Глава 2. «элементы математической логики»

Математическая логика – современный вид формальной логики, т.е. наука, изучающая умозаключения с точки зрения их формального строения. Выделяется несколько типов формальных систем: логика высказываний и логика предикатов, логика отношений и нечеткая логика и др.

Логика высказываний – это простейшая из формальных логических теорий.

Высказывания – повествовательные предложения, о котором в данной ситуации можно сказать, что оно истинно или ложно, но не то и другое одновременно. Высказывания бывают простые и составные.

В логике высказываний истинное значение обозначается 1, а ложное 0.

Высказывания обозначаются прописными буквами латинского алфавита: X, Y, Z … .

Составные высказывания получаются из простых с помощью логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, которые осуществляются при помощи логических связок:

Название	Прочтение	Обозначение
Отрицание	не
Конъюнкция	и
Дизъюнкция	или
Импликация	если…то
Эквивалентность	тогда и только тогда, когда

Таблица истинности – это интерпретация логических операций, в каждой строке таблице наборы из нолей и единиц соответствующие составляющим высказывания.

Пусть даны два произвольных высказывания X и Y.

Отрицанием высказывания X называется высказывание , которое истинно, когда X ложно, и ложно, когда X истинно.

Таблица истинности для отрицания.

X
0	1
1	0

Конъюнкцией двух высказываний X и Y называется высказывание X Y, которое истинно только в том случае, когда X и Y оба истинны.

Таблица истинности для конъюнкций.

X	Y	X Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Дизъюнкцией двух высказываний X и Y называется высказывание X Y, которое истинно, когда хотя бы одно из них истинно.

Таблица истинности дизъюнкций.

X	Y	X Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Импликацией двух высказываний X и Y называется высказывание X Y, которое ложно тогда и только тогда, когда X истинно, а Y ложно.

Таблица истинности для импликации.

X	Y	X Y
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Эквивалентностью высказываний X и Y называется высказывание , которое истинно тогда и только тогда, когда X и Y оба истинны или ложны.

Таблица истинности для эквивалентности.

X	Y	X Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Для образования составных высказываний используются многократные и единичные основные связки. Вначале читается выражение во внутренних скобках затем эти скобки в свою очередь группируются и т.д.. Если скобок нет то операции надо выполнять в следующем порядке: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание. Каждое составное высказывание имеет свою таблицу истинности, которая может быть построена стандартным образом.

Новые высказывания могут быть образованы при помощи нескольких логических операций и могут составлять формулы, некоторые из которых рассматриваются как логические операции, осуществляемые при помощи других логических связок:│; ↓; .

Название	Прочтение	Обозначение
Штрих Шеффера	Антиконъюнкция	|
Стрелка Пирса	Антидизъюнкция	↓
Сумма по модулю два	Антиэквивалентность

Штрих Шеффера, X | Y или антиконъюнкция, по определению (X | Y) = .

Таблица истинности штриха Шеффера.

X	Y	X\Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Стрелка Пирса, или антидизъюнкция, по определению X ↓ У == .

Таблица истинности стрелки Пирса.

X	У	X↓Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Сумма по модулю два, или антиэквивалентность, по определению

Таблица истинности суммы по модулю два.

X	У
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Таблицы истинности логических операций содержат 2ⁿ строк, где п — число простых высказываний.

В случаях составных высказываний, имеющих одни и те же компоненты, по таблицам истинности, можно проверить, имеет ли место отношение следствия.

Например:

X	У	X ↔Y	Х→У	XVY
0	0	1	1	0
0	1	0	1	1
1	0	0	0	1
1	1	1	1	1

ВысказываниеX↔Y истинно в первом и четвертом случаях и в обоих этих случаях истинно также высказывание X → Y. Мы видим, что из X ↔ Y следует высказывание X →Y. Сравнение двух последних столбцов показывает, что из высказывания X → Y не следует X V Y, из X V У не следует X →Y.

При помощи таблиц истинности удобно осуществлять проверку эквивалентности двух составных высказываний, имеющих одни и те же компоненты. Для этого достаточно лишь посмотреть, одинаковы ли таблицы истинности у этих составных высказываний.

Из следующей таблицы истинности видно, что X → У эквивалентно .

X	У	X → У
0	0	1	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	1	1	1

Два высказывания называются логически несовместимыми, если из истинности одного из них необходимо следует ложность другого. Другими словами, несовместимость высказываний X и У означает, что они никогда не могут оказаться одновременно истинными. Если несколько составных высказываний построены из одних и тех же простых соста­вляющих, то для проверки их совместимости нужно построить таблицы истинности для каждого из высказываний. Если среди всех строк найдется, по крайней мере, одна, в которой все составные высказывания истинны, то составные высказывания совместимы. В противном случае они оказываются несовместимыми.

Импликация двух высказываний отличается от эквивалентности, а также от дизъюнкции и конъюнкции тем, что она несимметрична. Так X V У эквивалентно У V X; эквивалентно ; X ↔ У эквивалентно У ↔ X, но X → У не эквивалентно У → X. Высказывание У → X называется конверсией высказывания X → У.

В таблице истинности представлены четыре импликации и их названия.

X	У			Импликация Х→У	Конверсия импликации У → X	Конверсия контрапозиции	Контрапозиция
0	0	1	1	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0	0	1
1	0	0	1	0	1	1	0
1	1	0	0	1	1	1	1

Из таблицы видно, что X → У эквивалентно . Последнее назы­вается контрапозицией первого. Контрапозиция является удобной формой импликации во многих рассуждениях. Аналогично, высказывание представляет собой конверсию контрапозиции. Так как контра­позиция эквивалентна , то конверсия этой контрапозиции эквивалентна конверсии этой импликации.

С импликацией связано постоянное упоминание математиками «необходимое условие» и «достаточное условие».

X является достаточным условием для У	Если имеет место X, то У также будет иметь место	Импликация X →У
X является необходимым условием для У	Если имеет место У, то X также будет иметь место	Конверсия достаточного условия У →X
X является необходимым и достаточным условием для У	X имеет место, если и только если имеет место У	Двойная импликация X↔У эквивалентность

.