отношение
называют полярным
моментом сопротивления.
Условие прочности при кручении будет выполнятся в том случае, если максимальное значение напряжения, возникающего при кручении, не превышает величины допускаемого напряжения, т.е. уравнение прочности при кручении имеет вид:
(4.10)
Допускаемое напряжение при кручении для стали обычно принимают:
где
–
допускаемое напряжение при растяжении.
Приведем соотношение для определения полярного момента сопротивления:
для круга диаметром d с учетом выражения (4.4):
;
для кольца, с учетом соотношения (4.5):
,
где Д – наружный
и
внутренний диаметр
кольца.
При
полярный момент сопротивления кольца:
Ранее приведено уравнение прочности при проверочном расчете. Далее установим уравнение прочности при проектировочном расчете, когда необходимо определить параметры (в частности, диаметр вала) цилиндра при кручении.
Определить диаметр цилиндра , подвергнутого деформации кручения, можно исходя из двух посылок. В тех случаях, когда определяющей является прочность цилиндра, расчет ведут по соотношению (4.10). для сплошного цилиндра:
;
(4.11)
Когда определяющей является предельная деформация (угол закручивания), расчет ведут на жесткость. Из уравнения (4.7) имеем:
(4.12)
где
– доп. угол закручивания на единицу
длины, который в зависимости от назначения
вала принимают в пределах 0,25 …1,0 град/м;
– полярный момент инерции сплошного
цилиндра.
Тогда диаметр вала сплошного сечения, на основании уравнения жесткости:
(4.13)
Пользуясь уравнениями (4.10) и (4.12), можно решить и другую задачу: определить безопасную величину крутящего момента бруса, при котором обеспечивается необходимая прочность или жесткость.
Резюме по двум видам напряженного состояния – изгибу и кручению: основной параметр, влияющий на величину напряжения – момент, определяют с одной целью – выяснить выполняется ли условие прочности и допустимы ли линейные и угловые параметры деформации.