§ 34. Интерференция немонохроматического света

В этом параграфе мы рассмотрим изменения в интерференционных явлениях, которые вызываются отказом от монохроматической иде­ализации и учетом спектрального состава излучения реальных ис­точников света.

Простейшая модель немонохроматического источника. Начнем с простейшего случая точечного источника, излучающего две очень узкие, близкие друг к другу спектральные линии с частотами со, и со₂. Если бы излучение на каждой из частот являлось бесконечной синусоидой, то результирующее излучение представляло бы собой волну средней частоты с периодически меняющейся амплитудой. Но в действительности вместо бесконечных синусоид излучаются более или менее длинные цуги волн определенной длины, причем началь­ные фазы колебаний в последовательно идущих цугах произвольны и никак не связаны друг с другом. Обычно за время наблюдения проходит много таких цугов, и поэтому излучения на частотах со, и со₂ можно считать независимыми.

Другими словами, в описанной ситуации можно считать, что вместо одного имеется два расположенных в одном месте точечных источника, независимо друг от друга излучающих волны с частота­ми со, и со₂. При выполнении интерференционных опытов с таким источником света каждая из волн создает свою интерференционную картину, и эти картины просто налагаются друг на друга.

Если частоты со, и со₂ мало отличаются друг от друга, то интер­ференционные полосы в каждой картине имеют почти одинаковую ширину. В тех местах, где светлые полосы одной картины налага­ются на светлые полосы другой, резкость суммарной картины наи­большая. Наоборот, там, где светлые полосы одной картины прихо­дятся на темные полосы другой, резкость интерференционных полос уменьшается вплоть до их полного исчезновения.

Картина от двух близких спектральных линий. Найдем распреде­ление освещенности в интерференционной картине, получаемой от двух вторичных источников, если первичный источник излучает две близкие спектральные линии одинаковой интенсивности. Интерфе­ренционная картина для отдельной спектральной линии была рас­смотрена в § 30. Зависимость освещенности от разности хода / от вторичных источников до точки наблюдения дается формулой (5) этого параграфа:

₂ ш[

2с

E(l) = 4E_Q cos

(1)

Здесь E_Q — равномерная освещенность, которую создавал бы только один вторичный источник.

В рассматриваемом случае каждая спектральная линия первич­ного источника дает интерференционную картину, распределение освещенности в которой описывается формулой (1) с соответствую­щим значением частоты со, или со₂. Поэтому полное распределение освещенности, получающееся в результате наложения двух интер­ференционных картин от двух некогерентных источников, имеет следующий вид:

со,/

Е(1) = £,(/) + Е₂(1) = 2Е₀₁ И + cos -Ч + 2£₀2 1 + cos

со₂Л

с I

(2)

ность, то Е.

"02 ■

01

Поскольку спектральные линии имеют одинаковую интенсив-

Е₀ и формулу (2) можно преобразовать с по-

мощью формулы для суммы косинусов двух углов:

Е(1) = 4Е₀

, . Дсо/ со/

1 + COS —— COS —

2с с

(3)

coj — раз-

2ЛХ

где со = (ш_{ + со₂)/2 — средняя частота, а Дсо = о ность частот спектральных линий. Если частоты ш_х и со₂ близки, так

Рис. 218. Интерференционная картина в случае, когда источник света излучает две близкие спектральные линии

что Дсо<*:со, то резкость интерференционных полос медленно меня­ется с изменением разности хода / и распределение освещенности в зависимости от / имеет вид, показанный на рис. 218.

Расстояние между соседними полосами определяется множите­лем cos (со//с) и соответствует разности хода Д/, равной одной дли­не волны к: шАЦс = 2л, откуда Д/ = 2лс/ш = сТ = к. Период изме­нения резкости полос определяется множителем cos (Дсо //2с) и со­ответствует разности хода Д/, равной произведению длины волны к на отношение к/Ак. Действительно, как видно из рис. 218, период изменения резкости полос равен половине периода cos (Дсо //2с), поэтому cos (Дсо Д//2с) = л;, откуда Д/ = к²/Ак.

Опыты с квазимонохроматическим светом. Как можно наблюдать на опыте такую интерференционную картину с периодическим из­менением резкости полос? Так как для этого необходима разность

хода, равная очень большому числу длин волн, то наиболее удобно использовать интерферометр Майкельсона с подвижным зеркалом, схема которого приведена на рис. 198.

Если плечи интерферометра почти равны друг другу, то наблю­даемые полосы соответствуют разностям хода, равным небольшому числу длин волн. При этом, как видно из рис. 218, полосы имеют наибольшую резкость — почти равную нулю освещенность на месте темных полос. При перемещении зеркала разность хода / возраста­ет, а резкость интерференционных полос при этом постепенно убы­вает, так что при / порядка Х²/2АХ полосы пропадают совсем. При дальнейшем перемещении зеркала полосы появляются снова, и при / = Л²/А л их резкость опять становится максимальной. Затем рез­кость снова убывает, и т. д.

Из изложенного ясно, что, наблюдая за изменением резкости ин­терференционных полос в зависимости от разности хода, можно по­лучить информацию о спектральном составе исследуемого света.

Первые наблюдения такого рода были выполнены А. Физо в се­редине XIX века. В использованном им интерферометре появлялись кольца Ньютона при освещении желтым светом натриевой лампы. Интерференционные полосы в данном случае имеют вид колец, так

. как разность хода волн, отразившихся

2/У~-~— —-— от нижней поверхности линзы и верх-

[ I ней поверхности стеклянной пластин-

Рис. 219. к опыту Физо с кольца- ^ки (рис. 219), одинакова вдоль окруж- ми Ньютона ностей. Если линзу постепенно отво-

дить от пластинки, то та же самая разность хода будет получаться на окружности меньшего радиуса, поэтому интерференционные кольца будут стягиваться к центру.

Физо нашел, что при контакте линзы с пластинкой кольца были резкими. При отодвигании линзы от пластинки резкость колец убы­вала, и при прохождении примерно 490-го кольца интерференцион­ная картина исчезала. При дальнейшем увеличении расстояния кольца появлялись вновь и приобретали приблизительно первона­чальную резкость при стягивании примерно 980-го кольца. Физо проследил периодическое изменение резкости полос в 52 периодах из 980 колец каждый! Отсюда он сделал правильный вывод о том, что натриевый свет состоит из двух спектральных линий почти рав­ной интенсивности. Глядя на рис. 218, легко сообразить, что резуль­таты опытов Физо дают для отношения Х/АХ у желтого дублета на­трия значение, равное 980.

Длина и время когерентности. Рассмотренный пример света, со­стоящего из двух близких по частоте монохроматических волн, по­зволяет глубже проанализировать вопрос об использовавшейся в предыдущих параграфах монохроматической идеализации. Спектр испускания достаточно разреженных газов состоит из резких ярких линий, разделенных темными промежутками. Выделим свет одной из этих почти монохроматических линий и используем его в интер­ферометре Майкельсона. Мы увидим, что интерференционные поло­сы будут резкими, если длины путей обоих интерферирующих пуч­ков примерно одинаковы. Если отодвигать одно из зеркал так, чтобы разность хода пучков увеличивалась, то резкость интерфе­ренционных полос будет постепенно уменьшаться, и в конце концов они исчезнут.

Такое исчезновение интерференционных полос легко объяснить, если считать, что свет излучается отдельными цугами, содержащи­ми конечное число длин волн. Допустим для простоты, что все вол­новые цуги одинаковы. Каждый цуг, попадая в интерферометр, де­лится на два цуга равной длины. Если разность хода в плечах ин­терферометра больше этой длины, один из цугов минует точку наблюдения раньше, чем другой дойдет до нее, и интерференция наблюдаться не будет.

Естественно ввести понятие длины когерентности как наиболь­шей разности хода интерферирующих лучей, при которой еще воз­можно наблюдение интерференционной картины. Длина когерентно­сти характеризует степень отклонения рассматриваемого излучения от монохроматической идеализации и равна длине отдельных волно­вых цугов. Длину цуга волн можно характеризовать промежутком времени, в течение которого он проходит через точку наблюдения. Этот промежуток времени х называется временем когерентности.

• Почему источник, излучающий свет двух узких спектральных линий, можно рассматривать как два независимых монохроматических источ­ника, расположенных в том же месте?

• Опишите качественно вид интерференционных полос в случае источни­ка, излучающего свет двух близких спектральных линий. При какой разности хода полосы исчезают?

• Каким образом Физо установил на опыте, что желтый свет натрия со­стоит из двух близких спектральных линий?

• Что такое длина и время когерентности квазимонохроматического света? Как связаны эти величины с длиной волновых цугов?

• Как с помощью представления о волновых цугах объясняется исчезно­вение интерференционных полос при больших разностях хода?

д Время когерентности и ширина спектра. Исчезновение ин­терференционных полос при увеличении разности хода можно объяснить и на другом языке, рассматривая спектральный состав излучения. Строго монохроматической волне (бесконечной сину­соиде) соответствует единственная частота, т. е. бесконечно уз­кая спектральная линия. Будем считать, что излучению, состоя­щему из волновых цугов конечной протяженности, соответствует спектральная линия некоторой конечной ширины. Другими сло­вами, такое излучение можно рассматривать как совокупность отдельных монохроматических волн, частоты которых сплошь за­полняют некоторый интервал Дш, малый по сравнению со сред­ней частотой ш. Каждая монохроматическая волна из этой сово­купности создает в интерферометре свою интерференционную картину, и полное распределение освещенности определяется на­ложением этих картин.

При малых разностях хода интерферирующих лучей (порядка нескольких длин волн) положение интерференционных полос в картинах, создаваемых отдельными монохроматическими состав­ляющими, будет практически совпадающим, и полосы суммарной картины будут отчетливыми. По мере увеличения разности хода отдельные интерференционные картины будут смещаться относи­тельно друг друга, и в конце концов суммарная картина окажет­ся полностью размытой.

Оценить разность хода, при которой происходит исчезновение интерференционных полос, можно следующим образом. Мысленно разобьем весь спектральный интервал Дш, занимаемый рассмат­риваемым излучением, на пары монохроматических компонент, отстоящих друг от друга на А си/2. Распределение освещенности от каждой пары дается формулой (3), в которой Дш следует теперь заменить на Дш/2. Оно показано на рис. 218. Как видно из этого рисунка, полосы пропадают при такой разности хода /, когда ар­гумент первого косинуса в (3) становится равным л/2. Заменяя Дш на Дш/2, получаем

Дш//4с = л/2. (4)

Условие исчезновения полос для всех пар монохроматических компонент одинаково. Поэтому при разности хода /, даваемой со­отношением (4), происходит размытие полной интерференцион­ной картины.

Теперь мы можем сопоставить две возможные интерпретации размывания интерференционных полос при достаточно большой разности хода — в рамках представлений о волновых цугах ко­нечной протяженности и о суперпозиции монохроматических компонент, распределенных в некотором интервале частот. Так как при этом максимальная разность хода / равна длине цуга, то отношение 1/с в соотношении (4) есть время когерентности т. Переходя для удобства от циклической частоты ш к частоте v = ш/2л, переписываем (4) в виде

tAv«1. (5)

Соотношение (5) следует рассматривать не как точное равен­ство, а только как оценку эффективного интервала частот Av, границы которого в известной мере являются условными.

Мы видим, что чем больше длительность волновых цугов т, тем более узок интервал частот Av, в котором спектральные компоненты этого излучения имеют заметную величину. Иначе

говоря, ширина спектральной линии излучения обратно пропор­циональна времени когерентности.

Приведем оценки допустимых значений разности хода /~Х²/ДХ при наблюдении интерференции света с использовани­ем разных источников. Для белого солнечного света или света, излучаемого раскаленными телами, интервал длин волн в спект­ре АХ одного порядка со средней длиной волны. Поэтому наблю­дать интерференцию можно только при очень малых разностях хода, равных небольшому числу длин волн.

Если воспользоваться излучением газоразрядной плазмы низ­кого давления, то при выделении какой-либо одной спектральной линии допустимая разность хода может быть значительно боль­ше. Например, для красной линии кадмия с длиной волны X = 643,8 нм, ширина которой АХ составляет всего лишь 0,0013 нм, допустимая разность хода / превышает 500 000 длин волн, т. е. 30 см. А ширина линии излучения лазера может быть сделана настолько малой, что удается наблюдать интерференцию при разности хода в несколько километров! ▲

• Как объясняется исчезновение интерференционных полос при больших разностях хода на основе представлений о конечной ширине частотного спектра квазимонохроматического излучения?

• Как связано время когерентности квазимонохроматического излучения с его спектральным составом?

• Оцените ширину спектральной линии излучения, с помощью которого можно было бы наблюдать интерференцию при разности хода в 1 м.

• Почему в интерферометре Майкельсона можно наблюдать интерферен­цию света только при одинаковой длине плеч? При какой максимальной разности хода можно наблюдать интерференционные полосы, если ис­точник света излучает спектральную линию шириной ДХ?