§ 31. Дифракция света

Наряду с интерференцией другим примером общего для всех волно­вых процессов явления может служить дифракция — огибание вол­нами препятствий. Для световых волн дифракция проявляется в от­клонении от прямолинейного распространения и загибании света в область геометрической тени.

Характерной особенностью дифракционных явлений в оптике оказывается то, что здесь, как правило, длина волны света почти всегда много меньше размеров преград на пути световых волн. По­этому наблюдать дифракцию света можно только на достаточно больших расстояниях от преграды. Проявление дифракции состоит в том, что распределение освещенности отличается от простой кар­тины, предсказываемой геометрической оптикой на основе прямоли­нейного распространения света.

Принцип Гюйгенса—Френеля. Строгий расчет дифракционной картины представляет собой очень сложную математическую зада­чу. Но в некоторых практически важных случаях достаточно хоро-

шее приближение дает упрощенный под­ход, основанный на использовании прин­ципа Гюйгенса—Френеля.

Пусть поверхность S представляет со­бой положение волновой поверхности в некоторый момент времени (рис. 199). Для того чтобы определить вызванные волной колебания в некоторой точке Р,

нужно, по Френелю, определить колеба- Рис. 199. К расчету дифрак-ния, вызываемые в этой точке отдельны- ции на основе принципа Пой­ми вторичными волнами, приходящими в генса—Френеля нее от отдельных элементов поверхности

S, и затем сложить эти колебания с учетом их амплитуд и фаз. При этом следует считать, что в точке Р сказывается влияние только той части волновой поверхности S, которая не загораживается каким-либо препятствием.

Рис. 201. Построение зон Френеля

Зоны Френеля. Проиллюстрируем применение принципа Гюйген­са—Френеля на следующем примере. Пусть на непрозрачную пре­граду с круглым отверстием падает слева плоская монохроматиче­ская волна (рис. 200). Такую волну можно получить, например, от точечного источника монохроматического света, удаленного на бес-

Рис. 200. Падение плоской монохроматиче­ской волны на преграду с круглым отверстием

конечность или помещенного в фокус собирающей линзы большого диаметра. Будем интересоваться освещенностью экрана в точке Р, находящейся на оси симметрии.

Для учета интерференции вторичных волн Френель предложил мысленно разбить волновую поверхность падающей волны в месте расположения преграды на кольцевые зоны (зоны Френеля) по сле­дующему правилу: расстояния от краев соседних зон до точки Р (рис. 201) должны отличаться на половину длины волны, т. е.

h=L + \, l₂ = L + 2± l_k = L + k\. (1)

Если смотреть на волновую поверхность из точки Р, то зоны Френеля будут выглядеть так, как показано на рис. 202. Из рис. 201 легко найти радиусы зон Френеля:

т_к = VZJ -L² = ^kXL + k²^ШЕ. (2)

Видно, что радиус к-й зоны пропорционален sfk, если kX/L«1. При выполнении этого условия площади зон Френеля можно счи­тать одинаковыми. Результат интерферен­ции вторичных волн в точке Р, как мы уви­дим ниже, определяется тем, сколько зон Френеля открывает круглое отверстие на волновой поверхности.

Дифракция Френеля на круглом отвер­стии. Предположим, что отверстие в преграде представляет собой диафрагму, диаметр кото­рой можно изменять. Пусть сначала радиус Рис. 202. Зоны Френеля отверстия много меньше радиуса первой зоны

Френеля. Тогда можно считать, что колеба­ния от всех точек волновой поверхности в этом маленьком отверстии приходят в точку Р практически в одинаковой фазе. Изобразим колебание поля в точке Р, вызванное этой вторичной волной, с по­мощью векторной диаграммы (рис. 203а). Этому колебанию на ней сопоставляется вектор АА₁₍ который вращается с угловой скоростью со,

равной циклической частоте падаю­щей волны, в направлении против часовой стрелки. Увеличим отвер­стие диафрагмы еще немного, так чтобы площадь его удвоилась. Коле­бания, приходящие в точку Р от вновь открытого участка волновой поверхности, несколько отстают по фазе и изображаются на диаграмме вектором АА₂. Длина этого вектора равна длине вектора АА^ так как равны между собой площади соответ­ствующих им участков волновой по­верхности. Продолжая увеличивать отверстие диафрагмы, будем откла­дывать на диаграмме векторы, соответствующие приходящим в точку Р колебаниям от вновь открываемых участков волновой поверхности. Колебаниям, приходящим в Р от участка, прилегающего к границе первой зоны Френеля, будет соответствовать вектор АА„, повернутый относительно ДА! на л, так как, согласно определению зон Френеля, разность хода соответствующих им вторичных волн равна Х/2.

Результирующее колебание в точке Р, создаваемое волной, кото­рая прошла через круглое отверстие, совпадающее с первой зоной Френеля, изображается вектором ДА,- (рис. 203а). Будем увеличи­вать отверстие диафрагмы дальше. Когда на нем будут умещаться две первые зоны Френеля, векторная диаграмма колебаний в точке Р примет вид, изображенный на рис. 2036. При строгом равенстве амплитуд складываемых колебаний ДЛ₍. амплитуда результирующе­го колебания А₂ должна была бы равняться нулю, т. е. вторичные волны при двух открытых зонах Френеля полностью гасили бы друг друга в точке Р. Однако действие даже одинаковых по площади уча­стков волновой поверхности в точке Р несколько убывает по мере увеличения угла ф между направлением на точку Р и нормалью к волновой поверхности (см. рис. 199). Поэтому в действительности амплитуда А₂ имеет конечное, хотя и очень малое значение.

Таким образом, освещенность экрана в точке Р, пропорциональ­ная квадрату амплитуды результирующего колебания, будет по ме­ре увеличения отверстия круглой диафрагмы меняться немонотонно. Пока открывается первая зона Френеля, освещенность в Р увеличи­вается и становится максимальной при полностью открытой первой зоне. По мере открывания второй зоны Френеля освещенность убы­вает и при полностью открытой второй зоне уменьшается почти до нуля. Затем освещенность будет увеличиваться снова, и т. д.

Эти на первый взгляд парадоксальные результаты, предсказыва­емые на основе принципа Гюйгенса—Френеля, хорошо согласуются с экспериментом. Подчеркнем, что они находятся в вопиющем про­тиворечии с предсказаниями геометрической оптики, согласно кото­рой при падении плоской волны освещенность в точке Р, лежащей на оси круглого отверстия, не зависит от диаметра отверстия.

Дифракция Френеля на круглом диске. Пятно Араго—Пуассона.

Наиболее неожиданным в полученных выше результатах является, пожалуй, то, что при двух открытых зонах Френеля (и вообще при небольшом четном числе открытых зон) освещенность в точке/¹ близ­ка к нулю. Не менее неожиданным является то, что в точке Р позади непрозрачного круглого экрана, расположенного на месте преграды с отверстием, освещенность не будет равна нулю, как это следовало бы из геометрической оптики. Если при этом непрозрачный круглый эк­ран перекрывает лишь несколько первых зон Френеля, то в точке Р освещенность будет почти такой же, как и без экрана.

В этом можно убедиться, если рассматривать вектор А, изобра­жающий колебания напряженности поля в точке Р при полностью открытой волновой поверхности, как сумму двух векторов, один из которых изображает колебания от открытого участка волновой по­верхности, а другой — от тех зон Френеля, которые перекрыты эк­раном. В центре геометрической тени оказывается свет — так назы­ваемое пятно Араго—Пуассона.

Это предсказание теории Френеля произвело сильное впечатле­ние на его современников. В 1818 г. член конкурсного комитета Французской академии С. Пуассон, рассматривавший представлен­ный на премию мемуар Френеля, пришел к выводу о том, что в центре тени маленького диска должно находиться светлое пятно, но счел этот вывод столь абсурдным, что выдвинул его как возражение против волновой теории света, развивавшейся Френелем. Однако другой член того же комитета Араго выполнил эксперимент, пока­завший, что это удивительное предсказание правильно.

Расстояния, на которых сказывается дифракция. Теперь не пред­ставляет труда оценить те условия наблюдения, при которых дифрак­ционные явления становятся существенными и картина распределе­ния освещенности на экране заметно отличается от предсказываемой геометрической оптикой. По геометрической оптике распределение освещенности на экране должно соответствовать форме отверстия, так что освещенность экрана равна нулю в области геометрической тени, а в точке Р такая же, как и в отсутствие преграды. Но мы видели, что в случае, когда на отверстии укладывается лишь несколько зон Френе­ля, освещенность в точке Р совсем иная. Это дает возможность оценить то расстояние L от отверстия до точки наблюдения, на котором именно дифракционные явления определяют наблюдаемую картину. Для это­го в формуле (2) следует считать &~ 1, а г_к положить равным размеру отверстия (или преграды) d. В результате находим

L~d²/k. (3)

Построения Френеля позволяют легко рассчитать освещенность позади непрозрачного круглого экрана или экрана с круглым отвер­стием только в точках, лежащих на оси симметрии. Найти вид всей дифракционной картины на экране очень трудно.

Дифракция Фраунгофера. Но можно осуществить такие условия на­блюдения дифракции света, при которых возможен полный расчет распределения освещенности в дифракционной картине на экране.

<; Пусть плоская монохроматическая волна

от бесконечно удаленного точечного ис­точника падает на экран S с отверстием, а дифракционная картина наблюдается на экране в фокальной плоскости линзы (рис. 204). Так как в каждой точке фо­кальной плоскости линзы, например Р на рис. 204, сходятся лучи, которые до линзы рис. 204. наблюдение диф- были параллельны между собой, то на-ракции в параллельных лучах блюдаемая здесь картина называется диф­ракцией в параллельных лучах. Как мы увидим в дальнейшем, линза не вносит дополнительной разности хо­да между параллельными до линзы лучами. Поэтому складывающи­

еся в точке Р колебания имеют такую же разность фаз, как и до линзы на плоскости, перпендикулярной к этим лучам. Такая схема наблю­дения дифракции была предложена И. Фраунгофером.

Пусть отверстие в экране S представляет собой щель шириной d (рис. 205), которую считаем бесконечно протяженной в направлении

оси у. Построенные по принципу Гюйгенса волновые поверхности по­зади щели представляют собой цилиндрические поверхности с обра­зующей, параллельной краям щели (рис. 206). Так как волновая по­верхность в направлении оси у не ограничена, то дифракционных эф­фектов в этом направлении быть не может. Поэтому весь прошедший через линзу и по­падающий на экран дифрагированный свет будет сосредоточен вдоль линии ММ, лежа­щей в плоскости xz. Вместо изображения точечного источника в фокальной плоско­сти линзы, которое было бы в отсутствие щели, получается дифракционная картина, вытянутая вдоль линии ММ.

Если создающий падающую волну то­чечный источник сместить вдоль оси у так, чтобы падающие на щель параллельные лу­чи образовали некоторый угол с осью z, то дифракционная картина на экране, не из­меняя своего вида, сместится из положения ММ на такой же угол. Поэтому при замене точечного источника света на тонкую све­тящуюся линию, параллельную оси у, каж­дый ее точечный элемент будет создавать

свою дифракционную картину, параллельную ММ, а вся дифракци­онная картина на экране будет состоять из параллельных светлых и темных полос, как показано на рис. 205. Для ее нахождения доста­точно рассмотреть только плоскость xz.

Согласно принципу Гюйгенса—Френеля волновую поверхность падающей волны в щели на оси х следует разбить на столь малые участки, чтобы колебания в точке наблюдения Р, вызываемые вто­ричными волнами от всех точек одного участка, имели почти оди­наковую фазу. Колебания в точке Р, вызываемые вторичными волнами, распространяющимися под углом 9 от разных участков (рис. 207), сле­дует просуммировать с учетом сдви­гов по фазе. Это удобно сделать с по­мощью векторной диаграммы, по­строенной на рис. 208.

2л '■

Вектор ДА[ изображает колеба­ния, приходящие в точку Р от участ­ка Ax_v лежащего вблизи нижнего края щели. Вектор ДА₂, изобража­ющий колебания от соседнего участка Дх₂, повернут относительно AA_t на некоторый небольшой угол. Вектор ДА„, изображающий колебания от последнего участка Ах_п, лежащего у верхнего края щели, повернут относительно вектора AAj на угол <р, соответствующий разности хода / = d sin 9 (рис. 207) между лучами, приходящими от краев щели. Чтобы найти сдвиг по фазе <р между колебаниями в точке Р, вызван­ными волнами с разностью хода /, следует учесть, что сдвиг по фазе равен 2л при раз­ности хода X:

d sin_6

2л[-

Найдем длину суммарного вектора А(9), которая равна амплитуде колебаний в точке наблюдения Р. Легко видеть, что вектор А (9) представляет собой хорду ок­ружности с центром в точке С (рис. 208). Прежде всего отметим, что длина дуги, стягиваемой хордой /1(9), равна амплитуде колебаний А₀ в точке О на экране, так как в эту точку вторичные волны от всех уча­стков Ax_t, распространяясь под углом 9 = 0, приходят в одинаковой фазе и все векторы ДА_П имеют для точки О одинаковые направле­ния. Длину дуги А₀ и длину хорды /1(9) легко связать между собой из геометрических соображений. Из рис. 208 видно, что

^ = J?Sin* = ^

sin

2'

откуда

(5)

Освещенность экрана E(Q) в точке Р, пропорциональная квадра­ту амплитуды колебаний, связана с освещенностью Е₀ в точке'О, согласно (5), следующим соотношением:

£(6) = Е₀1

(9/2)

(f/2)²

(6)

где ф дается формулой (4). Распределение освещенности на экране Е(в) при дифракции плоской волны на длинной щели показано на рис. 209. Вместо бесконечно узкой линии, которая получалась бы в фокальной плоскости линзы согласно законам геометрической оптики, на экране получаются дифракционные полосы, параллель­ные щели. Рядом с яркой центральной полосой будут слабые по­бочные полосы, отделенные друг от друга полной темнотой, причем ши­рина побочных полос вдвое меньше ширины центральной.

sine

.А О d

2к d

Освещенность в центре первой по­бочной полосы, как видно из формулы (6), почти в 25 раз меньше освещенно­сти в центре картины. Освещенность обращается в нуль тогда, когда аргу­мент синуса в (6) кратен л. Это соот­ветствует углам дифракции 0, при ко- -<=*-^ торых, как видно из (4),

d sin 0 = кк, к = ± 1, ± 2, .... (7) Рис. 209. Распределение осве-

щенности на экране при дифрак-Отметим, что положение минимумов цщ, плоской волны на щели освещенности легко найти и без по­мощи формулы (6). Для этого достаточно только сообразить, что минимумам соответствует разность хода / между крайними лучами (рис. 207), равная целому числу длин волн Я. Действительно, если разность хода / равна, например, Я, то всю щель можно разбить на пары одинаковых участков, отстоящих друг от друга на d/2. Разность хода вторичных волн от каждой такой пары равна Я/2, и эти волны в точке наблюдения гасят друг друга.

Чем уже щель, тем шире дифракционные полосы. Из формулы (7) видно, что при уменьшении ширины щели d до размеров поряд­ка длины волны Я центральная полоса расплывается на весь экран.

• В чем заключаются особенности дифракционных явлений в оптике?

• Сформулируйте принцип Гюйгенса—Френеля. Как рассчитать колеба­ния в некоторой точке, вызываемые проходящей, через отверстие в экра­не световой волной?

• Что такое зоны Френеля? Как осуществляется их построение?

• Докажите, опираясь на формулу (2), что площади зон Френеля одина­ковы.

• Как объяснить периодические изменения освещенности в центре диф­ракционной картины от круглого отверстия при монотонном изменении диаметра отверстия или расстояния от отверстия до экрана?

• Как оценить расстояние от препятствия (экрана или отверстия в нем) до точки наблюдения,- при котором становятся заметными дифракцион­ные явления?

• Чем отличаются условия наблюдения дифракции Фраунгофера и диф­ракции Френеля?

• Покажите, что дифракция Френеля и дифракция Фраунгофера не пред­ставляют собой разные физические явления, а соответствуют разным условиям наблюдения одного и того же явления. Сравните дифракцию Френеля при L = <*> с дифракцией Фраунгофера.

• Как изменятся ширина центральной полосы при дифракции Фраунго­фера на щели и освещенность в ее середине, если ширину щели увели­чить вдвое? Изменится ли при этом отношение освещенностей в побоч­ных и центральной дифракционных полосах?