§ 32. Спектральные приборы. Дифракционная решетка

Назначение спектральных приборов — исследовать спектральный состав излучения, т. е. определить, из каких монохроматических волн оно состоит. Иначе говоря, спектральный прибор производит гармонический анализ излучения. Действие спектральных приборов основано на том, что в некоторых физических системах условия прохождения света разной длины волны оказываются различными.

Проявление этих разли­чий называют диспер­сией, а сами системы — диспергирующими.

Разложение излучения в спектр. В эксперимен- тах по изучению спект- ров обычно используют Рис. 210. Принципиальная схема спектрального призму или дифракци- прибора онную решетку. Прин-

ципиальная схема про­стейшего спектрального прибора показана на рис. 210. Щель S, на которую падает исследуемое излучение, находится в фокальной плоскости линзы L_v Эта часть прибора называется коллиматором. Выходящий из линзы параллельный пучок света падает на призму R. Вследствие дисперсии света в веществе призмы свет разных длин

волн выходит из призмы под разными углами. В фокальной плоско­сти линзы Ь_г помещается экран или фотопластинка, на которой фиксируется приходящее излучение. Линза фокусирует параллель­ные пучки лучей, и в результате образуются изображения входной щели в разных местах экрана для разных длин волн.

Идеальным был бы такой спектральный прибор, на выходе кото­рого распределение энергии падающего излучения определялось бы только спектральным составом излучения и не зависело бы от кон­струкции прибора. Но любой реальный спектральный прибор всегда вносит искажения. Идеальный прибор при падении монохроматиче­ского излучения давал бы на выходе единственную бесконечно уз­кую спектральную линию. Однако в реальном приборе на выходе вместо узкой линии получается некоторое распределение освещен­ности, характеризуемое контуром определенной формы. Этот кон­тур имеет конечную ширину, что ограничивает способность прибора разделять две близко расположенные спектральные линии.

Дифракция света на решетке. В наиболее совершенных спектраль­ных приборах в качестве диспергирующего элемента используются дифракционные решетки. Лучшие дифракционные решетки пред­ставляют собой полированные стеклянные или металлические пла­стины, на которых алмазным резцом нанесе­ны при помощи специальной делительной ма­шины параллельные одинаковые штрихи, рас­положенные на строго одинаковых расстояни­ях друг от друга.

Действие дифракционной решетки можно понять, рассматривая падение плоской моно­хроматической волны на регулярную периоди­ческую структуру, состоящую из чередующих­ся параллельных друг другу щелей одинаковой ширины Ь, расположенных на одинаковом рас­стоянии а друг от друга (рис. 211). Сумма а + Ъ является периодом этой структуры и на­зывается постоянной решетки d.

В каждой точке Р на экране в фокальной плоскости линзы соберутся те лучи, которые до линзы были параллельны между собой и рас­пространялись под определенным углом 9 к на­правлению падающей волны. Поэтому осве­щенность в точке Р определяется результатом интерференции вторичных волн, распространяющихся как от одной щели, так и от разных щелей. Колебание в точке Р, вызываемое вто­ричными волнами от одной щели, было рассмотрено в предыдущем параграфе. Поэтому мы можем считать это колебание известным и для нахождения результирующего колебания сложить колебания от всех щелей с учетом сдвига по фазе между ними.

Главные максимумы. Легко найти те направления, распространя­ясь по которым вторичные волны от всех щелей будут приходить в точку Р в фазе и усиливать друг друга. Так будет, если разность хода / между вторичными волнами, идущими из эквивалентных то­чек соседних щелей, равна целому числу длин волн (см. рис. 211):

dsmB — nX, п = 0, ± 1, ±2, .... (1)

В точках на экране, где собираются лучи, распространяющиеся под углами Э_п, удовлетворяющими условию (1), расположены так на­зываемые главные максимумы дифракционной картины.

А какой вид имеет дифракционная картина между главными максимумами? Чтобы выяснить это, возьмем определенную решет­ку, имеющую большое число N периодов, и рассмотрим, как будет меняться освещенность на экране при постепенном переходе от

главного максимума ну­левого порядка (п = 0) к главному максимуму пзрвого порядка (п= 1).

Для нахождения амп­литуды результирующего колебания воспользуемся методом векторных диаг­рамм. При 6 = 0 векторы А_;, изображающие коле-

„.„ „ бания от разных щелей,

Рис. 212. Векторные диаграммы для нахождения

результирующего колебания в точке Р параллельны друг другу

и при сложении дадут вектор А(6), длина кото­рого А₀ в N раз больше длины вектора А_; и равна амплитуде коле­баний в главном максимуме. По мере увеличения угла 6 между ко­лебаниями от соседних щелей появляется одинаковый сдвиг по фазе ■Ц), так что одинаковые по величине соседние векторы А^ повернуты относительно друг друга на угол гр. В результате получается лома­ная линия, вписанная в окружность (рис. 212а).

Если эта ломаная линия окажется замкнутой, то амплитуда ре­зультирующего колебания А(6) обратится в нуль, что приводит к полной темноте в соответствующих точках экрана. Замыкание ло­маной линии из векторов A_t происходит при выполнении условия

Ny = 2kn, k= 1, 2, N- 1. (2)

Значение k = 1 соответствует разности хода между пучками от первой и последней (т. е. Л^-й) щели, равной одной длине волны X. Значение к = 2 соответствует разности хода, равной 2Х, и т. д. Зна­чение к = N в формуле (2) соответствовало бы разности хода между двумя пучками от соседних щелей, равной длине волны X. Но это, как видно из формулы (1), есть как раз условие главного максимума пер­вого порядка. Поэтому между главными максимумами нулевого и первого порядков располагаются N — 1 минимумов. Угловое положе­ние этих минимумов определяется из соотношения (2) при учете, что сдвиг по фазе ^ между пучками от двух соседних щелей выражается через разность хода / между ними следующим образом (см. рис. 211):

т / „ d sin в ,_оч

1|'=:2Л^=2Л jj-—. (3)

Подставляя (3) в формулу (2), получаем условие для нахожде­ния направлений на минимумы 8_min:

Nd sin 6_min = k\, к = 1,2 N-l. (4)

Положения N — 1 минимумов между главными максимумами первого и второго порядков даются той же формулой (4), в которой к уже пробегает значения от N + 1 до 2N — 1, и т. д. Очевидно, что между N—1 минимумами располагаются N—2 максимумов, кото­рые в отличие от главных называются побочными. Эти максимумы возникают, когда ломаная линия на векторной диаграмме, образо­ванная векторами А_;, частично налагаясь сама на себя, оканчивает­ся в верхней точке окружности, так что замыкающий ее вектор ре­зультирующего колебания А(8) проходит по диаметру окружности.

На рис. 2126 показана векторная диаграмма, соответствующая направлению на первый побочный максимум, расположенный рядом с главным. С помощью рисунка легко видеть, что при большом чис­ле штрихов N амплитуда колебаний в этом максимуме В₁ связана с

амплитудой колебаний в главном максимуме А₀ соотношением 2

В_х = A_Q. Пропорциональная квадрату амплитуды освещенность

будет в центре первого побочного максимума почти в 25 раз мень­ше, чем в центре главного. Остальные побочные максимумы будут еще слабее.

Распределение дифрагировавшего света по максимумам разных порядков. Как мы видели, амплитуда колебаний в главном макси­муме в N раз больше амплитуды колебаний, создаваемых в этой точке вторичной волной от одной щели. Но амплитуда колебаний от одной щели зависит от угла 6 и определяется формулой (5) пре­дыдущего параграфа. Поэтому амплитуды результирующего колеба­ния в главных максимумах разных порядков различны. Картина распределения освещенности на экране показана на рис. 213 для дифракционной решетки, содержащей N = 4 щели, причем ширина щели b в три раза меньше периода d. Огибающая главных максиму­мов соответствует распределению освещенности в дифракционной картине от одной щели (см. рис. 209).

Легко видеть, что главный максимум определенного порядка про­падает, если его положение совпадает с каким-нибудь минимумом дифракционной картины от одной щели. Сравнивая, условие

d sin 9 = n\, определяющее главный максимум решетки, с условием минимума в дифракционной картине от одной щели Ъ sin в = к\, ви­дим, что условие исчезновения главного максимума n-го порядка мож­но записать в виде

! = к = \,2,...,п-\. ,(5)

Здесь к не может принимать значения, равного п, ибо при этом Ь = d, т. е. решетки уже нет. На рис. 213 bid = 1/3, поэтому отсут­ствует главный максимум третьего порядка. Таким образом, распре­деление энергии падающей на решетку плоской монохроматической волны по главным дифракционным максимумам разных порядков

ЛЛ)

_{1ал А а~х. i ^У~1\г}

' Ь ^Zd

Ь ⁴d

sin9

Рис. 213. Распределение освещенности для дифракционной решетки, содержащей че­тыре щели

зависит от отношения bid, а в общем случае определяется структу­рой одного периода решетки. Положение главных дифракционных максимумов, определяемое формулой (1), при данной длине волны \ зависит только от периода решетки d. Оно не зависит ни от пол­ного числа штрихов решетки Л/, ни от структуры каждого отдельно­го периода решетки. При увеличении полного числа штрихов N главные максимумы, оставаясь на прежних местах, становятся все резче и резче, так как между ними появляется все большее и боль­шее число примерно равноотстоящих побочных максимумов.

Мы видим, что при использовании дифракционной решетки в ка­честве диспергирующего элемента спектрального прибора при паде­нии монохроматической волны получается не одна спектральная ли­ния, а набор главных максимумов конечной ширины. Если падаю­щее излучение содержит свет нескольких длин волн \_х, \₂, ... , то главный максимум нулевого порядка для всех X будет в одном и том же месте при 9 = 0, а положение главных максимумов первого, вто­рого и т. д. порядков для разных длин волн будет различным в со­ответствии с формулой (1). Поэтому различают создаваемые решет­кой спектры первого, второго и более высоких порядков.

Разрешающая способность решетки. Одной из важнейших харак­теристик дифракционной решетки является ее разрешающая спо­собность, которая характеризует возможность разделить в падаю­

щем излучении две близкие длины волны X и X + АХ. Разрешаю­щей способностью называется отношение X к минимально возмож­ному значению АХ, т. е. Х/АХ. Считается, что две линии спектра, создаваемого решеткой, различимы, если главный максимум п-го порядка для длины волны X + АХ подходит к n-му главному макси­муму для длины волны X не ближе, чем ближайший минимум для X (рис. 214). Этот условный критерий разрешимости спектральных линий был предложен Дж. Рэлеем. При выполнении критерия Рэ-лея налагающиеся дифракционные картины образуют максимум с небольшим провалом посредине (рис. 214), что воспринимается гла­зом по контрасту как наличие темного промежутка между максиму­мами для длин волн X и X + АХ.

Положение ближайшего к n-му главному максимуму минимума для длины волны X определяется, в соответствии с формулой (4), соотношением

Nd sin 9 = (Nn + 1) X. (6)

Для положения n-го главного максимума для длины волны X + АХ, согласно формуле (1), можно написать

Nd sin 9 = Nn (X + АХ). (7)

При выполнении критерия Рэлея левые части (6) и (7) совпадают. Поэтому

(Nn + 1) X = Nn (Х + АХ),

откуда

Х/АХ = nN. (8)

Разрешающая способность дифракцион­ной решетки тем выше, чем больше в ней штрихов N и чем выше используемый поря­док спектра п. Наибольший порядок спектра я_тах, который можно по­лучить с данной решеткой, ограничивается условием | sin 9| < 1:

^d = "maA

Чтобы решетка давала спектр хотя бы первого порядка, необхо­димо, чтобы период решетки d был не меньше длины волны X. Со­временные решетки имеют до 1200 штрихов на 1 мм и разрешаю­щую способность в спектре первого порядка до 100 ООО.

Щели конечной ширины в опыте Юнга. Вернемся к опыту Юнга, рассмотренному в § 30. Напомним, что этот опыт был рассмотрен в приближении точечных вторичных источников, которое применимо тогда, когда размер отверстий много меньше длины волны. Как мы видели, вместо точечных отверстий можно использовать бесконечно узкие параллельные щели, и вид интерференционной картины в центре экрана при этом не меняется.

Однако в реальном опыте щели всегда имеют конечную ширину. Теперь после того, как мы познакомились с действием дифракцион­ной решетки, легко выяснить, как изменяется интерференционная картина в опыте Юнга при переходе к щелям конечной ширины. Для

ч~ЛЛх. ^l\l\IMl\i\l\>^ .х-АЛ/

_а _а о x .,1 ,а а 6

Ь d d ^Ld *d b

Рис. 215. Распределение освещенности в опыте Юнга в случае, когда ширина щели в пять раз меньше расстояния между центрами щелей

этого достаточно сообразить, что щели в опыте Юнга представляют собой дифракционную решетку, у которой полное число штрихов N равно двум. Правда, в опыте Юнга отсутствует линза, но наблюдае­мая на удаленном экране интерференционная картина практически не отличается от той, которая наблюдается в фокальной плоскости линзы для решетки с двумя щелями, ибо приходящие в одну и ту же точку удаленного экрана лучи от двух близких щелей почти парал­лельны. На рис. 215 показано распределение освещенности на уда­ленном экране в опыте Юнга в случае, когда ширина щели b в пять раз меньше расстояния между центрами щелей d. Штриховая линия соответствует распределению освещенности экрана от одной щели.

Задачи

1. Две дифракционные решетки одного размера имеют разное полное чис- ло штрихов Л/, и jV₂. Которая из них имеет более высокую разрешающую спо- собность в спектре первого порядка и в спектре максимального порядка?

Ответ: В спектре первого порядка разрешающая способность Х/АХ выше у той решетки, которая имеет большее полное число штрихов. В спектре мак­симального для данной решетки порядка п_тах — dIX разрешающая способ­ность зависит не от полного числа штрихов N, а только от полного размера L = dN решетки.