§ 21. Квазистационарные явления в электрических цепях

До сих пор при изучении электромагнитных явлений мы подробно исследовали случаи, соответствующие электрическому полю непо­движных зарядов и магнитному полю постоянных токов. Такие электрическое и магнитное поля существуют независимо и не свя­заны друг с другом. Тем не менее большинство установленных за­конов справедливы и для более общих случаев, когда происходят взаимные превращения электрического и магнитного полей.

Наиболее простые явления, связанные с изменяющимися элект­рическим или магнитным полями — это так называемые квазиста­ционарные явления в электрических цепях, содержащих резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности.

В действительности любой проводник обладает и сопротивлени­ем, и емкостью, и индуктивностью. Но на практике различие, на­пример, в индуктивности катушки и линейного проводника настоль­ко велико, что с хорошей точностью можно использовать модель це­пи с сосредоточенными параметрами, т. е. считать, что каждый эле­мент цепи обладает только одной из этих трех характеристик.

Именно такие цепи широко используются в электротехнике, ра­диотелевизионной технике и микроэлектронике.

Условия квазистационарности. Будем называть явления в элект­рической цепи квазистационарными, если во всех ее последователь­но соединенных участках силу тока в один и тот же момент времени можно считать одинаковой. В этом приближении пренебрегается ко­нечностью скорости распространения электромагнитного поля вдоль проводов, образующих цепь. Например, при замыкании ключа ток появляется сразу, т. е. одновременно, в любом поперечном сечении, даже удаленном от источника, несмотря на то, что электроны из ис­точника тока могут дойти до него спустя значительный промежуток времени.

Цепь с активным сопротивлением. Изучение квазистационарных явлений начнем с простейшего случая, когда изменяющееся со вре­менем напряжение прикладывается к концам цепи, содержащей только резисторы, т. е. обычные сопротивления R. Сила тока в цепи будет даваться таким же выражением, как при приложенном посто­янном напряжении:

Равенство (1) представляет собой закон Ома для цепи, содержа­щей только обычное сопротивление R, называемое активным. При приложении к его концам переменного напряжения U(t) ток в цепи изменяется по такому же закону, что и приложенное напряжение. Связывающий U(t) и 7(г) постоянный множитель R — это то же са­мое сопротивление, что и для постоянного тока. Например, когда при­ложенное напряжение зависит от времени по гармоническому (сину­соидальному) закону

U(t) = U_Q cos cor, (2)

сила тока в соответствии с (1) дается выражением

7(0=/₀ cos шг, /₀ = х- (3)

Ток в цепи изменяется в фазе с приложенным напряжением.

При прохождении тока, изменяющегося со временем, через ак­тивное сопротивление, происходит выделение теплоты в соответст­вии с законом Джоуля—Ленца. Это означает, что в резисторе про­исходит необратимое превращение (диссипация) электрической энергии во внутреннюю энергию.

В цепях, содержащих конденсаторы и катушки индуктивности, дело обстоит сложнее. В общем случае изменяющаяся со временем

сила тока не повторяет временной зависимости приложенного на­пряжения. Изучение этого вопроса начнем с частного случая, когда синусоидальное напряжение (2) прикладывается к цепи, содержа­щей только емкость С или только индуктивность L.

Емкостное сопротивление. В цепи, содержащей только емкость С, силу тока проще всего найти, воспользовавшись тем, что в квази­стационарном случае она определяется скоростью изменения заряда конденсатора: I = dqldt. Так как q=CU, а емкость конденсатора постоянна, то для силы тока получаем

/(/) = — СшУ₀ sin ш/ = CwU_Q cos ^ш/ + .

(4)

Таким образом, ток в цепи имеет синусоидальный характер и опе­режает по фазе приложенное напряжение на тс/2:

/(О

/₀ COS

(5)

Связи между амплитудными значениями подаваемого напряже­ния U₀ и тока в цепи /₀ можно, как видно из (4), придать вид за­кона Ома, если ввести понятие зависящего от частоты ш емкостно­го сопротивления R_c:

и_п _ 1

соС

Полученный результат можно наглядно проиллюстрировать с по­мощью графиков зависимости напряжения и тока от времени (рис. 128). В те моменты времени, когда подаваемое напряжение достигает экстремальных значений, заряд на конденсаторе не меняется и, следова­тельно, ток в цепи обращается в нуль. В точках, где напряжение обращается в нуль, его значение меняется наиболее бы­стро и, следовательно, ток достигает экс­тремальных значений.

Итак, физическая причина сдвига по фазе очевидна, величина сдвига равна тс/2, а направление сдвига (опережение или отставание по фазе) легко установить, рассматривая, например, первую четверть

периода изменения напряжения: оно убывает, т. е. конденсатор раз­ряжается, несмотря на то, что ток увеличивается по абсолютной ве­личине. Это возможно, только^- если напряжение и ток имеют про­тивоположные знаки, т. е. график тока действительно имеет вид, изображенный на рис. 128.

При прохождении электрического тока через конденсатор не происходит диссипации электрической энергии: при зарядке конден­

сатора в нем накапливается энергия, а при разрядке эта энергия возвращается в электрическую цепь.

dt'

Индуктивное сопротивление. Случай, когда синусоидальное на­пряжение подается на индуктивность L, проще всего проанализиро­вать, сравнивая выражения

dl (6)

_rdv_ ^с dt'

Первая формула представляет собой выражение для тока в только что рассмотренной цепи, содержащей емкость С. Второе со­отношение отражает тот факт, что поданное на индуктивность L синусоидальное напряжение U в каждый момент времени компен­сирует возникающую в катушке электродвижущую силу самоин­дукции % = —Ldlldt. Анализ первого из соотношений (6) привел к формуле (4). Следовательно, формула такого же типа будет по­лучена при анализе второго из соотношений (6). Она получается из (4) заменой /—»£/, C—*L:

U(t) =Lcc/₀cos [ш +j .

(7)

Из первого соотношения (6) следует, что ток / опережает напря­жение U на л/2; аналогично, из второго следует, что в такой цепи напряжение опережает ток на тс/2. Задаваемой величиной является

подаваемое напряжение U(t) = U₀ cos iot, поэтому для тока / из (7) получаем

l(t) = /₀ COS

R,

(8)

Как и раньше, связи между амплитуд­ными значениями тока и напряжения можно придать вид закона Ома, если, вос­пользовавшись (7), ввести индуктивное сопротивление R_L:

л> = -

Полученный результат также можно проиллюстрировать с помощью графиков (рис. 129). На верхнем графике показана зависимость тока от времени. На втором графике изображена ЭДС самоиндукции. Положение экстремумов и сдвиг этого графика относительно графика тока легко определить с помощью закона электромагнитной индукции и закона Ленца: if = -Ldlldt.

Действительно, ЭДС самоиндукции обращается в нуль в точках экстремума тока и достигает экстремальных значений в тс момен­ты, когда ток меняется наиболее быстро. В каждый момент поляр­ность ЭДС самоиндукции должна быть такой, чтобы препятствовать изменению тока, — этим сразу устанавливается направление сдвига по фазе между током и ЭДС самоиндукции. И наконец, приложен­ное напряжение изменяется в противофазе с ЭДС самоиндукции (нижний график на рис. 129).

При прохождении электрического тока через катушку индуктив­ности не происходит диссипации энергии: при нарастании тока в ка­тушке накапливается энергия магнитного поля, а при убывании то­ка эта энергия возвращается в электрическую цепь.

Фазовые сдвиги. Рассмотрение этих простейших цепей показыва­ет, что, за исключением случая активного сопротивления R, невозможно написать закон Ома для цепей переменного тока, опреде­ляющий мгновенное значение тока /(/) в виде отношения приложен­ного напряжения к сопротивлению соответствующего участка, вслед­ствие того, что между током и напряжением существует сдвиг по фазе. Сдвиг по фазе между приложенным синусоидальным напряжением и силой тока характерен для цепей, содержащих емкостное или индук­тивное сопротивление. Для них используется общее название — реак­тивное сопротивление. Как мы видели, закон Ома справедлив только для амплитудных значений тока и напряжения.

Подчеркнем, что введенные выше понятия емкостного и индук­тивного сопротивлений имеют смысл только для синусоидального приложенного напряжения. Сами их определения содержат цикли­ческую частоту и> этого напряжения. Ясно, что эти понятия не­применимы в случаях, когда конденсатор или катушка индуктив­ности подключаются к источнику постоянного напряжения или на­пряжения, изменяющегося со временем по какому-либо иному (несинусоидальному) закону.

• В каких случаях явления в электрических цепях называются квазиста­ционарными?

• Как связаны между собой сила тока и изменяющееся приложенное на-пряжениие в цепи, содержащей только обычное (активное) сопротивле­ние Я?

• Как связаны между собой сила тока и приложенное напряжение в цепи, содержащей только емкость С или только индуктивность LP. Можно ли этой связи придать вид закона Ома? Применимы ли соответствующие соотношения при несинусоидальном приложенном напряжении?

• Объясните физическую причину возникновения сдвига по фазе между приложенным синусоидальным напряжением и силой тока в цепях, со­держащих емкость и индуктивность.

• Что такое реактивное сопротивление? В каких случаях имеют смысл по­нятия индуктивного и емкостного сопротивлений?

л Процесс зарядки конденсатора. Рассмотрим процесс заряд­ки конденсатора при подключении его к источнику постоянного напряжения U₀ (рис. 130). При замыкании ключа К в цепи скач-

ком возникает ток и конденсатор начинает заряжаться. По мере увеличения напряжения на конденсаторе сила тока в цепи убы­вает. Процесс зарядки конденсатора будет происходить до тех пор, пока напряжение на конденсаторе не станет равным напря­жению источника U₀. После накопления на пластинах конденса­тора необходимого для этого заряда q₀ = CU₀ ток в цепи прекра­тится, т. е. переходные процессы закончатся.

Обозначим заряд верхней на рис. 130 пластины конденсато­ра через а. Скорость изменения этого заряда dq/dt определяет силу тока / в цепи:

Знак в правой части формулы (9) соответствует такому выбо­ру направления тока, которое указано на рис. 131: положитель­ное значение силы тока в (9) соответствует возрастанию заряда верхней пластины конденсатора, т. е. положительному значению производной dq/dt.

В рассматриваемой последовательной цепи сумма напряжений на активном сопротивлении U_R и конденсаторе U_c равна прило­женному напряжению U₀. Так как напряжение на сопротивлении U_R равно произведению силы тока / на сопротивление R, то

IR + U_C=U₀. (10)

Подставляя сюда значение силы тока / из (9) и учитывая, что напряжение U_c на конденсаторе в квазистационарных условиях в любой момент равно q/C, получаем

dq ,q (П)

Это дифференциальное уравнение для функции q(t) опреде­ляет зависимость заряда конденсатора от времени, если добавить

(12)

к нему начальное условие q — О при t = 0, выражающее отсутст­вие заряда в начальный момент. Уравнение (11) удобно перепи­сать в несколько ином виде, учитывая, что приложенное напря­жение U₀ равно отношению окончательного заряда конденсатора q₀ к его емкости С: U₀ = q₀/C. Тогда вместо (11) получим

dg _ до—д

dt RC

Это уравнение легко привести к хорошо известному виду, если вместо заряда пластины q ввести другую неизвестную ве­личину Q, характеризующую, насколько заряд пластины q в данный момент отличается от окончательного заряда q₀:

Q = Qo~Q- (13)

Дифференциальное уравнение процесса. Из определения (13) следует, что dqldt = —dQJdt. Поэтому уравнение (12) после за­мены (13) принимает вид

Ш=_0_ (14)

dt RC' ^V '

Экспоненциальная зависимость q(t). Уравнение (14) означает, что скорость изменения недостающего заряда Q пропорциональ­на самому Q. Решением такого уравнения является экспоненци­альная функция

Q(t)=Aexp(-t/RC). (15)

Постоянная А определяется с помощью начальных условий. В начальный момент конденсатор не заряжен (о(0) = 0). Поэтому недостающий заряд Q при t = 0 равен q₀. Таким образом, посто­янная А в (15) равна окончательному заряду конденсатора q₀.

График зависимости Q(t) показан штриховой линией на рис. 132. Из формулы (15) видно, что произведение RC равно промежутку времени т, в течение которого значение Q(t) умень­шается в е раз:

<2(t) = Qo/e, x = RC. (16)

Зависимость заряда конденсатора q(t) от времени для рас­сматриваемого процесса получается из формулы (13) после под­становки в нее выражения для Q(t) из (15)

<7(0=<7о[1-ехр(-*/т.)]. (17)

График q(t), показанный на рис. 132, можно построить как раз­ность между постоянным значением окончательного заряда q₀ и графиком зависимости Q(t).

Найденная зависимость заряда конденсатора от времени (17) позволяет найти силу тока в цепи при зарядке конденсатора в

любой момент времени. Дифференцируя (17) по времени, на­ходим в соответствии с (9)

7(0 = ^ exp {-tlx) = ^ exp (-tlx).

(18)

При зарядке конденсатора сила тока при замыкании ключа в начальный момент скачком возрастает от нуля до значения, равного Uq/R, и в дальнейшем экспоненциально убывает со време­нем. Ее график имеет такой же вид, как и график Q(t) на рис. 132.

. Q - <?₀ехр (-tlx)

'If

Рис. 133. При разрядке конденсато­ра значение силы тока / связано с зарядом верхней пластины соотно­шением / = —dqldt

Процесс разрядки конденсатора. Совершенно аналогично мож- но рассмотреть процессы при разрядке конденсатора через актив- ное сопротивление. Пусть в начальный момент времени конденса- тор емкости С заряжен до напряжения U. При замыкании ключа в цепи возникает ток, который убывает по мере разрядки конденса- тора (рис. 133). Протекание тока в цепи приводит к уменьшению заряда конденсатора. Поэтому если под о по-прежнему понимать заряд верхней пластины конденсатора, то силе тока / соответству- ет выражение ,

Q

rc

Ё1 dt

В любой момент времени напряжение на конденсаторе U_c = а/С равно напряжению на сопротивлении U_R = IR. Поэтому с помощью (19) имеем

tin п

(20)

Соответствующее нашим начальным условиям (о = о₀ при t = 0) решение этого уравнения имеет вид

q(t) = о₀ exp (-tlx), x = RC. (21)

Такой же экспоненциальный характер имеет и зависимость от времени силы тока в цепи при разрядке конденсатора:

Как видно из полученных соотношений (17) и (21) (или (18) и (22)), и процесс зарядки конденсатора, и процесс разрядки, строго говоря, продолжаются бесконечно долго. Поэтому для ха­рактеристики длительности таких процессов вводят время г, в течение которого сила тока / изменяется в е = 2,72 раза. Для электрической цепи, содержащей конденсатор и сопротивление, таким параметром является величина

г = RC. (23)

В любой реальной системе переходный процесс продолжается в течение конечного промежутка времени, так как говорить о та­ком процессе имеет смысл только до тех пор, пока рассматрива­емая величина не уменьшится до значения, соответствующего уровню тепловых флуктуации в системе.

Использованное при рассмотрении процессов зарядки и разряд­ки конденсатора условие квазистационарности связано с возмож­ностью пренебречь временем распространения электромагнитного поля вдоль цепи по сравнению с т. Если дли­ну цепи обозначить через то условие ква­зистационарности принимает вид

l/c«x = RC. (24) Uo

Ток в цепи с индуктивностью. Аналогично можно рассмотреть процесс установления то- _{Рис 134 к расчету} ка в цепи, содержащей резистор R и катуш- _{силы тока в} цепи при

Ку ИНДУКТИВНОСТИ L (рис. 134). При замыка- замыкании ключа К

нии ключа К в цепи возникает ток, быстрому нарастанию которого препятствует ЭДС самоиндукции, возника­ющая в катушке индуктивности. Ток нарастает до тех пор, пока не достигнет постоянного значения 7₀ = UqJR.

(25)

Выражение для силы тока 7(0 в каждый момент можно за­писать, используя закон Ома для неоднородного участка цепи:

U₀ + v

R

Поскольку ЭДС самоиндукции W выражается соотношением Ч = —dl/dt, то равенство (25) можно записать в виде

L±L + RI=U₀. (26)

Равенство (26) можно было написать и сразу, учитывая, что напряжение U₀ на концах последовательной цепи равно сумме напряжений на отдельных ее элементах, а напряжение на ин­дуктивности в каждый момент времени компенсирует возника­ющую в катушке ЭДС самоиндукции.

Соотношение (26) представляет собой дифференциальное уравнение для силы тока I(t). Оно совершенно аналогично урав­

нению (11) для заряда q(t), поэтому и решать его можно таким же способом. Представим U₀ как I₀R и перепишем (26) в виде

(27)

Это уравнение аналогично (12). Учитывая начальное условие / = 0 при t = 0, можно записать решение уравнения (27) в виде, подобном (17):

/ = /„

1 — ехр ( — у t

1 - exp f - *-

(28)

где характерное время т установления тока в цепи, содержащей сопротивление и индуктивность, дается соотношением

⁽²⁹>

(30)

Для процессов в цепях с индуктивностью характерны те же моменты, которые отмечались выше для цепей с емкостью. В частности, условие квазистационарности в цепи длиной / имеет вид

R'

l .

1/с <к т =

Найдите время, по прошествии которого на пластинах разряжающегося конденсатора останется только одна тысячная часть первоначального за­ряда, если х = RC = 1 с.

При выполнении какого условия процесс зарядки (или разрядки) кон­денсатора можно считать квазистационарным?

Почему реальный процесс зарядки конденсатора имеет конечную дли­тельность, хотя определенная выражением (18) сила зарядного тока об­ращается в нуль только при t-* оо?

Какую роль играют начальные условия при решении дифференциаль­ных уравнений, описывающих квазистационарные процессы в цепях, содержащих конденсаторы или индуктивности?

Из чего следует исходить при формулировке начальных условий к диф­ференциальным уравнениям, т.е. при задании значений изменяющихся со временем величин при t = 0 в конкретных электрических цепях?