2.2 Методика формування в учнів вміння вирішувати тригонометричні рівняння

У процесі формування у школярів вмінь вирішувати тригонометричні рівняння рекомендується виділити три етапи:

1. підготовчий

2. формування вмінь вирішувати найпростіші тригонометричні рівняння й нерівності

3. введення тригонометричних рівнянь і нерівностей інших видів і встановлення прийомів їхнього рішення.

Ціль підготовчого етапу полягає в тому, щоб, по-перше, почати формування в школярів вміння використовувати тригонометричне коло або графік функції для рішення рівняння; по-друге, познайомити учнів із застосуванням властивостей тригонометричних функцій для рішення рівнянь виду й т.п.; по-третє, спеціально звернути увагу школярів на застосування різних прийомів перетворень виражень при рішенні тригонометричних рівнянь. [4,c.81]

Реалізувати цей етап рекомендується в процесі систематизації знань школярів про властивості тригонометричних функцій. Основним засобом можуть служити завдання, пропоновані учнем і виконувані або під керівництвом учителя, або самостійно. Приведемо приклади таких завдань:

1) знайти всі числа відрізка , для яких вірно й т.п.,

2) відзначити на одиничній окружності крапки P_t, для яких відповідні значення t задовольняють рівності й т.п.,

3) використовуючи графік функції , указати множина чисел, для яких вірно

4) вирішити рівняння

а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) ,

5) вирішити рівняння:

а) ,

б) ,

в) .

Привернимо увагу на два останні завдання. В основі рішення запропонованих рівнянь, як правило, – застосування визначень синуса, косинуса числа (або таких властивостей тригонометричних функцій, як наявність корінь, наявність екстремумів у функцій синус і косинус). Виконання п'ятого завдання припускає рішення сукупностей тригонометричних рівнянь розглянутого виду (наприклад, останнє рівняння перетвориться в такий спосіб: , тобто маємо сукупність рівнянь або ). Варто спеціально звернути увагу учнів на мету перетворень тригонометричних виражень при рішенні запропонованих рівнянь: заміна даного вираження, тотожно йому рівним і залежної від однієї тригонометричної функції, або перетворення вираження в добуток лінійних множників щодо тригонометричних функцій.

Реалізація другого етапу навчання школярів рішенню тригонометричних рівнянь, на якому відбувається формування вмінь вирішувати найпростіші рівняння, припускає введення понять «арксинус числа», «арккосинус числа» і т.д., одержання загальних формул рішення найпростіших тригонометричних рівнянь, формування вмінь ілюструвати рішення найпростіших тригонометричних рівнянь за допомогою графіка відповідної функції або тригонометричного кола. [12,c.87]

У наш час поняття арксинуса, арккосинуса числа й т.д. вводяться без звертання до функції, що є зворотною по відношенню відповідно до функцій синус, косинус і т.д. Як основу введення зазначених понять використовується так звана теорема про корінь. Зазначена теорема застосовується й для введення способу рішення найпростіших тригонометричних рівнянь. Це вимагає виділяти в процесі одержання формул, що задають множини їхніх рішень, кілька пунктів: 1) розглядається проміжок, довжина якого дорівнює найменшому позитивному періоду функції, представленої в лівій частині рівняння й на якому визначене поняття арксинуса, арккосинуса або арктангенса числа (залежно від запропонованого рівняння); якщо ця функція – синус або косинус, то проміжок розбивається на два); 2) дані рівняння зважується на кожному проміжку; основою рішення служить теорема про корінь, що конкретизується для відповідної тригонометричної функції; 3) на основі властивості періодичності розглянутої тригонометричної функції робиться висновок про те, що числа або (тут - рішення рівняння, що належить виділеним проміжкам) є рішеннями даного рівняння; цей висновок використовується для одержання формули рішень.

Рекомендуємо запропонувати учням і інший спосіб одержання формули рішень найпростішого тригонометричного рівняння. Розкриємо його суть, звернувшись до рішення рівняння ( і ).

Тому що , то дане рівняння обов'язково має рішення, одне йз яких належить проміжку . Позначимо його . Тоді . З урахуванням прийнятих позначень дане рівняння приводимо до виду: . Перетворимо ліву частину рівняння в добуток: ; це дає можливість замінити дане рівняння рівносильною сукупністю найпростіших тригонометричних рівнянь або . Використовуючи властивість функцій синус і косинус (множина корінь), одержуємо: або . Тепер залишилося виразити через ( або ) і записати загальну формулу для знаходження рішень рівняння.

Запропонуємо рекомендації, пов'язані з методикою організації діяльності учнів на другому етапі навчання рішенню тригонометричних рівнянь. При цьому будемо орієнтуватися на використання другого способу одержання загальної формули рішень найпростішого тригонометричного рівняння.

По-перше, мотивувати доцільність одержання загального прийому рішення найпростіших тригонометричних рівнянь можна, звернувшись, наприклад, до рівнянь , . Використовуючи знання й вміння, придбані на підготовчому етапі, учні приведуть запропоновані рівняння до виду ; , але можуть ускладнитись в знаходженні множини рішень кожного з отриманих рівнянь. Зазначених ускладнень можна уникнути, якщо звернутися до відповідної ілюстрації (рішення рівняння графічно або за допомогою тригонометричного кола), але й у цьому випадку залишається відкритим питання: чи не можна одержати загальні формули для запису множин рішень тригонометричних рівнянь виду , ( і ), ( ), які дадуть можливість відразу фіксувати шукані множини.

По-друге, варто звернути увагу учнів, що одержання загальних формул для запису множин рішень рівнянь зазначеного виду припускає введення понять арксинуса, їхнього арккосинуса числа й т.д. Ввести ці поняття повинен вчитель, демонструючи школярам застосування теореми про корінь до кожної із тригонометричних функцій на певній множині. При цьому доцільно звернутися до графічного способу рішення задачі про знаходження множини рішень рівняння виду , , на проміжках , і відповідно (вирішити таку задачу учні можуть самостійно).

По-третє, варто провести роботу з формування в учнів знаходити значення виражень виду , , при даних _{значеннях} /.

По-четверте, доцільно провести роботу з актуалізації в прийомів, що вчаться, перетворення суми (різниці) тригонометричних функцій у добуток, звернути увагу школярів на роль цих прийомів при рішенні тригонометричних рівнянь. Організувати таку роботу можна через самостійне виконання учнями запропонованих учителем завдань, серед яких виділимо наступні:

1)Розкласти на множники: .

2)Вирішити рівняння: . Виконання учнями наведених завдань варто укласти висновком про той прийом, що лежить в основі рішення даних рівнянь: привести рівняння до виду , розкласти ліву частину на множники, скористатися умовою рівності нулю добутку й замінити рівняння рівносильною сукупністю рівнянь, кожне з рівнянь сукупності вирішити, використовуючи факт про множину корінь відповідної тригонометричної функції.

В-П'ятих, почати роботу із введення способу рішення найпростіших тригонометричних рівнянь треба з постановки питання: при яких значеннях параметра рівняння виду ( , , ) має (не має) дійсного рішення й чому. Виділення множини рішень параметра, при яких зазначене рівняння розв'язне в , дає підставу для пошуку способу його рішення. Помітимо, що в практиці навчання школярам досить роз'яснити суть такого способу для одного з рівнянь, наприклад, , . При цьому потрібно лише звернути увагу учнів на те, що якщо ми замінимо число /значенням функції синус деякого аргументу, то дане рівняння зводиться до рівняння, спосіб рішення якого вже відомий. Тому, по суті, більша частина роботи, пов'язаної з одержанням формули рішень розглянутого рівняння, може бути виконана учнями самостійно. Вчитель виступає в ролі консультанта й допомагає школярам зробити узагальнення. Одержання формул, що задають множини рішень рівнянь доцільно представити учнем для самостійної роботи.

В-Шостих, від учнів не рекомендується вимагати обов'язкової ілюстрації рішення кожного найпростішого тригонометричного рівняння за допомогою графіка або тригонометричного кола. Але звернути увагу на її доцільність треба (особливо на застосування кола), тому що надалі при рішенні тригонометричних нерівностей відповідна ілюстрація служить дуже зручним засобом фіксації множини рішень даної нерівності. [7,c.97]

Наступне формування в умінь, що вчаться, вирішувати найпростіші тригонометричні рівняння здійснюється в основному в процесі самостійного рішення школярами рівнянь, серед яких - рівняння, що приводяться до найпростішого або їхній сукупностей після виконання перетворень тригонометричних виражень. У список пропонованих учнем рівнянь рекомендуємо включити такі, які зводяться до виду

і т.п.

Аналогічні завдання можуть служити засобом контролю за сформованістю в умінь, що вчаться, вирішувати найпростіші тригонометричні рівняння.

У зв'язку з реалізацією третього етапу процесу формування в школярів умінь вирішувати тригонометричні рівняння зробимо лише два зауваження.

По-перше, знайомство учнів із прийомами рішення тригонометричних рівнянь, що не є найпростішими, доцільно здійснювати за наступною схемою: звертання до конкретного тригонометричного рівняння = типовому представникові певного виду спільний пошук (вчитель – учні) прийому рішення самостійний перенос знайденого прийому на інші рівняння цього ж виду узагальнення- висновок про характеристики рівнянь розглянутого виду й загальному прийомі рішення цих рівнянь.

По-друге, щоб, з одного боку, систематизувати знання учнів про прийоми рішення тригонометричних рівнянь, а з іншої, продемонструвати достатню «умовність» віднесення ряду рівнянь до певного виду, рекомендуємо спеціально показати школярам можливість застосування різних прийомів рішення до тому самому рівняння. Для цього доцільно звернутися до «гарного рівняння, установити всі ті прийоми, які можуть бути реалізовані в процесі його рішення, акцентувати увагу учнів на їхніх особливостях, виділити прийом, що у розглянутій ситуації виявляється найбільш раціональним. [5,c.71]

На закінчення приведемо приклади тригонометричних рівнянь, які рекомендуємо запропонувати учням для самостійного рішення:

1 групу становлять тригонометричні рівняння, спосіб рішення яких заснований на визначеннях і деяких властивостях тригонометричних функцій.

а) ; б) ; в) ; г)

2 групу становлять найпростіші тригонометричні рівняння, спосіб рішення яких заснований на визначеннях тригонометричних функцій і поняттях арксинуса, арккосинуса й арктангенса числа.

а) ; б) ; в) ;

г) ;

3 група задач поєднує тригонометричні рівняння, рішення яких зажадає виконання тотожних перетворень тригонометричних і алгебраїчних виражень для приведення даного рівняння до одному з відомих видів.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

[10]