МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ф едеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики

Кафедра "Прикладная математика и эконометрика"

О.Х. Бритаева

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания по

выполнению контрольных работ для студентов направления 010500 (510200) «Прикладная математика и информатика»

Санкт-Петербург

2009г.

Одобрено на заседании кафедры «Прикладная математика и эконометрика»

протокол № __ от __.__.2009г.

Утверждены Методическим советом ИЭУПС

протокол № __ от __.__.2009 г.

Методические указания написаны в объеме курса «Дискретная математика». Указания не включают в себя весь курс лекций по этой дисциплине, они содержат некоторые алгоритмы дисциплины, которые необходимо знать при выполнении индивидуальных заданий по данной дисциплине. Некоторые алгоритмы, имеющиеся в литературе, в указаниях представлены более доступно и на более простых примерах. При изучении материалов курса «Дискретная математика» необходимо наряду с методическими указаниями пользоваться литературой, перечисленной в библиографическом списке.

Цель данного курса – изложить методы работы с логическими элементами, а так же формирование знаний и умений, которые образуют теоретический фундамент, необходимый для постановки и реализации решения проблем в области прикладной математике.

Методические указания помогают в анализе дискретных структур возникающих как в пределах самой математике, так и в ее приложениях.

Методические указания составлены в соответствии с Государственным стандартом общего и профессионального образования. При подготовке методических указаний использовались последние публикации по теме «Дискретная математика» и материалы интернет ресурсов, в соответствии с этим был также составлен список рекомендуемой литературы.

Для успешного выполнения контрольной работы студент должен изучить соответствующий теоретический материал и ознакомиться с решением типовых примеров, приведенных в настоящих указаниях. Контрольные работы составлены по трем темам: «Дискретные множества» и «Элементы математической логики» и «Элементы теории графов».

Составители: О.Х. Бритаева, ст.преподаватель

Рецензент: проф. каф. ПМиЭ СПбГУСЭ д.ф.-м.н. Шерстюк А.И.

Содержание

Предисловие	4
Глава I. Дискретные множества	6
ГлаваII. Элементы математической логики	31
Глава III. Элементы теории графов	48
Глава IV. Задания для самостоятельной работы	52
Рекомендуемая литература	61

Предисловие

Основное отличие дискретной математики от классической заключается в отсутствии понятия бесконечности, предела и непрерывности, а основными носителями являются: целые числа, многочлены, матрицы, слова и т.п., которые находятся между собой в каких-то отношениях. Эти отношения могут изменяться в дискретные моменты времени.

При организации каких-либо экономических или производственных процессов, при передаче управленческих решений важным условием является дискретность при обработке информации. Состав и структура дискретных систем представляют дискретные модели для описания которой привлекается аппарат дискретной математике.

Изучение учебной дисциплины «Дискретная математика» базируется на знаниях, полученных в результате освоения дисциплин «Высшая математика» и «Информатика» Изучение курса позволяет:

– ознакомиться с основами таких направлений дискретной математики, как теория множеств, теория графов и теория булевых функций;

–получить представление о теоретических основах и методах дискретной математики для описания и исследования объектов реального мира и построения математических моделей.

В результате изучения дисциплины студенты должны:

– получить представление о понятиях и теоретических моделях изучаемых направлений дискретной математики;

– освоить приемы применения теоретических моделей для описания предлагаемых заданий и получения результатов;

– приобрести практические навыки по отработке формализованных описаний объектов методами дискретной математики.

Предлагаемые методические указания состоят из трёх разделов:

- дискретные множества

- элементы математической логики

- элементы теории графов

За основу методических указаний принят материал курса, читаемого в СПбГУСЭ бакалаврам специальности 010500.62 (510200) «Прикладная математика и информатика».

Студенты остальных специальностей могут использовать методические указания как вспомогательный материал.

Формой контроля усвоения дисциплины учебным планом предусмотрены зачеты. В течение двух семестров выполняются письменные контрольные работы (семинарские и домашние индивидуальные задания). Выполнение контрольных работ является обязательным для всех студентов, а результаты текущего контроля служат основанием для выставления аттестации в ведомость промежуточного контроля. Индивидуальные задания составлены так, что если студент выполняет их самостоятельно, то подготовка его к зачету займет незначительное время. При возникновении затруднений при решении задач студент может обратиться (устно или письменно) за консультацией на кафедру «Прикладная математика и эконометрика» СПбГУСЭ.

Предлагаемые методические указания состоят из трех разделов, взаимосвязь между которыми прослеживается при рассмотрении различных иллюстрирующих примеров.

Первый раздел методических указаний посвящен решению дискретных задач, с помощью теории множеств и математической логики.

Второй раздел посвящен основным понятиям математической логики, т.е. анализу задач методом рассуждений. Исследуются соотношения между основными понятиями математики на базе которых доказываются математические утверждения.

Третий раздел посвящен теории графов, особенностью которой является геометрический подход к изучению объектов. Теория графов находит применение в программировании, в теории конечных автоматов, в решении вероятностных и комбинаторных задач.

Все разделы имеют сходную структуру. Вначале даются необходимые определения, способы описания рассматриваемого объекта, затем вводится операция позволяющая получать одни объекты из других. Изложение материала сопровождается задачами, решением которых рекомендуется для лучшего понимания материала.