III. Період елементарної математики.

Цей період охоплює з V ст. н. е. до XVI ст. включно. У формулюванні математики цього періоду прийняли участь народи Китаю, Індії, країн мусульманського світу та Європи, особливо епохи Відродження.

Основна увага приділялась розробці арифметико-обчислювальних алгоритмів. Була створена десяткова позиційна система числення (Індія), яка спочатку застосовувалась для цілих чисел, а пізніше для позначення дробових чисел.

Особливу роль у розвитку алгебри відіграли математики мусульманського світу.

Алгебра будувалась на основі арифметики і в кінці цього періоду було введено буквене числення. Розвивались наближені алгоритми, була побудована система плоскої та сферичної тригонометрії, розширились поняття числа і в область чисел були введені ірраціональні та від'ємні числа.

Математики Італії отримали великі успіхи у розв'язуванні в радикалах рівнянь 3-ого, 4-ого степеня.

З успіхами алгебри зв'язано і введення алгебраїчної символіки, буквених позначень не тільки операцій, а і невідомих та довільних постійних величин

IV. Математика змінних величин.

Це період математики XVII - XVIII століть. На початку XVII століття Кеплер відкрив закони руху тіл, в ЗО роки Галілей вивчає закони вільного падіння тіл, в 70 роки Гюйгенс досліджує коливання маятника. В 1687 Ньютон публікує "Математичні начала натуральної філософії". Поставивши в основу три аксіоми руху (закони Ньютона) і закон всесвітнього тяжіння, Ньютон чисто математично вивів всі основні відомі в цей час факти механіки земних і небесних тіл: закон руху точки і твердого тіла, закони Кеплера руху планет, закон руху Місяця, явищ припливу та відпливу та інше. Такі успіхи природознавства були б неможливими без відповідного розвитку математичних методів.

Розвиток методів нескінченно малих був колективною творчістю багатьох математиків та фізиків.

Поряд з тим розвивались обчислювальні методи з введенням логарифмів, створена аналітична геометрів в працях Декарта і Ферма, теорія чисел в працях Ферма, велись дослідження з проективної геометрії Декартом і Паскалем, була дана трактовка теоретико - ймовірнісних задач Паскалем, Ферма, Гюйгенсом. Розвиток методів нескінченно малих завершується в 70-их роках XVII століття створенням диференціального та інтегрального числення. Воно було побудовано майже одночасно двома великими математиками Ісааком Ньютоном і Готфрідом Вільгельмом Лейбніцом.

В XVIII столітті іде розвиток і удосконалення апарату математичного аналізу, проникнення математичних методів у фізику. Створюється аналітична механіка. В середині математичного аналізу формуються його розділи: звичайні диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, диференціальна геометрія, елементи теорії функцій комплексної змінної, варіаційне числення і т.д. Провідна роль у створенні цих напрямків належить видатному математику XVIII століття - Леонарду Ейлеру,

Почало формуватись поняття функції.

V. Період сучасної математики.

XIX століття характеризують глибокі якісні зміни у математичних дослідженнях. Проходять корінні перетворення трьох основних розділів математики: алгебри, геометрії і математичного аналізу.

Якщо до XIX століття алгебра була в основному наукою про алгебраїчні рівняння, то тепер чільне місце займає вивчення нових структур: груп, кілець, полів. Одночасно розвивається матричне числення, векторне числення, лінійна алгебра.

Геометрія раніше зводилась до вивчення евклідової геометрії двох і трьох вимірів. В XIX столітті виникли неевклідові геометрії, п- вимірні геометрії, розвивається проективна геометрія. Виявлено тісний зв'язок геометрії з теорією груп і теорією інваріантів, з іншої сторони - з теорією функцій. Виник новий розділ математики - топологія.

Математичний аналіз почав будуватись на основі означення границі, узагальнюються такі основні поняття як функція, сума ряду, інтеграл. Побудова теорії дійсних чисел (Дедекінд, Кантор, Вейєрштрасс) завершила арифметизацію класичного математичного аналізу. В цей же період Кантором була створена теорія множини, яка стала в XX столітті універсальною мовою математики.

Були отримані перші доведення нерозв'язності в математиці а саме, нерозв'язність в радикалах рівнянь вище четвертого степеня з довільними коефіцієнтами, нерозв'язність знаменитих задач грецької математики на побудову.

Особливу роль у створенні сучасної теорії функцій зіграла теорія тригонометричних функцій.

Перебудова математичного аналізу вплинула на розвиток теорії функцій комплексного аргументу, були закладені основи теорії аналітичних функцій.

Надзвичайне розширення предмету математики зумовило посилену увагу до питань її "обгрунтування". Під цим розумівся критичний перегляд вихідних положень ( аксіом ), побудова строгої системи означень і доведень. Особлива увага до цих питань постала після виявлення антиномій в теорії множин.

В математиці XX століття, поряд з розвитком нових та класичних напрямів, важливе місце займають питання обгрунтування математики (основи математики). Вони дали поштовх до розвитку нових напрямів, зокрема математичної логіки та метаматематики. Ці питання мають відношення до філософії математики.

Питаннями філософії математики вчені цікавляться від Платона і Арістотеля і до сьогоднішніх днів. На сьогодні у філософії математики сформувались такі основні концепції: логіцизм, інтуїцизм та формалізм.

Якщо подивитись на математику з методологічної сторони, то в її розвитку потрібно виділити при період. Перший період, який тривав десь до кінця V ст. до н. е.. другий період - з початку IV ст. до н. е. і до кінця XIX ст. н. е. і третій період, сучасний, який розпочавсь з початку XX ст.

Перший період дав досить примітивну математику, яка обмежувалась розв'язуванням різних конкретних задач, загальні методи, якщо і були, не бул"И чітко сформульовані і обгрунтовані. Хоча чи варто вважати "примітивними" деякі досягнення тодішньої математики. Наприклад, створення і розвиток позиційної шестидесяткової системи у Вавилоні кілька тисяч років тому було мабуть тяжчим завданням, ніж сьогодні доведення несуперечності аксіоми вибору з рештою аксіом теорії множин.

Протягом другого періоду математика істотно змінила свій характер. Вона перестала бути розв'язками конкретних задач, а набрала вигляду означень, тверджень і доведень. Визначальним твором цього періоду стали "Начала” Евкліда. Будучи написаними біля 300 року до н е. "Начала" тисячі разів переписувались, друкувались, перекладались, перероблялись, "виправлялись", повсюди вивчались і справляли подив. До кінця XIX століття вони були підручником для молоді і обов'язковою літературою для професійних математиків.

Наукові позиції і популярність твору Евкліда протягом тисячоліть зумовлені багатьма причинами, а саме:

1."Початки" були підсумком тогочасного розвитку математики, разом з тим містили результати Евкліда,

2. виклад Евкліда мав аксіоматичні основи, які математики не зуміли істотно покращити протягом двох тисячоліть,

3. доведення Евкліда відзначались скрупульозністю і такою елегантністю, що стали взірцем до наслідування аж по XIX століття.

Основні складові "парадигми Евкліда" в певній мірі були приготовані попередниками Платоном і особливо Арістотелем. Історичні дослідження догрецької і грецької математики мають величезне значення для розуміння генези цієї науки.

В XIX столітті почали зароджуватись і розвиватись нові визначальні ідеї, які ^: спричинили на початку XX століття радикальні зміни вигляду математики. Цьому сприяло передовсім створення теорії множин, арифметизація математичного аналізу, аксіоматизація арифметики натуральних чисел, створення неевклідових геометрій і повна аксіоматизація геометрій і зрештою виникнення і швидкий розвиток математичної логіки і зв'язане з нею уточнення математичної мови (введення до неї квантифікаторів. які зв'язують змінні).

Цей процес закінчився у XX столітті виробленням нової парадигми математики. Нова парадигма має ряд особливих рис:

- теорія множин стала головною дисципліною цілої математики і навіть у двох значеннях. По перше, основні поняття (і деякі аксіоми) теорії множин включені до мови кожної математичної дисципліни. По друге, теорія множин становить фундамент всієї математики: з допомогою її первісних понять можна означити всі математичні поняття,

- мова сучасних математичних теорій є чітко відділена від побутової мови і внутрішньо впорядкована за допомогою дефініцій, які задаються згідно точно сформульованих правил.

- всі математичні теорії стали у достатній мірі аксіоматичними.

- уточнено ключові поняття

- зроблено розмежування між математичною теорією та її мовою з однієї сторони і метатеорією та її мовою (метамовою) з другої сторони.

Природнім є питання: чи зароджується в математиці нова парадигма? Деякі автори стверджують, що так. Основою нової парадигми мала би бути теорія категорій і функторів, яка виникла в середині XX століття. Виявляється, що мова теорії категорій уніфікує різні математичні теорії і, що більше, дає можливість створення альтернативного підходу (крім теорії множин) до основ математики.

Тим часом в багатьох публікаціях з філософії математики з'являються думки про пізнавальну обмеженість (є навіть критика) аксіоматичного методу. Ці висновки беруться з відомих тверджень К.Геделя і А.Тарсысого. які стосуються повноти, розв'язності чи несуперечностей аксіоматичних теорій.

Ці та інші питання будуть розглядатись в курсі «Історія і методологія математики». Більш поглиблене вивчення студентами потоку магістрів методологічних питань математики буде запропоновано при написанні рефератів.