Многочлены Жегалкина

Любую булеву функцию можно представить в виде многочлена от своих переменных и такой многочлен называется многочленом Жегалкина.

Многочленом Жегалкина называется многочлен, являющийся суммой константы и различных одночленов, в которые каждая из переменных входит не выше, чем в первой степени.

Многочлен Жегалкина константы равен самой же константе; многочлен Жегалкина булевой функции одной переменной f(x) = многочлен Жегалкина булевой функции двух переменных

f(x₁,x₂) = ;

многочлен Жегалкина булевой функции трех переменных

f(x₁,x₂,x₃)= и т.д. Коэффициенты a₁,...,_i и свободный член а_о принимают значения О или 1, а число слагаемых в формуле равно 2^п, где п — число переменных. Знак — сумма Жегалкина или сумма по модулю два.

Теорема	3 (Жегалкина).	Каждая булева функция	f(x₁,x₂, ...,х_п)	может
быть представлена в виде		многочлена Жегалкина и	единственным
образом,	с точностью до порядка слагаемых.

Сформулируем алгоритм построения многочлена Жегалкина. Выше было указано, что любую функцию, отличную от константы О, можно представить в виде СДНФ. Если сравним таблицы истинности

дизъюнкции и суммы по модулю два, видим, что они отличаются только последней строкой, т. е. на наборе 11. Так как в СДНФ на каждом наборе только одна конъюнкция равна 1, то все дизъюнкции можно заменить суммами по модулю два. Кроме того, известно, что . На этом и основан первый алгоритм построения многочлена Жегалкина:

Находим множество тех двоичных наборов, на которых функция принимает значение 1.
Составляем СДНФ.
В СДНФ каждый знак дизъюнкции меняем на знак суммы Жегалкина.
Упрощаем, если можно, полученное выражение, используя тождество .
В полученной формуле каждое отрицание заменяем на .

6. Раскрываем скобки в полученной формуле, содержащей только функции и и константу 1.

7. Приводим подобные члены, используя тождество . Используя метод неопределенных коэффициентов, получаем второй алгоритм определения многочлена Жегалкина:

1. Составляем систему линейных уравнений относительно 2^п неизвестных коэффициентов, содержащую 2^п уравнений, решением которой являются коэффициенты а_о, а₁, …,а_1,2…_n многочлена Жегалкина.

Многочлен Жегалкина называется нелинейным, если он содержит конъюнкции переменных, а если он не содержит конъюнкции переменных, то он называется линейным.

Функция f(x₁ ,х₂,...,х_п) называется линейной, если ее многочлен Жегалкина имеет вид и нелинейной в противном случае.

Из определения многочлена Жегалкина следует, что для любой булевой функции коэффициенты при переменных x₁ ,х₂,...,х_п и свободный член вычисляются по формулам:

…

На этом основан алгоритм определения линейности (или нелинейности) булевой функции.

1. По таблицам истинности булевой функции f(x₁ ,х₂,...,х_п) и выше указанным формулам находим коэффициенты: (а_о, а₁, …,а_1,…_n)

2. Выписываем многочлен Ф(x₁,...,х_п)= и проверяем, задает ли он эту функцию. Для этого строим таблицу истинности многочлена Ф(x₁ ,х₂,...,х_п) и сравниваем ее с таблицей истинности функции f(x₁,x₂, ...,х_п).