Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дискретная математика конечный вариант.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Глава 1. «дискретные множества»

Множество это любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами или членами множества. Множества обозначаются прописными латинскими буквами ( А, В, С,…) а их элементы – строчными (,…). Множества могут быть конечными (группа студентов) или бесконечными (натуральные числа). Множества, элементами которых являются тоже множества называют классом (семейством, системой) множеств.

Для конечного множества количество элементов n – называется мощностью множества и обозначается . По конкретному элементу а и множеству А можно определить принадлежит элемент а множеству А или не принадлежит .

Множество, состоящее из одного элемента, обозначается . Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается (например, ).

Операции над множествами позволяют получить новые множества.

Вложенность множеств (подмножество, надмножество): операция . Пусть , тогда (A есть подмножество В, т.е. А вложено, содержит в В; В есть надмножество над А, т.е. В содержит А).

Объединение множеств: операции . Пусть , тогда (все элементы множеств А и В без повторения элементов).

Пересечение множеств: операция . Пусть , тогда (элементы общие для множеств А и В).

Дополнение множеств: операция \ (разность). Пусть , тогда (все элементы множества А, не принадлежащие В, т.е. из А вычитаются элементы, общие с В).

Симметрическая разность: операция –. Пусть , тогда (все элементы А, не принадлежащие В, и все элементы В, не принадлежащие А).

Равенства множеств: операция =. справедливо тогда и только тогда, когда и .

Справедливы отношения: .

Например, если , то , поэтому из приведенных выше соотношений следует, сто . Справедливы также формулы дистрибутивности: .

Диаграммами Эйлера-Венна называют фигуры, изображающие на плоскости множества и наглядно демонстрирующие свойства операций над ними.

Пусть квадрат Е на плоскости обозначает некоторое универсальное множество, которое включает в себя все рассматриваемые множества.

Заштриховано дополнение множества A

Заштриховано пересечение

Заштриховано объединение

Заштрихована разность

Заштрихована симметрическая разность

Булеаном называется множество всех подмножеств множества М и обозначается В(М), а множество М называется универсумом, или универсальным. Каждое множество имеет, по крайней мере, два различных элемента: само М и . Пусть , тогда его булеан . Мощность булеана от универсума . Например .

Алгебра множеств определяет правила выполнения операций над множествами. Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций , т.е. система называется алгеброй; М называется основным множеством (носителем) алгебры А.

Пусть задано универсальное множество U; его булеан B(U). Совокупность операций (объединения), (пересечения), (дополнения, отрицания) называются булевыми операциями. Алгебра называется булевой алгеброй множеств над U. Элементами основного множества этой алгебры являются подмножества А, В, С, … множества U. Операция эквивалентна операции дополнения . Для универсума U и его подмножеств при использовании булевых операций выполняются следующие свойства (тождества алгебры множеств):

Идемпотентность (удаление одинаковых операндов):
а) ;	б) .
Коммутативность(перестановка операндов):
а) ;	б) .
Ассоциативность (возможность бесскобочной записи):
а) ;	б)
Дистрибутивность (раскрытие скобок):
а) относительно	б) относительно
;	.
Поглощение:
а);	б) .
Законы (правила) де Моргана:
а);	б) .
Обобщение правила де Моргана для совокупности множеств:
а);	б) .
Свойства универсума:
а) ;	б) .
Свойства пустого множества:
а) ;	б) .
Свойства дополнения (отрицания):
а);	б).
Свойства двойного дополнения (отрицания):
.

Пары свойств двойственны друг другу в том смысле, что если в одном из них заменить на , на , и наоборот, то получим парное свойство.

С целью упрощения формул предполагается, что знак дополнения (отрицания) играет роль скобок, а при отсутствии скобок порядок выполнения операций следующий: дополнение, пересечение, объединение.

Формулы алгебры множеств. Выражение, компонентами которого являются элементы носителя алгебры множеств и символы алгебраических операций, называют формулой F.

Множества A,B,C,… называют элементарными формулами.

Выражения называют формулами первого порядка, а , – второго и более высоких порядков.

Никаких иных формул в алгебре множеств нет.

Эквивалентные преобразования формул. Опираясь на законы алгебры множеств, можно выполнять эквивалентные преобразования формул, упрощая их описания. При преобразовании алгебраических выражений необходимо прежде всего устранить операторы разности – “\”и симметрической разности “∆”, т.е. использовать только основную сигнатуру алгебру множеств – .