§ 37. Оптические приборы, формирующие изображение

Геометрическая оптика объясняет многие простые оптические явле­ния, такие, как возникновение теней и образование изображений в оптических приборах. Она позволяет сравнительно просто рассмот­реть прохождение света через любую оптическую систему и дает возможность простыми средствами решать широкий круг практиче­ски важных задач.

Однако для решения более тонких вопросов, таких, как распре­деление света вблизи фокуса или разрешающая способность оптиче­ских инструментов, требуется выход за рамки геометрической опти­ки и учет волновой природы света. Как уже отмечалось в § 33, изо­бражение удаленной звезды в фокальной плоскости объектива телескопа представляет собой не точку, а дифракционное пятно.

Геометрическая оптика и волновые свойства света. По представ­лениям геометрической оптики изображение точки предмета — это пересечение пучка лучей. Однако вблизи этой точки пересечения искривление волновой поверхности становится настолько сущест­венным, что ее уже нельзя считать плоской на расстояниях порядка длины волны. Вблизи таких точек условия применимости геометри­ческой оптики заведомо не выполняются: световой поток нельзя со­брать в одну точку, ибо это привело бы к бесконечно большой осве­щенности, чего на самом деле не бывает.

Камера-обскура. В какой мере волновые свойства света искажают предсказываемую геометрической оптикой картину, можно увидеть на примере простейшего оптического прибора — камеры-обскуры.

Устройство камеры-обскуры схематически показано на рис. 233. Она представляет собой ящик, в одной из стенок которого сделано малое отверстие. Действие камеры-обскуры, как и существование резких теней от непрозрачных предметов при малом источнике све­та, — это факты, указывающие на прямолинейное распространение света в однородной среде.

Однако основной закон геометрической оптики — прямолиней­ное распространение света — справедлив лишь для широких, строго говоря, неограниченных световых пучков. Всякое ограничение ши­рины светового пучка, неизбежное в любом оптическом приборе, обязательно приводит к отступле­ниям от геометрической оптики и к проявлениям волновых свойств света.

Выбор оптимального диаметра отверстия для получения на экра- ^Рис- ²³³- ^Схема камеры-обскуры не наиболее резкого изображения

удаленных предметов это поиск определенного компромисса между волновой и геометрической оптикой. Если бы свет действительно подчинялся законам геометрической оптики, то задача была бы три­виальной: чем меньше отверстие, тем резче изображение. В самом деле, удаленный предмет можно мысленно разбить на отдельные элементы и каждый элемент рассматривать как точечный источник. Отверстие в передней стенке камеры вырезает пучок лучей от ис­точника, попадающих на экран. Пучок лучей от удаленной светя­щейся точки можно считать параллельным; поэтому размер пятна на экране, которое мы рассматриваем как изображение этой точки, определяется размером отверстия. При оценке размер пятна можно считать равным размеру отверстия.

Но уменьшать отверстие беспредельно нельзя не только потому, что при этом уменьшается световой поток и, следовательно, осве­щенность изображения, но и потому, что рано или поздно начнет сказываться волновая природа света. Дифракция света на отверстии приводит к размыванию изображения. Если уменьшать отверстие до размеров, сравнимых с длиной волны света, то изображение исчеза­ет совсем и экран становится практически равномерно освещенным.

Оценим размер дифракционного пятна на экране, которое можно рассматривать как изображение удаленного точечного источника, в тех случаях, когда необходимо пользоваться волновой оптикой. Это можно сделать точно так же, как в § 33, где оценивались размеры дифракционного изображения звезды в телескопе. Согласно форму­ле (1) § 33, для угла дифракции 9, т. е. направления на край цент­рального дифракционного пятна, имеем

9 = k/d,

где d — диаметр отверстия камеры-обскуры. Этот угол определяет линейный размер а дифракционного пятна на экране камеры-обску­ры. Если расстояние от отверстия до экрана равно L, то

а те 2L9 = 2 ~ L.

а

Очевидно, что уменьшать размер отверстия следует только до тех пор, пока размер дифракционного пятна не сравняется с разме­ром изображения, получающегося в приближении геометрической оптики. Дальнейшее уменьшение отверстия приведет только к раз­мыванию изображения, т. е. к ухудшению резкости.

Итак, наилучшая резкость изображения достигается при равен­стве диаметра отверстия и размера дифракционного пятна а:

d те 2 ~ L, откуда d те VTkL.

При L = 25 см для видимого света ( \ те 5- 10~⁵ см) оптимальный размер отверстия равен 0,5 мм.

Гомоцентрические и астигматические пучки лучей. При изобра­жении предметов в оптических приборах по правилам геометри­ческой оптики следует иметь в виду, что размытие и искажения возникают не только из-за дифракции. В первую очередь это связа­но с нарушением гомоцентричности пучков лучей. Гомоцентриче­ским называется пучок лучей, проходящих через одну точку (рис. 234). Все пучки, выходящие из отдельных точек предмета, до попа­дания в оптическую систему являются гомоцентрическими.

При отражении в плоском зеркале лучи изменяют направление, но гомоцентричность пучков сохраняется. Наблюдателю кажется, что отраженные от зеркала лучи выходят из одной точки А', распо­ложенной за зеркалом симметрич­но точке А.

Рис. 234. Расходящийся (а) и сходя­щийся (б) гомоцентрические пучки

После прохождения через оп­тическую систему свойство гомо-центричности пучки, как правило, утрачивают. Так происходит даже при преломлении света на плоской границе раздела двух сред. В ре­зультате пучок становится астигматическим. В астигматических пучках (рис. 235) лучи, лежащие в двух взаимно перпендикуляр­ных осевых сечениях, пересекаются в разных местах — по двум отрезкам, смещенным вдоль пучка на некоторое расстояние. Орто­гональные к лучам волновые поверхности астигматического пучка имеют двойную кривизну (различные радиусы 7?, и R₂ на рис. 235) в отличие от гомо­центрических пучков со сферическими волновы­ми поверхностями. Хо­тя, строго говоря, при прохождении через оп­тическую систему свой­ство гомоцентричности пучков утрачивается, оно приближенно сохра­няется в важном для практики случае пучков параксиальных лу­чей в центрированных оптических системах, т. е. в системах, об­разованных сферическими преломляющими и отражающими по­верхностями, центры которых лежат на одной прямой, называемой оп­тической осью. Пучки лучей называют пара­ксиальными, если лучи образуют малые углы с оптической осью и пе­ресекают поверхности на расстояниях от оси,

малых по сравнению с радиусами кривизны поверхностей. Проходя через оптическую систему, параксиальные пучки от разных точек предмета формируют его оптическое изображение, так что каждой точке S предмета соответствует определенная точка S' изображе­ния (рис. 236).

Сферическое зеркало. Падающий на вогнутое сферическое зеркало параллельный пучок лучей после отражения собирается в фокусе F (рис. 231а). Фокус находится в середине отрезка ОР, соединяю­щего центр О поверхности зеркала — оптический центр — и вер­шину Р зеркала — полюс. Фокусное расстояние зеркала F = Л/2, где R — радиус кривизны зеркала.

Для построения изображения произвольной точки А в сфериче­ском зеркале удобно использовать следующие лучи (рис. 2376):

		——/
		s/if^^L^-—*— * к~—" ^ '
	А
л'	б

1. луч АОВ, проходящий через оптический центр О; отражен­ный луч идет вдоль той же прямой назад;

2. луч AFD, проходящий через фокус F; отраженный луч парал­лелен оптической оси;

3. луч АС, параллельный оптической оси; отраженный луч про­ходит через фокус F;

4. луч АР, падающий на полюс зеркала; отраженный луч сим­метричен падающему относительно оптической оси ОР.

Расстояние d от предмета до зеркала и расстояние / от зеркала до изображения связаны с фокусным расстоянием F = R/2 соотношением

¹ ■ ¹ (1)

которое называется формулой сферического зеркала.

Когда предмет находится на расстояниях от «з до F, изображение действительное перевернутое. Изображение предмета, расположен­ного ближе фокуса, мнимое прямое увеличенное. Оно находится за зеркалом (рис. 237а). Формула (1) справедлива и в этом случае, ес­ли в ней расстояние / до мнимого изображения полагать отрица­тельным (/ < 0).

Падающий на выпуклое зеркало параллельный пучок лучей от­ражается так, будто все лучи выходят из фокуса F (рис. 238), на­ходящегося за зеркалом на расстоянии R/7. При любом расположе-

о

нии предмета его изображение в выпуклом зеркале мнимое прямое уменьшенное и находится за зеркалом (ближе фокуса).

Для построения изображения используют лучи, аналогичные пе­речисленным для вогнутого зеркала. Формула (1) справедлива и для выпуклого зеркала, если его фокусное расстояние полагать от­рицательным (F — —R/7).

Подчеркнем еще раз, что сформулированные правила построения изображений справедливы только для параксиальных лучей. В широ­ком пучке три луча, образующие значительные углы друг с другом, не пересекаются в одной точке.

Линзы. Главной оптической осью линзы называют прямую, прохо­дящую через центры кривизны сферических поверхностей, ограничи­вающих линзу. Собирающие линзы в середине толще, чем по краям, рассеивающие — наоборот, в середине тоньше (рис. 239), когда пока­затель преломления материала линзы больше, чем окружающей сре­ды. Линзу называют тон-

_{А 4 VI /7 Я}

Рис. 239. Собирающие (а) и рассеивающие (б) линзы

_{кои, когда ее толщина пренебрежимо мала по сравнению с радиусами кривизны ее поверх­ностей и с расстоянием от предмета до линзы. При этом точки пересечения сферических поверх­ностей линзы с оптиче­ской осью (рис. 240а)}

расположены настолько близко, что их принимают за одну точку О, называемую оптическим центром линзы.

Падающий на собирающую линзу пучок лучей, параллельных оп­тической оси, собирается в фокусе линзы F (рис. 240а). Фокусное расстояние линзы F зависит от радиусов кривизны R_l и R₂ ее прелом­ляюгдих поверхностей и показателя преломления п материала линзы. Для двояковыпуклой линзы F рассчитывается по формуле

(2)

Предполагается, что линза находится в среде с показателем преломления, равным единице (вакуум, воздух). Если одна из по-

Рис. 240. Собирающая линза

верхностей плоская, ее радиус кривизны /?=<». Для выпукло-вогнутой линзы радиус R₂ вогнутой поверхности в формуле (2) следует полагать отрицательным (R₂<0). Величину, обратную фо­

кусному расстоянию, называют оптической силой линзы:

£>= 1/F.

Оптическую силу выражают в диоптриях (дптр). Линза в 1 дптр имеет фокусное расстояние 1 м.

Если пучок лучей, параллельных оптической оси, направить на линзу с противоположной стороны, он соберется в точке F'. Точки F и F' находятся на одинаковом расстоянии F от линзы, если по обе сто­роны линзы одна и та же среда.

Для построения изображения удобно использовать следующие лучи (рис. 2406):