§ 23. Работа и мощность переменного тока. Передача электроэнергии

Как мы видели, в цепи синусоидального переменного тока, вообще говоря, возникает сдвиг по фазе между приложенным напряжением и током:

1/(1) = U₀ cos со/, /(0 = /₀ cos (u>t — 9). (1)

Мгновенная мощность. Сдвиг фаз *р зависит от соотношения меж­ду активным и реактивными сопротивлениями и тем самым от час­тоты со. Поскольку напряжение и ток в цепи изменяются с частотой со, то при подсчете работы тока нужно рассматривать настолько ма­лый промежуток времени At, чтобы значения напряжения и тока можно было считать постоянными:

АА = I(t)U(t)At. (2)

Отсюда получается следующее выражение для мгновенной мощ­ности тока:

P(t) = AA/At = I(t) U(t). (3)

Подставив сюда значения I(t) и U(t) из (1), получаем

P(t) = U₀I₀ cos oof-cos (со* — ч?). (4)

Воспользовавшись тригонометрическим тождеством

cos a-cos р" = ^ [cos (a + |3) + cos (a — 6)],

перепишем (4) в следующем виде:

P(t) =jI₀^uo t^cos ф + cos (2oo* - <p)]. (⁵)

Выражение для мгновенной мощности (5) состоит из двух слага­емых: одно из них не зависит от времени, а второе осциллирует с удвоенной частотой 2со. Это значит, что дважды за каждый период изменения приложенного напряжения изменяется направление по­тока энергии: в течение какой-то части периода энергия поступает в цепь от источника переменного напряжения, а в течение другой части возвращается обратно. Средний за период поток энергии по­ложителен, т. е. энергия поступает в цепь от источника.

Средняя мощность. Действующие значения. Если интересовать­ся работой переменного тока за промежуток времени, сравнимый с периодом Т = 2л/оо, то в выражении (15) для мощности следует учитывать оба слагаемых. При вычислении работы, совершаемой током за промежуток времени, значительно превышающий период, вклад второго слагаемого будет пренебрежимо малым. В этом слу­чае вместо (5) можно пользоваться выражением для средней мощ­ности Р:

Р = \ I₀U₀ cos «р. (^fi)

Часто эту формулу записывают в виде

Р = 1U cos ч?, (7)

где I и U — так называемые действующие значения силы тока и напряжения, в V2 раз меньшие соответствующих амплитудных зна­чений:

/ = yV2, U=U₀/V2. (8)

Использование действующих значений вместо амплитудных удобно потому, что в нагрузке с чисто активным сопротивлением, где ч? = 0, выражение (7) для мощности будет таким же, как и для постоянного тока.

Потери в линиях передачи. Потребителю обычно подается на­пряжение определенной величины U, поэтому одна и та же мощ­ность Р будет потребляться при разных значениях тока в цепи / в зависимости от сдвига фазы между током и напряжением. При малых значениях cos <р ток должен быть большим, что приводит к большим тепловым потерям в подводящих проводах линии пе­редачи.

Если г — сопротивление линии передачи, то рассеиваемая мощ­ность тепловых потерь в линии Р_{ равна 1²г. Выражая ток в цепи с

помощью (7), для Р_{ получаем

^/нтТ £_

V¹ cos ²у

Для уменьшения потерь следует до­биваться как можно меньшего сдви­га фазы между током и напряжени­ем в нагрузке.

Рис. 143. Эквивалентная схема по­требителя с индуктивной нагрузкой (а) и включение вспомогательного конденсатора для увеличения cos 9 (б)

Большинство современных по­требителей электрической энергии синусоидального тока представля­ют собой нагрузки индуктивного характера, токи в которых отстают по фазе от напряжения источника питания. Эквивалентную схему такого потребителя можно изобра­зить в виде последовательно соединенных активного сопротивления R и индуктивности L (рис. 143а). Соответствующая векторная диаг­рамма показана на рис. 144а. Ток /_н через нагрузку отстает от при­ложенного напряжения на определенный угол <р_н. Потребляемая на­грузкой мощность согласно (7) равна

P = \u₀I_0Hcos_9n. (Ю)

Из этой формулы видно, что при напряжении U₀ такую же мощ­ность можно было бы получить и при любом другом токе /₀, таком,

а - - б

Рис. 144. Векторные диаграммы для цепей, изображенных на рис. 143

что изображающий его вектор (показанный штриховой линией на рис. 144а) оканчивается на перпендикуляре АВ, опущенном из кон­ца /_0н на направление U₀, так как при этом /₀ cos<p = /_0н cos <р_н. Но если <р < <р_н, то /₀ < /_0н и при той же мощности тепловые потери в подводящих проводах будут меньше.

Уменьшение потерь. Как же добиться того, чтобы сдвиг фаз между напряжением и током в цепи уменьшился? Легко сообразить, что для этого можно подсоединить параллельно нагрузке вспомогатель­ный конденсатор (рис. 1436). Векторная диаграмма в этом случае будет иметь вид, изображенный на рис. 1446. Векторы, изображаю­щие приложенное напряжение U и ток через нагрузку /_н, останутся неизменными, а полный ток в неразветвленной цепи, равный сумме токов через нагрузку и вспомогательный конденсатор, будет изобра­жаться вектором /₀. Подбирая емкость конденсатора, можно добить­ся того, чтобы сдвиг по фазе принял заданное значение <р. Из рис. 1446 видно, что длина вектора /_ос равна

/_ос= \ОА\ (tg ф„ — tg <р).

(П)

Но \ОА\ = /_0п cos <р_н, и с помощью (10) находим \ОА\ = 2P/U₀. Амплитудное значение тока в конденсаторе /_ос связано с амплитуд­ным значением подаваемого напряжения формулой /_ос = £/₀соС. Подставляя | OA | и /_ос в (11), находим

C = -j-(tg «P„-tg «р).

t/₀co

(12)

Таким образом, существует достаточно простой и эффективный способ снижения потерь в линиях передачи энергии переменного то­ка, связанных с реактивным характером сопротивления нагрузки: подключение конденсатора к индуктивной нагрузке позволяет полу­чить равное нулю значение сдвига фаз <р.

Высоковольтные линии передачи. Но даже в том случае, когда со­противление нагрузки является чисто активным и сдвиг фаз между напряжением и током отсутствует, т. е. cos <р = 1, тепловые потери в линии передачи все равно неизбежны. Можно ли их каким-либо способом уменьшить? Ответ на этот вопрос дает формула (9). Из нее видно, что при заданном значении передаваемой потребителю мощности Р уменьшить тепловые потери в линии можно, либо уменьшая сопротивление R проводов линии передачи, либо повы­шая напряжение U переменного тока, подаваемого потребителю. Уменьшение сопротивления линии в настоящее время возможно лишь до известных пределов, поэтому до создания эффективных сверхпроводящих линий электропередачи с потерями приходится бороться повышением напряжения.

Трансформатор. Для преобразования напряжения на электро­станциях и у потребителей используются трансформаторы (рис. 145). Трансформатор имеет сердечник замкнутой формы из магнитомягкого (легко перемагничиваемого) материала, который несет на себе две обмотки: первичную и вторичную. Концы первич­ной обмотки (вход трансформатора) подключают к сети переменно-

го тока, а концы вторичной обмотки (выход) — к потребителю электрической энергии. ЭДС электромагнитной индукции, возника­ющая во вторичной обмотке, пропорциональна числу витков в ней.

Поэтому, изменяя это число витков, можно изменять в широких пределах напряжение на выходе трансформатора.

Рассмотрим принцип действия трансформатора. Пусть сначала вторичная обмотка трансформатора разомкнута, а на первичную по­дается переменное синусоидальное напряжение. Это режим холосто­го хода. Как и всякую катушку индуктивности, первичную обмотку трансформатора можно рассматривать как последовательно соеди­ненные индуктивность L и активное сопротивление R. Напряжение U_L на индуктивном сопротивлении R_L = coL первичной обмотки опережает по фазе ток и, следовательно, напряжение U _R на ее ак­тивном сопротивлении на угол, равный тс/2. Поэтому амплитудные значения поданного на первичную обмотку напряжения U_ol и на­пряжений на R и L связаны соотношением

= \v\r + Uol ■ ⁽¹³⁾

Разумеется, непосредственно измерить U_L и U_R по отдельности невозможно, так как первичная обмотка, строго говоря, не есть по­следовательно соединенные индуктивность L и активное сопротив­ление R: каждый элемент обмотки обладает одновременно индук­тивностью и сопротивлением. Это так называемая цепь с распреде­ленными параметрами. Но при расчете можно заменить реальную обмотку на цепь с сосредоточенными параметрами — катушку ин­дуктивности и резистор, соединенные последовательно, поскольку через каждый элемент исходной цепи идет один и тот же ток.

Напряжение на индуктивности U_L в каждый момент времени компенсирует возникающую в первичной обмотке ЭДС самоиндук­ции <£_р поэтому

U_L = -*_V (14)

Если весь магнитный поток, создаваемый током первичной об­мотки, целиком, т. е. без рассеяния, пронизывает вторичную обмот­ку, то индуцируемая в каждом витке вторичной обмотки ЭДС будет такой же, как и в каждом витке первичной обмотки. Поэтому отно­шение электродвижущих сил в первичной и вторичной обмотках равно отношению чисел витков:

%\№г = ⁿ\lⁿv (15)

На выходе разомкнутой вторичной обмотки существует напряже­ние, равное индуцируемой в ней ЭДС:

U₂ = V₂. (16)

Подставляя сюда %₂ ^из (15) и учитывая (14), получаем

Режим холостого хода. Таким образом, значение напряжения на разомкнутой вторичной обмотке трансформатора пропорционально не подаваемому на первичную обмотку напряжению /У,, а лишь на­пряжению на индуктивном сопротивлении первичной обмотки U_L. Отсюда сразу становится ясна роль сердечника трансформатора. В самом деле, из формулы (13) следует, что напряжение на индуктив­ности U_L будет тем ближе к подаваемому на вход трансформатора напряжению /У], чем больше будет индуктивное сопротивление пер­вичной обмотки <x>L по сравнению с ее активным сопротивлением R. Наличие сердечника из материала с высокой магнитной прони­цаемостью приводит к многократному увеличению индуктивности

L. У такого трансформатора на холостом ходу £/₂~ ^— 7Г ^^нак

минус означает, что эти напряжения находятся в противофазе. Бла­годаря большому индуктивному сопротивлению первичной обмотки ток в ней при разомкнутой вторичной цепи мал.

Трансформатор под нагрузкой. При замыкании вторичной цепи трансформатора на некоторую нагрузку во вторичной обмотке появ­ляется ток. Создаваемый этим током магнитный поток направлен так, что, согласно закону Ленца, препятствует изменению магнит­ного потока, создаваемого током в первичной обмотке. Если бы при этом ток в первичной обмотке остался неизменным, то это привело бы к уменьшению магнитного потока. Значит, включение нагрузки во вторичную цепь эквивалентно уменьшению индуктивности пер­вичной цепи.

Но уменьшение индуктивного сопротивления немедленно приво­дит к увеличению тока в первичной обмотке, к уменьшению сдвига по фазе между напряжением и током и, следовательно, к увеличению потребляемой от внешней цепи мощности. Таким образом, если на холостом ходу трансформатор представляет собой почти чисто индук­тивное сопротивление, то по мере увеличения нагрузки трансформа­тора, т. е. тока во вторичной цепи, характер сопротивления первич­ной обмотки трансформатора становится ближе к активному.

Если потери энергии в самом трансформаторе малы, то на осно­вании закона сохранения энергии потребляемая трансформатором мощность целиком передается нагрузке. Тогда с помощью (6) мож­но написать

^{I uoi!oi cos 4>i = \ cos <р}₂^{, (18)}

где и ф₂ — сдвиги фаз между током и напряжением в первичной и вторичной цепях.

Приведенное выше рассмотрение работы трансформатора отно­сится к идеализированному случаю трансформатора без потерь. В реальном трансформаторе всегда имеются потери, связанные с вы­делением джоулевой теплоты в обмотках, с токами Фуко, с необра­тимыми явлениями при перемагничивании сердечника и с рассеяни­ем магнитного потока. Но в современных трансформаторах суммар­ные потери не превышают нескольких процентов от передаваемой мощности. Коэффициент полезного действия трансформаторов очень высок и лежит в пределах 95—99,5%.

Выпрямление переменного тока. Для многих практических при­менений необходимо преобразовать переменный синусоидальный ток в ток одного направления. Этой цели служат выпрямители, действие которых основано на односторонней проводимости лампо­вых и полупроводниковых диодов.

Понять действие выпрямителя можно, не вникая в физическую природу самого механизма односторонней проводимости.

Простейшая схема выпрямителя приведена на рис. 146а. Это од-нополупериодный выпрямитель, в котором ток через нагрузку R те-

а б в

Рис. 146. Схемы выпрямителей: однополупериодного (а), двухполупериодного (б) и с удвоением напряжения (в)

чет только в течение одной половины каждого периода приложенно­го синусоидального напряжения.

В мостиковой схеме выпрямителя, показанной на рис. 1466, ток через нагрузку идет в одном и том же направлении в течение обеих половин каждого периода. Но в таком двухполупериодном выпрями­теле ток все-таки тоже пульсирует. Для сглаживания этих пульса­ций используют так называемые электрические фильтры, если тре­буется не только получить ток одного направления, но и постоянное напряжение.

В приведенных на рис. 146а,б схемах максимальное значение напряжения на нагрузке (при идеальных диодах) равно амплитуд­ному значению приложенного синусоидального напряжения. В по­казанной на рис. 146б схеме выпрямителя напряжение на нагрузке практически вдвое больше амплитудного значения приложенного напряжения, если время разрядки конденсаторов через сопротивле­ние нагрузки (т~/?С) значительно превышает период Т синусои­дального напряжения. Это так называемая схема с удвоением на­пряжения.

Задачи

1. Активное сопротивление Л первичной обмотки трансформатора состав- ляет 10 % ее индуктивного сопротивления Lea. Какое напряжение будет на ра- зомкнутой вторичной обмотке, имеющей вдвое больше витков, если первич- ную обмотку включить в сеть напряжением 220 В?

Решение. Напряжение U₂ на разомкнутой вторичной обмотке связано с напряжением U_L на индуктивном сопротивлении первичной обмотки соотно­шением (17). Поэтому в рассматриваемом случае для действующих значений имеем U₂ = 2U_L. Напряжение на индуктивности и сопротивлении в первичной обмотке сдвинуты по фазе на л/2, а их действующие значения U_L и U_R связаны с действующим значением U_x приложенного напряжения тем же соотношени­ем (13), что и соответствующие амплитудные значения. Отношение UjjU_L, в соответствии с условием задачи, равно 0,1. Поэтому

и₁ = ^/и% + Ul = U_Ly/\ + (U_R/U_L)² =U_Ly/\ +0,01 »U_L-1,005.

На разомкнутой вторичной обмотке получаем

1U

U₂ = 2U_L = _T^»2U_l (1 -0,005) =2t7_r0,995 = 438 В.

Выходное напряжение оказывается всего на 0,5% меньше значения 440 В, которое соответствовало бы идеализированному случаю чисто индуктивного сопротивления первичной обмотки.

2. Последовательно с электрокипятильником, включенным в осветитель- ную сеть с частотой / = 50 Гц, подключили дроссель. При этом потребляемая кипятильником мощность упала в два раза. Найдите индуктивность L дроссе- ля, если сопротивление кипятильника R = 50 Ом.

Решение. По условию задачи потребляемая кипятильником мощность после подключения дросселя уменьшилась вдвое. Значит, напряжение на нем уменьшилось в V2 раз. Если построить векторную диаграмму для последова­тельно соединенных активного сопротивления кипятильника и индуктивного сопротивления дросселя, то легко убедиться, что напряжения на кипятильни­ке и на дросселе одинаковы и в vT раз меньше сетевого напряжения. Но это оз­начает, что R = u>L. Отсюда

. R R

• При каких условиях выражение (2) можно использовать для расчета работы переменного тока? Ведь оно, строго говоря, было получено для постоянного тока.

• Нарисуйте примерный график зависимости от времени мгновенной мощности в цепи переменного тока для случаев ip = 0 (активная нагруз­ка), ip = ±я/2 (реактивная нагрузка) и ip = ±я/4.

• В каких случаях при расчете работы переменного тока можно пользо­ваться выражением (6) для средней мощности, а не выражением (5) для мгновенной мощности?

• Каким образом можно уменьшить тепловые потери в линиях электропе­редачи, изменяя характер сопротивления нагрузки? Почему в сетях пе­ременного тока потребитель энергии должен обладать практически ак­тивным в целом сопротивлением?

• В чем преимущество использования линий высокого напряжения для пе­редачи электроэнергии?

• Какую роль в трансформаторе играет сердечник из материала с высокой магнитной проницаемостью? Почему железный сердечник трансформа­тора собирают из отдельных изолированных пластин?

• Из формулы (17) следует, что коэффициент трансформации напряже­ния определяется отношением чисел витков п₂/п₁. Казалось бы, при от­ношении п₂/п₁ потери в трансформаторе будут тем меньше, чем меньше значения п, и п₂, так как с увеличением числа витков растет активное сопротивление. Почему же у трансформаторов обмотки обычно содержат большое число витков?

• Можно ли включать трансформатор в сеть постоянного тока?

• Нарисуйте графики зависимости силы тока от времени в нагрузке вы­прямителей, схемы которых показаны на рис. 146а,б.

• Объясните, почему в схеме выпрямителя на рис. 146<з происходит удво­ение напряжения на нагрузке. Предложите схему выпрямителя, в кото­ром на нагрузке происходило бы утроение напряжения.