§ 20. Основы теории электромагнитного поля

Изучая электромагнитную индукцию, мы видели, что при рассмотре­нии этого явления в определенной инерциальной системе отсчета воз­можны две различные причины возникновения индукционного тока. В лабораторной системе отсчета причина ЭДС — это либо появление вихревого электрического поля, либо действие силы Лоренца на дви­жущиеся вместе с проводником электрические заряды со стороны магнитного поля. Однако при анализе возникновения ЭДС индукции за счет силы Лоренца в опыте с металлической рамкой, движущейся в магнитном поле (см. рис. 113), мы можем рассуждать и иначе.

Относительный характер электрического и магнитного полей.

Перейдем в систему отсчета, связанную с движущейся рамкой. В ней заряды неподвижны и, следовательно, со стороны магнитного

поля сила на них не действует. Строго говоря, при наличии тока за­ряды движутся вдоль проводника со скоростью дрейфа и (см. рис. 114), и в магнитном поле на них действует сила Лоренца. Од­нако она направлена поперек проводника и не может объяснить воз­никновение ЭДС.

Как же объяснить возникновение ЭДС индукции в этой системе отсчета? Единственное, что остается предположить, это наличие в этой системе электрического поля, направленного перпендикулярно магнитному вдоль стороны ab рамки, которого не было в исходной системе отсчета. Действительно, в любой инерциальной системе от­счета в единицах СИ действующая на заряд сила определяется фор­мулой (5) § 17:

F=q (E + vxB). (1)

Поскольку в системе отсчета, связанной с рамкой, v = 0, сила F мо­жет быть обусловлена только электрическим полем Е', существую­щим в этой системе.

Электрическое и магнитное поля в разных системах отсчета. Итак, мы приходим к выводу об относительном характере электри­ческого и магнитного полей. Согласно принципу относительности все инерциальные системы отсчета равноправны. Это справедливо не только для механических явлений, но и для явлений любой при-

а б

Рис. 125. К объяснению возникновения ЭДС индукции в разных системах отсчета

роды, в том числе электромагнитных. В обсуждаемом здесь опыте наблюдаемой величиной является ЭДС индукции в рамке, и она су­ществует независимо от того, в какой инерциальной системе этот опыт рассматривается.

Как мы видели, в одной системе отсчета, где электрическое по­ле отсутствует, существование ЭДС объясняется силой Лоренца (рис. 125а), в то время как в другой, где рамка неподвижна, — только наличием электрического поля (рис. 1256). При малых ско­ростях (г>«с), когда можно пренебречь изменением силы F при пе­реходе от одной системы отсчета к другой, из формулы (1) следует, что напряженность электрического поля Е' в системе, где рамка не­подвижна, должна быть равна

E'=vxB. (2)

Итак, движущийся магнит кроме магнитного создает и электри­ческое поле.

Обратим внимание на то, что относительный характер электри­ческого и магнитного полей мы могли заметить и раньше. В самом деле, неподвижный заряд создает только электрическое поле. Одна­ко заряд, неподвижный в какой-либо одной системе отсчета, отно­сительно других систем отсчета движется. Такой движущийся заряд подобен электрическому току и потому создает магнитное поле. Та­ким образом, если в какой-либо системе отсчета есть только элект­рическое поле, то в любой другой системе будет еще и магнитное.

Получим формулу для индукции магнитного поля в этом случае, аналогичную формуле (2). Рассмотрим систему отсчета, движущу­юся со скоростью v относительно заряда q. В этой системе отсчета заряд движется со скоростью —v. Создаваемое им магнитное поле, в соответствии с формулой (16) § 15, дается выражением

^{в =} ~^^- (3)

Но в этой же точке заряд q создает электрическое поле Е, равное

г

4ЛЕп г³'

Е = ^г-- (4)

Сравнивая формулы (3) и (4), видим, что магнитное поле, со­здаваемое движущимся со скоростью —V зарядом, связано с элект­рическим полем Е, создаваемым этим же зарядом в той системе от­счета, где он неподвижен, соотношением

B' = -_WovxE. (5)

Эта формула, полученная для точечного заряда, справедлива и для поля, создаваемого любым распределением зарядов.

Таким образом, если в некоторой системе отсчета существует только электрическое поле Е, то в другой системе отсчета, движу­щейся со скоростью v относительно исходной, существует еще и магнитное поле В, которое вычисляется по формуле (5).

Инварианты электромагнитного поля. Формулы (2) и (5) пред­ставляют собой частные случаи преобразования полей при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Они справедливы при малой относительной скорости систем отсчета (v«c). В общем случае, когда в исходной системе отсчета есть и электрическое, и магнитное поле, нерелятивистские формулы преобразования в СИ имеют вид

E' = E + vxB, В' = В-е₀ц₀ухЕ. (6)

В дальнейшем мы увидим, что е₀ц₀ = 1/с², где с — скорость света в вакууме.

Формулы преобразования электрического и магнитного полей при относительной скорости систем отсчета, сравнимой со скоростью света, более громоздки, чем (6). Однако всегда при переходе от од­ной инерциальной системы отсчета к другой существуют инвариан­тные, т. е. не меняющие своего значения, комбинации из векторов Е и В. Независимых комбинаций только две — это скалярное про­изведение этих векторов и их разность квадратов:

Е В = Е' В',

Е² - с²В² = Е'² - с²В'².

(7) (8)

Формулы (7) и (8) позволяют сделать ряд важных выводов о свой­ствах электромагнитного поля. Если в какой-либо инерциальной си­стеме отсчета электрическое и магнитное поля взаимно перпендику­лярны, то, как видно из (7), они будут взаимно перпендикулярны и во всякой другой системе. Для таких взаимно ортогональных полей можно найти такую систему отсчета, в которой либо В = 0, либо Е = 0, смотря по тому, положителен или отрицателен инвариант (8).

Из относительного характера электрического и магнитного полей естественно вытекает, что при изучении электрических и магнитных явлений имеет смысл рассматривать эти поля совместно, как единое электромагнитное поле. При переходе от одной системы отсчета к другой электрическое поле в одной системе, как мы видели, выража­ется и через электрическое поле, и через магнитное поле в другой си­стеме, и наоборот. Поэтому естественно ожидать, что между электри­ческими и магнитными явлениями существует определенная симмет­рия. Изменение магнитного поля порождает вихревое электрическое поле. Оказывается, что справедливо и обратное: изменяющееся во времени электрическое поле порождает магнитное поле.

Изменяющееся электрическое поле как источник магнитного поля. К этому выводу можно прийти, анализируя уже известные нам экспериментальные факты и описывающие их физические законы. Рассмотрим участок электрической цепи, содержащий длинный прямолинейный провод и плоский конденсатор (рис. 126а). Будем считать, что в течение некоторого достаточ­но малого промежутка времени ток в этой цепи равен /. Этот ток связан с изменением заряда конденсатора соотношением / = dq/dt.

Рассмотрим круговой контур I, охватывающий проводник, как показано на рис. 126а. Ток / создает магнитное поле, поэтому по теореме о циркуляции вектора индукции магнитного поля имеем

^B_tAl = ц₀/.

(9)

В правой части (9) стоит заряд, пересекающий ограниченную кон­туром I поверхность S в единицу времени. Будем теперь растягивать поверхность, ограниченную контуром I, так, чтобы она, не пересекая

t'

Рис. 126. Циркуляция вектора магнитной индукции не зависит от того, пересекает ли стягиваемая им поверхность провод с током (а) или проходит между обкладками кон­денсатора (б)

провода с током, прошла в про­межутке между пластинами конденсатора (5' на рис. 1266). В этом случае никакие заряды не пересекают ограниченную контуром вытянутую поверх­ность, и в этом смысле ток I в (9) равен нулю. Но магнитное поле вокруг провода, в том мес­те, где расположен контур, ис­чезнуть не может, и левая часть (9) не изменяет своего значения при деформации поверхности. Мы приходим к противоречию: левая часть (9) отлична от нуля, а правая равна нулю. Значит, в формуле (9) чего-то не хватает. Естественно ожидать, что на самом деле в правой части этой формулы должен стоять еще один член, который равен нулю, если стягиваемая контуром поверхность пересекает провод.

Как угадать вид этого члена? Так как левая часть формулы (9) при деформации поверхности не изменилась, то попробуем подста­вить в правую часть (9) вместо I равную ему скорость изменения заряда dqldt на обкладках конденсатора и попытаемся интерпрети­ровать эту величину так, чтобы она имела смысл и в той области, где отсутствуют движущиеся заряды. Поскольку заряд конденсатора q равен произведению поверхностной плотности заряда о на пло­щадь пластины S, то при неизменных размерах и форме конденса­тора dqldt = S da/ dt. Выражая поверхностную плотность заряда че­рез напряженность электрического поля между пластинами Е = ст/е₀, перепишем (9) в виде

2£,.A/=e_#0S^f. (10)

В отличие от тока I, величина dE/dt не равна нулю в промежут­ке между обкладками конденсатора. Поскольку произведение ES представляет собой поток напряженности электрического поля Е че­рез поверхность S, ограниченную контуром, то в правой части (10) стоит величина, пропорциональная скорости изменения потока N напряженности электрического поля:

D А 7 ^dN

B_t А/ = е₀ц_{0 ж}.

(П)

dN

Обобщение теоремы о циркуляции магнитного поля. Если теперь вместо (9) и (11) написать формулу

(12)

2 Bf Д/ = ц₀/ + е₀Ио -й"»

то она будет справедлива всегда, независимо от того, где проходит поверхность, ограниченная контуром /. Если поверхность пересекает провод, то второй член в правой части (12) практически равен нулю и мы возвращаемся к теореме о циркуля­ции магнитного поля (9). Если же по­верхность проходит внутри конденсатора, то / = 0, первый член в правой части вклада не дает, но, как мы видели, поло­жение спасает второе слагаемое.

Возникает вопрос: является ли добав­ленное второе слагаемое в правой части (12) чисто формальным, необходимым только для того, чтобы формула была справедлива при любой поверхности, ог­раниченной данным контуром, или оно имеет физический смысл и соответствует тому, что магнитное поле возбуждается изменяющимся электрическим полем? Ответ на этот вопрос можно получить, ес­ли рассмотреть несколько видоизменен­ный опыт (рис. 127), где контур / распо­ложен целиком внутри большого конденсатора, расстояние между пластинами которого велико по сравнению с размерами контура. Опыт показывает, что внутри конденсатора есть магнитное поле; однако очевидно, что это поле не может создаваться далеко распо­ложенными проводами с током I. Значит, в этом случае магнитное поле возникает из-за изменения электрического поля. Циркуляция индукции этого магнитного поля по контуру определяется скоро­стью изменения потока напряженности электрического поля через поверхность, ограниченную этим контуром.

Ток смещения. Величина e₀dN/dt получила название тока смеще­ния, так как она, подобно току проводимости /, является источни­ком магнитного поля. Термин «смещение» обусловлен исторически­ми причинами и связан с утратившей значение механической мо­делью электрического поля. Следует отметить, что ток смещения эквивалентен току проводимости только в отношении способности создавать магнитное поле. Например, при наличии тока смещения не выделяется джоулева теплота.

Ток смещения был впервые предсказан Максвеллом на основе теоретического анализа известных к тому времени эксперименталь­но установленных законов электромагнетизма. Максвелл показал, что единая непротиворечивая картина электромагнитных явлений, согласующаяся с законом сохранения электрического заряда, может быть создана, только если предположить, что изменяющееся элект­рическое поле способно создавать магнитное поле. Из написанной им системы уравнений электромагнитного поля следуют как все экспериментальные законы электромагнетизма, так и существова­ние тока смещения.

Уравнения Максвелла. Система уравнений Максвелла содержит четыре основных закона электромагнетизма. Первый закон — тео­рема Гаусса, связывающая поток напряженности электрического по­ля через замкнутую поверхность с полным зарядом внутри этой по­верхности. В случае неподвижных зарядов теорема Гаусса дает иную математическую формулировку экспериментальному закону Кулона. Устанавливаемая теоремой Гаусса связь между потоком на­пряженности электрического поля через замкнутую поверхность и полным зарядом внутри поверхности справедлива при движении как зарядов, так и поверхности в целом или отдельных ее участков (т. е. при деформации поверхности).

Второй закон — теорема Гаусса для магнитного поля, согласно которой поток вектора магнитной индукции через любую замкну­тую поверхность равен нулю. Эта теорема отражает вихревой ха­рактер магнитного поля и отсутствие в природе магнитных зарядов.

Третий закон — закон электромагнитной индукции Фарадея, согласно которому изменяющееся магнитное поле порождает вихре­вое электрическое поле.

Четвертый закон является обобщением закона Био—Савара— Лапласа. Магнитное поле может создаваться как движущимися электрическими зарядами, т. е. токами проводимости, так и изменя­ющимся электрическим полем,^- т. е. токами смещения.

Анализируя систему уравнений электромагнитного поля, Макс­велл пришел к выводу, что эти уравнения допускают существование связанных между собой электрического и магнитного полей, распро­страняющихся в пространстве со скоростью света, — электро­магнитных волн, которые позднее были экспериментально обнару­жены Герцем.

Гауссова система единиц. При теоретическом описании электро­магнитного поля наиболее простой и естественной является так на­зываемая гауссова система единиц, которая для электрических ве­личин совпадает с абсолютной электростатической системой СГСЭ. Единицы магнитных величин вводятся в гауссовой системе следую­щим образом.

Будем исходить из выражения для магнитной индукции поля, со­здаваемого бесконечным прямолинейным током:

В=кУ-. (13)

Обнаружить магнитное поле можно по его действию на другой проводник с током. Если этот проводник расположить параллельно проводнику, создающему магнитное поле, то действующая на него сила согласно закону Ампера будет пропорциональна индукции маг­нитного поля В, силе тока в нем /' и его длине /:

F=k'I'Bl. (14)

Напомним, что в единицах СИ коэффициент к' в формуле (14) равен единице в соответствии с определением индукции магнитно­го поля В через момент сил, действующих на рамку с током. В формуле (13) или в законе Био—Савара—Лапласа, из которого она следует, коэффициент к записывается в виде ц₀/4тс, а его зна­чение (или значение магнитной постоянной |х₀) получается из определения ампера через силу взаимодействия двух параллельных токов.

В гауссовой системе единиц коэффициенты кик' вводятся иначе.

Коэффициент к в формуле (13) может быть выбран произволь­но, так как единица индукции поля В еще не установлена. Но по­сле того, как этот коэффициент к в (13) выбран (тем самым вы­брана и единица индукции В), коэффициент к' в формуле (14) уже не может выбираться произвольно, а должен определяться из эксперимента. Разумеется, можно поступить и наоборот: использо­вать уравнение (14) для введения единицы индукции поля, пола­гая к'= I; тогда коэффициент к в (13) будет определяться на опыте. В системе Гаусса поступают следующим образом. Выбирают коэффициент к в формуле (13) так, чтобы он равнялся коэффи­циенту к' в формуле (14).

Электродинамическая постоянная. Если подставить в формулу (14) индукцию В из (13), то для силы взаимодействия двух парал­лельных проводников с токами / и /', находящихся на расстоянии г друг от друга, получим следующее выражение:

_F=kk'~-. (15)

В гауссовой системе кк' = к². Поскольку для всех величин, вхо­дящих в эту формулу, единицы уже выбраны, коэффициент к², как легко убедиться, имеет размерность L~²T², т. е. обратную размерно­сти квадрата скорости. Этот коэффициент должен определяться экс­периментально по измерению силы взаимодействия двух параллель­ных проводников, находящихся на известном расстоянии, когда по ним протекают известные токи. Опыт показал, что числовое значе­ние к² равно 1/с², где с — так называемая электродинамическая по­стоянная, равная скорости света в вакууме:

с « 2,9979246-10¹⁰ см/с.

В гауссовой системе единиц закон Био—Савара—Лапласа и закон Ампера записываются в виде

а г) 1 / Д/ sin а „ 1 _т, „, ,_л

АВ = ^ ^ , F = ^IBl. (16)

Ha основании последней формулы и устанавливается единица ин­дукции магнитного поля — гаусс. Один гаусс — это индукция такого поля, которое действует на 1 см проводника с током в одну СГСЭ-единицу с силой, численно равной XIс дин, если проводник располо­жен перпендикулярно линиям индукции магнитного поля.

Подчеркнем, что числовое значение магнитной постоянной ц₀ получается как прямое следствие определения ампера, а не устанав­ливается на опыте, в отличие от коэффициента 1/с² в гауссовой си­стеме. Так получается потому, что в системе СИ число основных единиц больше, чем в гауссовой и единица силы тока является ос­новной (выбранной произвольно), в то время как в гауссовой систе­ме эта единица является производной.

Основные формулы в гауссовой системе. Из второй формулы (16), выражающей закон Ампера, следует, что в гауссовой системе единиц выражение для силы Лоренца принимает вид:

F = e (E+^vxB).

Отсюда (как и из первой формулы (16)) следует, что в гауссовой системе размерности напряженности электрического поля и индук­ции магнитного поля одинаковы. Это совпадение размерностей не случайно: как мы видели, при переходе из одной системы отсчета в другую происходит частичное взаимное превращение электри­ческого и магнитного полей. Это свойство электромагнитного поля наиболее естественным образом выражается именно в гауссовой си­стеме единиц, где превращающиеся друг в друга физические вели­чины Е и В измеряются в единицах одинаковой размерности (хотя эти единицы и называются по-разному: единица напряженности электрического поля не имеет специального названия, а единица индукции магнитного поля называется гаусс).

Отмеченное свойство проявляется в формулах преобразования полей при переходе из одной инерциальной системы отсчета в дру­гую. Вместо (6) в гауссовой системе имеем

E' = E + -vxB, B' = B--vxE. (18)

В этих формулах явно выступает одинаковая размерность слагае­мых в правых частях.

В гауссовой системе единиц более симметричный вид принимают и выражения для инвариантов электромагнитного поля:

ЕВ = Е'В', (19)

Е²-В² = Е'² - В¹². (20)

• Объясните кратко, почему при переходе из системы отсчета, где есть только электрическое поле, в другую систему, в последней будет еще и магнитное поле, и наоборот.

• Почему электрическое и магнитное поля, взаимно перпендикулярные в какой-либо системе отсчета, будут взаимно перпендикулярными и в лю­бой другой системе отсчета?

• Как объяснить, что магнитное поле создается не только движущимися зарядами, но и изменяющимся со временем электрическим полем?

• В чем сходство и в чем различие между током проводимости и током смещения?

• Два электрона в вакууме отталкиваются, так как имеют одинаковые за­ряды. Когда они движутся параллельными курсами, между ними дейст­вует сила притяжения, как между параллельными токами. Существует ли такая скорость, при которой это притяжение превзойдет их кулонов-ское отталкивание?

• Какие экспериментальные законы электромагнитных явлений легли в основу системы уравнений Максвелла?

• Как вводятся коэффициенты в законах Ампера и Био—Савара—Лапла­са в гауссовой системе единиц?

• Как определяется единица индукции магнитного поля в гауссовой сис­теме единиц?

• Покажите, что в гауссовой системе единиц напряженность электри­ческого поля и индукция магнитного поля имеют одинаковую размер­ность.

• Объясните, почему значение электрической постоянной е₀ в гауссовой системе единиц устанавливается на опыте, а значение магнитной посто­янной ц.₀ в СИ просто вычисляется. На основе чего оно вычисляется?