§14. Работа и мощность постоянного тока

При прохождении тока, т. е. при упорядоченном движении носителей заряда в проводнике, действующее на них электрическое поле, опреде­ляемое приложенным к концам проводника напряжением, совершает работу. Эту работу обычно называют работой электрического тока.

Работа сил электрического поля при перемещении носителей за­ряда равна произведению переносимого заряда д на разность потен­циалов U между теми точками, где перемещается заряд:

A = gU. (1)

При постоянном токе д = It, где t — время, в течение которого пе­реносится заряд д. Поэтому работа постоянного тока / за время t на участке цепи, на концах которого поддерживается напряжение U, определяется соотношением

А = IUt. (2)

Мощность Р электрического тока, определяемая работой, соверша­емой за единицу времени, равна

Р = IU. (3)

Электрический ток, совершая работу, может раскалять нить элект­ролампы, вращать якорь электродвигателя, плавить металлы, вызы­вать химические превращения, заряжать аккумулятор и т. д. Во всех этих случаях работа тока определяет меру превращения элект­рической энергии в другие формы — внутреннюю энергию теплово­го движения, механическую энергию и т. д.

Работа электрического тока измеряется в тех же единицах, что и механическая работа. Это 1 эрг в системе СГСЭ и 1 Дж в СИ:

1 Дж = 1 А1 В1 с.

Мощность измеряется в ваттах: 1 Вт = 1 Дж/с = 1 А -1 В. Часто используются кратные единицы 1 кВт (киловатт) = 10³ Вт и 1 МВт (мегаватт) = 10⁶ Вт. Для работы тока часто используется внесистем­ная единица 1 кВт • ч (киловатт-час) — работа, совершаемая за 1 час при развиваемой мощности 1 кВт: 1 кВт-ч = 3,6 МДж.

Закон Джоуля-Ленца. Прохождение электрического тока через проводник, обладающий сопротивлением, всегда сопровождается вы­делением теплоты. Количество выделившейся за время t теплоты определяется законом Джоуля—Ленца:

Q = I²Rt. (4)

В случае однородного участка, когда / = U/R, формулы (2) и (4) совпадают, т. е. количество выделяющейся теплоты равно работе то­ка, и работу тока можно выразить любым из эквивалентных способов:

A = IUt = I²Rt = ^t. (5)

В однородном участке цепи, например в резисторе, работа тока сво­дится только к выделению теплоты.

В качестве примера рассмотрим какой-нибудь электронагреватель­ный прибор, отдающий выделяющуюся теплоту в окружающую среду. Скорость теплопередачи, т. е. количества теплоты, отдаваемой нагре­тым элементом в единицу времени, пропорциональна разности тем­ператур AT = Т — Т₀ между нагретым телом и окружающей средой:

P_Q = к AT.

Коэффициент к зависит от свойств тела (площади поверхности, раз­меров и формы). Будем считать его значение известным. Выделяю­щуюся джоулеву теплоту можно подсчитать по любой из формул (5). Поскольку обычно нагревательный прибор включается в сеть с задан­ным напряжением, то удобно воспользоваться выражением

Р = U²/R.

Сразу после включения выделяющаяся джоулева теплота превос­ходит отдаваемую окружающей среде, так как происходит нагревание самого прибора. В конце концов устанавливается такая его темпера­тура Г, при которой PhPq сравниваются наступает стационарное со­стояние, в котором разность температур AT прибора и окружающей среды уже не меняется.

Если сопротивление нагреваемого током элемента не зависит от температуры, то, приравнивая значения Р и P_Q, немедленно полу­чаем выражение для установившейся разности температур:

AT = uVkR.

Однако в действительности, как правило, сопротивление зависит от температуры. Для металлической проволоки эту зависимость можно считать линейной (см. § 10):

R(T) = R₀(l + aAT),

где с хорошей точностью под R₀ можно понимать сопротивление при температуре Т₀ окружающей среды. Если учитывать эту зависи­мость сопротивления от температуры, то, приравнивая Р и P_Q, при­ходим уже к квадратному уравнению для AT:

АТ² + - АТ--^-г = 0.

Имеющий физический смысл корень этого уравнения можно предста­вить в следующем виде:

В условиях, когда AT малб, т. е. превышение температуры нагрева­тельного элемента прибора над окружающей средой невелико, второй член в подкоренном выражении мал по сравнению с единицей и мож­но воспользоваться приближенной формулой Vl + х «1 + х/2. При этом получаем прежний результат AT = U²/kR₀.

В другом предельном случае больших AT (как, например, у лам­почки накаливания, температура нити которой составляет несколь­ко тысяч градусов), можно, наоборот, в подкоренном выражении пренебречь единицей по сравнению со вторым членом. При этом для AT приближенно получаем

AT = иЫакЯ₀

— разность температур теперь пропорциональна не квадрату, а первой степени приложенного напряжения.

В неоднородных участках цепи, где ток определяется формулой I=(U + %)/R, выделяющаяся теплота не равна работе тока. Это означает, что протекание тока в таком участке сопровождается не только выделением теплоты, но и другими процессами, связанными с превращением энергии.

Зарядка аккумулятора. В качестве примера энергетических пре­вращений в неоднородной цепи рассмотрим зарядку аккумулятора. Не вдаваясь в детали происходящих в аккумуляторе процессов, а

только учитывая, что при зарядке все химические процессы внутри него идут «вспять», легко сообразить, что ток идет в направлении, противопо- ложном току при разрядке, когда ак- кумулятор является источником пи- тания для внешней цепи. Поэтому аккумулятор включается в цепь так, Рис. 86. Схема включения акку- ^как показано на рис. 86, а ток в цепи мулятора на зарядку идет в направлении, указанном

стрелкой. Так как ЭДС аккумулятора (сумма скачков потенциала внутри него) понижает потенциал в це­пи в направлении протекания тока, то, в соответствии с законом Ома для неоднородного участка, ток в цепи равен

_{'-£f («}

В этой формуле г — внутреннее сопротивление аккумулятора, а сопротивление R включено в цепь для регулировки зарядного тока. Легко видеть, что ток будет положительным и, следовательно, пойдет в указанном направлении только при условии, что подаваемое напря­жение U больше электродвижущей силы аккумулятора Sf. Только при выполнении этого условия и можно зарядить аккумулятор.

Работа, совершаемая зарядной станцией (т. е. внешним источ­ником напряжения U) в единицу времени, т. е. работа тока на всем рассматриваемом участке, равна IU. На всех сопротивлениях, включая внутреннее сопротивление аккумулятора, в единицу вре­мени выделяется джоулева теплота, равная I²(R + r). Кроме за­рядки аккумулятора и выделения теплоты других энергетических превращений в рассматриваемой цепи не происходит. Поэтому на основании закона сохранения энергии можно утверждать, что

IU=l\R + r)+P^₉, (7)

где Р_зар — мощность, идущая непосредственно на зарядку аккумуля­тора. Подставляя в (7) выражение для силы тока (6), получаем

Таким образом, при зарядке аккумулятор в единицу времени за­пасает энергию, равную 1%. Разумеется, этого результата можно было ожидать из элементарных соображений: ведь процессы в акку­муляторе считаются обратимыми, а при разрядке аккумулятор раз­вивает мощность 1%.

Обратим внимание, что, считая известными выражения для пол­ной работы тока, для джоулевой теплоты и для работы зарядки акку­мулятора, можно с помощью закона сохранения энергии получить выражение (6) для тока в цепи. Для этого нужно просто подставить в (7) Р_зар = li$. Это значит, что закон Ома для неоднородного участка можно получить как следствие закона сохранения энергии.

Работа источника тока. Источник тока — это устройство, поддер­живающее разность потенциалов на концах подключенной к нему электрической цепи. Это происходит благодаря действию сторонних сил — сил неэлектростатической природы. Какие энергетические превращения при этом происходят?

Как мы видели, ЭДС % источника равна сумме напряжений во внешнем (U) и внутреннем (U¹) участках цепи:

U + U' = W. (9)

Домножим обе части этого равенства на заряд q=It, проходящий по цепи за время t. В левой части получившегося равенства будет стоять сумма работ электрического тока во внешнем и во внутрен­нем участках цепи. Справа будет стоять произведение q^S.

Электрический ток совершает работу за счет действия источни­ка, т. е. сторонних сил. По закону сохранения энергии работа тока в цепи равна работе, совершаемой за это же время источником то­ка, т. е. работе действующих в нем сторонних сил.

Определение ЭДС. Итак, работа источника тока при перемещении по цепи заряда q равна q¥>. Поэтому электродвижущей силе источ­ника можно дать и такое определение: электродвижущей силой на­зывается величина, равная отношению работы -А_стор сторонних сил

при перемещении по цепи заряда q к этому заряду:

/д.

'стор'

(Ю)

Поскольку работа источника тока равна %It, то развиваемая им мощность

Р = %1. (11)

Мощность и КПД источника тока. Выясним, каким должно быть сопротивление нагрузки R для того, чтобы получить максимальную силу тока в цепи, максимальную полезную мощность, максималь­ный коэффициент полезного действия.

Ток в цепи (рис. 87) определяется законом Ома: / = %/(R + г). Поэтому полная мощность Р, развиваемая источником тока, равна I<g = W²/(R + г). Полезная мощность Р_п, т.е. мощность, выделяю­щаяся на нагрузке R, дается соотношением

IU = I²R ■■

(12)

(13)

Коэффициент полезного действия т) источника в этой цепи, определяемый как отношение полезной мощности к полной, зави­сит от сопротивления нагрузки:

₌ р_п== r

^ р r+r'

Исследуем полученные выражения. Полная мощность Р и ток в це­пи / различаются постоянным множителем поэтому их зависимость от сопротивления нагрузки R одинакова (кривая I на рис. 88). Макси-

0,25-

мальным значение этих величин будет при R = 0, т. е. при коротком замыкании источника. Как видно из формул (12) и (13), при этом рав­ны нулю полезная мощность Р_п и коэффициент полезного действия т).

При R = г полная мощность и ток равны половине своего макси­мального значения, коэффициент полезного действия л равен 0,5, а полезная мощность достигает своего максимального значения, рав­

ного половине мощности Р при этой нагрузке. Для того чтобы убе­диться, что при равенстве сопротивления нагрузки и внутреннего сопротивления источника тока полезная мощность максимальна, преобразуем правую часть выражения (12) следующим образом:

Р„ = —^тг = ^—2Г- (14)

^п (R + r)²lR R + 2r+r²lR ^v '

Полезная мощность будет максимальной, когда знаменатель правой части выражения (14) минимален. Преобразуем знаменатель:

R-2r + ^ + 4r= (VR-^j + 4г. (15)

Функция (15) достигает минимума тогда, когда выражение в скобках равно нулю, т. е. при R = г. Этот результат можно, разуме­ется, получить, приравнивая нулю производную по R знаменателя правой части выражения (14).

При неограниченном увеличении сопротивления нагрузки (R —*■ оо ) как полная, так и полезная мощность стремится к нулю (кри­вая 2), а коэффициент полезного действия — к единице (кривая 3).

Из рис. 87 видно, что требования получения максимального тока в цепи, максимальной полезной мощности и максимального КПД противоречивы. Для получения возможно большего тока сопротив­ление нагрузки должно быть малым по сравнению с внутренним со­противлением источника, но при этом близки к нулю полезная мощность и КПД: почти вся совершаемая источником тока работа идет на выделение теплоты на внутреннем сопротивлении г. Чтобы получить от данного источника тока максимальную полезную мощ­ность, следует взять нагрузку с сопротивлением R, равным внутрен­нему сопротивлению источника. Значение максимальной полезной мощности (Р_п)_тлх = %²/(4г), но коэффициент полезного действия при этом равен всего лишь 0,5.

Любую полезную мощность P_v меньшую максимальной, можно получить, как свидетельствует ход кривой 2 на рис.88, при двух значениях R_x и R₂ сопротивления нагрузки. Практически для полу­чения заданной полезной мощности следует выбирать нагрузку с большим сопротивлением R₂, так как КПД при этом выше. Для по­лучения КПД, близкого к единице, следует брать нагрузку с сопро­тивлением, много большим внутреннего сопротивления источника тока, но при этом выделяющаяся мощность Р_п—*0.

• Работа каких сил имеется в виду, когда говорят о работе, совершаемой электрическим током?

• В каких случаях работа электрического тока А = IUt не равна выделяю­щейся в цепи джоулевой теплоте Q = ftRt?

• Для зарядки аккумулятора с ЭДС его включили в сеть с постоянным напряжением V Ш>Ю. Какая доля потребляемой от сети энергии за­пасается в аккумуляторе?

• Каким образом работа сторонних сил связана с ЭДС источника тока? Аргументируйте свой ответ.

• Какой должна быть нагрузка, чтобы источник тока развивал максималь­ную полезную мощность? Каким при этом будет его КПД?

• Почему условия получения максимальной полезной мощности и макси­мального КПД от данного источника тока противоречат друг другу?

• Покажите, что два значения сопротивления нагрузки Я_; и R₂, при кото­рых в нагрузке выделяется одинаковая джоулева теплота, связаны соот­ношением Л,Л₂ = г², где г — внутреннее сопротивление источника тока.

• Постройте графики зависимости мощности источника тока, полезной мощности и КПД от силы тока / в цепи.

д Поле сторонних сил. Работа, совершаемая электрическим током при прохождении заряда по всей цепи, равна работе дей­ствующих в источнике сторонних сил. Поэтому ЭДС можно вы­разить через эти силы.

Введем новую величину Е_стор, которую назовем напряженно­стью поля сторонних сил. Это сила, действующая на единич­ный положительный заряд, обусловлена любыми причинами, кроме электростатического поля. Тогда полная сила, действую­щая на заряд, будет складываться из электростатической силы и сторонней силы:

F = q(E + E_CTop). (16)

Рассмотрим замкнутую цепь и рассчитаем полную работу, со­вершаемую всеми действующими на заряд силами при его пере­мещении по всей цепи. Работа электростатических сил на замк­нутом контуре равна нулю, так как эти силы — потенциальные. Поэтому полная работа на замкнутом контуре равна работе толь­ко сторонних сил. Именно эта работа и определяет ЭДС источ­ника тока.

Обратим внимание на кажущееся противоречие. Работа то­ка — это по определению работа сил электрического поля. В то же время, как мы видели, работа тока во всей цепи равна работе источника, т. е. работе сторонних сил. Но как мы только что вы­яснили, работа электростатического поля равна нулю. Как все это согласовать?

Дело в том, что, говоря о работе электрического тока, мы имели в виду работу электрических сил не на всем замкнутом пути, а только на тех участках цепи, где заряды движутся под действием электрических сил. Мы не включали работу электри­ческих сил в местах скачков потенциала (где и действуют сто­ронние силы), т. е. в местах, где электрическое поле направлено противоположно движению положительных зарядов. Именно в этих местах внутри источника тока движение зарядов против сил электрического поля обусловлено действием сторонних сил. Если учесть работу электрических сил и в этих местах, то полная их работа действительно будет равна нулю.

Здесь можно привести следующую механическую аналогию. Лыжник спускается с горы и, сделав круг, возвращается к ее под­ножию, а затем с помощью подъемника снова поднимается на вершину. Аналогом потенциального электростатического поля здесь является поле силы тяжести. Роль сторонних сил играют силы, поднимающие его наверх в подъемнике. Очевидно, что полная работа силы тяжести на всем замкнутом пути равна ну­лю. Однако в данном случае она не представляет интереса. Важ­на лишь та работа сил тяжести, что совершается при движении лыжника от вершины горы до ее основания. Эта работа как раз и равна работе «сторонних» сил, действующих на лыжника в подъемнике.

Работа и теплота в произвольной цепи. В неоднородном участ­ке цепи, содержащем источник с ЭДС % и внутренним сопротив­лением г, когда I = (U + W)/(R + г), для работы тока А, работы источника А_ист и выделяющейся теплоты Q имеем

А_ясг = т,

Q = I\R + r)t = I(U + W)t = и

Выделяющаяся теплота равна сумме работы тока и работы источ­ника:

Подчеркнем, что эти формулы справедливы во всех случаях, независимо от того, идет ли ток через источник в «естественном» направлении, когда он отдает энергию во внешнюю цепь, или в противоположном, как это бывает при зарядке аккумулятора, когда он потребляет энергию (в этом случае / иУ имеют проти­воположные знаки и Д,_ст<0). При этом теплота Q = A + A_HCT окажется во всех случаях положительной. а

Как связаны между собой работа сторонних сил и работа сил электри­ческого поля при переносе заряда вдоль всей замкнутой цепи?

Поясните аналогию между работой электрических и сторонних сил и работой силы тяжести и «подъемной» силы при катании лыжника на горе с подъемником.

Л. Бутиков и др. Книга 2