2 Е. И. Бутиков и др. Книга 2

Эквипотенциальные поверхности. Наглядное графическое изо­бражение электростатических полей возможно не только с помощью картины силовых линий, дающей представление о на­пряженности в каждой точке поля, но и с помощью эквипотен­циальных поверхностей. Эквипотенциальная поверхность это мно­жество точек, в которых потенциал имеет одно и то же значение.

Обычно изображают сечение этих поверхностей какой-либо плоскостью (плоскостью черте­жа), поэтому на рисунках они выглядят линиями. Например, для электростатического поля то­чечного заряда эквипотенциаль­ные поверхности представляют собой концентрические сферы с общим центром в точке, где на­ходится создающий поле заряд. На рис. 13 сечения этих сфер выглядят как концентрические окружности.

Силовые линии электро­статического поля перпендику­лярны эквипотенциальным по­верхностям. Действительно, если мысленно перемещать пробный заряд по эквипотенциальной поверхности, то работа, как видно из (8), равна нулю. Таким образом, сила электрического поля работы не совершает, а это возможно, если сила перпендикулярна переме­щению.

Два способа изображения электростатических полей — силовыми линиями и эквипотенциальными поверхностями — эквивалентны: имея одну из этих картин, можно легко построить другую. Особенно наглядны рисунки, на которых изображены обе эти картины (рис. 14).

Связь напряженности и потенциала. Напряженность электро­статического поля и его потенциал связаны друг с другом. Эту связь легко найти, рассматривая работу сил поля при столь малом пере­мещении Дг пробного заряда, чтобы напряженность поля можно бы­ло считать постоянной. С одной стороны, эта работа равна скаляр­ному произведению силы на перемещение, т. е. qEAr. С другой сто­роны, эта работа, в соответствии с (8), равна произведению заряда на разность потенциалов, т.е. q{^i — <р₂) ^{= —} Q Д"Р- Знак минус здесь возникает потому, что приращение потенциала Д<р по опреде­лению равно разности значений потенциала в конечной и началь­ной точках: Д*р = f₂ — "Pi- Приравнивая оба выражения для работы, получаем

Д<р= -ЕДг. (9)

Скалярное произведение ЕДг можно представить как произведе­ние проекции напряженности Е_г на направление вектора перемеще­ния Дг и модуля этого перемещения | Дг| = Ат:

Д«р = -Е_гАг. (10)

Направление перемещения Дг можно выбрать произвольно. Вы­бирая его вдоль одной из осей координат, из (10) получаем выра­жение для проекции вектора Е на соответствующую ось:

^£* Д*» Ay' Ах'

Подчеркнем, что в числителях этих выражений, в соответствии с (9), стоят приращения потенциала при малых перемещениях вдоль соответствующих осей координат.

Энергия системы зарядов. До сих пор мы рассматривали потенци­альную энергию некоторого заряда, помещенного в электро­статическое поле, создаваемое другими зарядами, расположение ко­торых в пространстве считалось неизменным. Однако по физической природе пробные заряды и заряды — источники поля ничем не от­личаются, а потенциальная энергия заряда в поле — это энергия взаимодействия этих зарядов. Поэтому в некоторых случаях бывает удобно придать выражению для потенциальной энергии симметрич­ный вид, чтобы все заряды — и источники поля, и пробные — фи­гурировали как равноправные. Для двух взаимодействующих точеч­ных зарядов такой симметричный вид выражения потенциальной энергии уже был найден — это формула (4). В ней принимается, что потенциальная энергия равна нулю, когда заряды разведены на бесконечно большое расстояние.

В более сложных случаях, когда рассматривается несколько вза­имодействующих зарядов, принимается, что потенциальная энергия взаимодействия равна нулю при каком-либо определенном взаим­ном расположении этих зарядов. Удобно (хотя и необязательно) в качестве этой конфигурации выбрать такое расположение, когда все взаимодействующие заряды удалены друг от друга на бесконечные расстояния. Потенциальная энергия системы во всякой иной конфи­гурации определяется как работа, совершаемая всеми силами взаи­модействия при переходе системы из этой конфигурации в положе­ние с нулевой потенциальной энергией. В то же время эта потенци­альная энергия равна работе, совершаемой внешними силами при переносе всех зарядов из положения с нулевой потенциальной энер­гией в заданную конфигурацию.

Энергия взаимодействия системы N неподвижных точечных за­рядов ff_p д₂, q_N выражается формулой

N

W* = i2W/. (12)

i = l

где ip_; — потенциал поля, создаваемого всеми зарядами, кроме i-ro, в той точке, где находится i-й заряд:

_у = 1 п

Здесь г_г — расстояние между i-м и у'-м зарядами.

д Для доказательства формулы (12) можно использовать метод математической индукции. Прежде всего отметим, что для N = 2 эта формула совпадает с полученной ранее формулой (4): сум­ма по i содержит два слагаемых:

^wi = k (*i*Pi +?2*Р2)> (¹⁴)

где в соответствии с (13)

Подставляя эти значения в (14), получаем формулу (4).

Теперь предположим, что формула (12) справедлива для //то­чечных зарядов, и докажем ее справедливость для системы (N +1) зарядов. При внесении (N + 1)-го заряда из бесконечно­сти энергия системы изменится на величину, равную работе, со­вершаемой внешними силами:

W_N+l = W_N + A. (15)

Здесь W_N, согласно предположению, определяется формулой (12), а работа, совершаемая внешними силами при перемещении заряда q_N+l из бесконечности в точку поля с потенциалом y_N+l, равна А = q_N+l<p_N+i, где

ч>л,₊,-*2тА- Об)

— потенциал этой точки поля, создаваемый всеми зарядами, кроме q_N+l.

После внесения заряда q_N+l изменяются потенциалы всех то­чек поля, кроме той, где находится этот заряд. Потенциал точки, в которой находится i-й заряд, теперь будет равен ip/:

Ч>,' = 4>,+ *

^ri, N+l

(1=1,2, ...,N),

<Рлг+1 = «Рлг + i- (17)

Выразим энергию системы (N + 1) зарядов (15) через новые значения потенциалов <р/ спомощью соотношений (17):

^wn+i = \^Qi\Vi ~ ^к7~Щ ⁺ ^+1^+1-

Сумма произведений q_t на второе слагаемое в скобках в правой части этого равенства, в силу формулы (16), равна — ^v+i^Jv+i- Поэтому _{N N+i}

^WN+l = 2 ^QiVi' ~2^ + 1^ + 1 +<lN + l4>N + l = 2 D^i'P/-

Таким образом, формула (12) для энергии системы точечных за­рядов доказана, а

Докажите, что электростатическое поле, создаваемое уединенным точеч­ным зарядом, потенциально.

Докажите, что поле, создаваемое любым распределением неподвижных электрических зарядов, потенциально.

Что означает принцип суперпозиции применительно к энергетической ха­рактеристике электростатического поля — потенциалу?

Докажите справедливость формулы (6), рассматривая работу поля при перемещении заряда q из начальной точки J в бесконечность, а затем из бесконечности в точку 2.

Чему равна работа сил электростатического по­ля при перемещении заряда по'замкнутому кон­туру?

Докажите, что поле потенциально, если работа сил этого поля при перемещении по любому замкнуто­му контуру равна нулю.

Нарисуйте картину силовых линий и эквипотен­циальных поверхностей однородного электро­статического поля.

Может ли существовать электростатическое по- ле, силовые линии которого представляют собой параллельные прямые с переменной густотой (рис. 15)? ^Рис- ¹⁵

• В чем различие понятия потенциальной энергии пробного заряда, нахо­дящегося в электростатическом поле двух зарядов, и понятия потенци­альной энергии всех трех зарядов?

д Вывод формулы <p=kq/r. Докажем справедливость формулы (2) для потенциала уединенного точечного заряда. Потенциал в точке Р, находящейся на расстоянии г от заряда д, равен работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положи­тельного заряда из точки Р в бесконечно удаленную точку. По­скольку сила, действующая на единичный заряд, равна напряжен­ности поля Е, то выражение для интересующей нас работы, равной потенциалу в точке Р, запишется в виде

<Р=$Еаг. (18)

Интегрирование здесь может выполняться вдоль любого пути, проходящего из точки Р в бесконечность, так как работа сил по­тенциального поля не зависит от формы траектории. Выберем этот путь вдоль прямой, проходящей из заряда через данную точку Р на бесконечность. Поскольку напряженность поля Е направлена вдоль этой прямой (от заряда при д > 0 и к заряду при д < 0 ), то скалярное произведение Е dr можно записать как

Edr = E_rdr = kA_idr, (19)

если начало координат выбрано в точке, где находится заряд д. Интегрирование в (18) теперь выполняется в пределах от г до <»:

, Т dr , 1 I - ,1

₉=кд\ -_г= -кд₇\_г =к-.

г

О модели точечного заряда. Обратим внимание на то, что и на­пряженность, и потенциал поля точечного заряда неограниченно возрастают (стремятся к бесконечности) при приближении точки Р к тому месту, где расположен создающий поле заряд. Физиче­ски это бессмысленно, так как соответствует обращению в беско­нечность и силы, действующей на пробный заряд, и его потенци­альной энергии. Все это говорит о том, что сама модель точечно­го заряда имеет ограниченную область применимости.

В какой мере для элементарных частиц можно использовать модель точечного заряда? Эксперименты на больших ускорителях показали, что нуклоны обладают внутренней структурой. Заряд в них распределен некоторым образом по объему, причем не только у протона, но даже и у нейтрона, который в целом электрически нейтрален. Что касается электронов, то для них модель точечного заряда «работает» вплоть до расстояний порядка так называемого классического радиуса электрона г = е^%1 тс^% « 3-10~¹³ см.

Напряженность как градиент потенциала. Вернемся теперь к формулам (9)—(11), выражающим напряженность любого элект­ростатического поля через его потенциал. Из формул (11) следу­ет, что проекции вектора Е напряженности поля на оси коорди­нат можно рассматривать как взятые с противоположным знаком производные по соответствующим координатам от потенциала скалярной функции координат ip(x, у, г). При вычислении любой из этих производных, например по х, две другие переменные, у и z, нужно считать фиксированными. Такие производные функ­ции нескольких переменных в математике называют частными производными и обозначают как ду/дх. Вектор, проекции кото­рого равны частным производным скалярной функции по соот­ветствующим координатам, называется градиентом этой скаляр­ной функции. Таким образом, напряженность Е электрического поля — это взятый со знаком минус градиент потенциала. Запи­сывают это следующим образом:

Е grad <р(х, y,_z)=- V<p(x, у, z). (20)

Здесь V — символический вектор, проекции которого на оси ко­ординат — операции дифференцирования:

V = if + jf + kf,

Эх 'by dz'

a i, j, k — орты декартовой системы координат.

Чем быстрее меняется в пространстве потенциал, тем больше модуль его градиента, т. е. модуль напряженности электрического поля. «Смотрит» вектор напряженности в том направлении, в кото­ром потенциал убывает быстрее всего, т. е. перпендикулярно экви­потенциальным поверхностям. Увидеть, что вектор Е направлен именно таким образом, можно с помощью формулы (9): если из рассматриваемой точки совершить одинаковые по модулю переме­щения Дг во всевозможных направлениях, то наибольшее измене­ние потенциала произойдет тогда, когда это перемещение направ­лено вдоль вектора Е. ▲

На каком свойстве электростатического поля основан выбор пути интег­рирования в формуле (18)?

Почему для поля точечного заряда точку нулевого значения потенциала нельзя выбрать в том месте, где находится сам заряд?

Объясните, почему напряженность электрического поля направлена в сторону наибыстрейшего убывания потенциала.