1. Для каждого резистора справедлив закон Ома, т.Е. Напряже­ние на нем равно произведению силы тока в резисторе на его сопро­тивление.

2. В любом узле, т. Е. Точке, где сходятся более двух проводов, алгебраическая сумма токов равна нулю: сумма втекающих в узел токов равна сумме вытекающих.

3. Сумма напряжений на отдельных участках цепи при проходе по любому пути от входа к выходу равна полному приложенному напряжению.

Расчет мостовой схемы. Проиллюстрируем применение этих пра­вил для изображенной на рис. 64 схемы, рассмотрев для упрощения алгебраических выкладок частный случай, когда равны между собой

_1[Ь

Рис. 65. К расчету симметричной мосто­вой схемы

значения сопротивлений некоторых резисторов (рис.65). Прежде всего назначим направление токов в каждом звене на пути от входа к выходу. Из симметрии схемы следует, что силы токов в резисто­рах с одинаковыми значениями сопротивлений равны между собой, и на рис. 65 они обозначены одной буквой. Действительно, если по­менять местами вход и выход цепи, то получим схему, неотличи­мую от исходной.

Выпишем уравнения для сил токов в каждом из узлов в соответ­ствии со вторым из приведенных правил. Из-за симметрии схемы это дает два независимых уравнения:

/ = /, + /₂, /, = /₂ + /₃- (7)

Далее составим уравнения, соответствующие третьему правилу, для сумм напряжений на отдельных участках при проходе от входа к выходу по разным путям. Вследствие симметрии схемы получа­ются два независимых уравнения, соответствующих, например, пу­ти, пролегающему через R_x и R₂ по верхней (или по нижней) ветви, и пути через R_v R₃ и R_x:

/,*, + I₂R₂ = U, /,*, + /₃Я₃ + /,*, = U. (8)

Решая систему линейных уравнений (7) —(8), получаем форму­лу, выражающую ток / в цепи через приложенное к ее зажимам на­пряжение U и значения сопротивлений входящих в нее резисторов:

R, +R-,+ 2R,

I=U ----⁵— (9)

^и 2R_XR₂ + (R_X+R₂)R{ ^ху>

(Ю)

R =

Теперь для сопротивления R = U/I всей цепи, т. е. сопротивления эквивалентного ей резистора, получаем

2R_lR₂+(R_l+R₂)R₃

R_t+R₂ + 2R₃

Полезно убедиться в том, что формула (10) дает правильные значения полного сопротивления во всех предельных и частных слу­чаях:

^2Л1^Л2

Л| = -/?2> Л = Л|, R^ = 0, R =

^Rl+^R2

Л,-» оо, R="¹ ₂"¹, R^-юо R = 2R₂+ R₃.

Измерения в электрических цепях. Для измерения токов и напря­жений в электрических цепях используются амперметры и вольт­метры, основным элементом которых служит гальванометр. Важно, чтобы при включении в цепь для измерений эти у—^^Г~~^\

приборы вносили как мож- f \ (g) 1 \

но меньше искажения в из- | ^' "

меряемую величину. \

Амперметр включается ⁰ ^

в цепь последовательно. ~"

Поэтому его собственное Рис. 66. Схематическое устройство амперметра (внутреннее) сопротивле­ние должно быть как можно меньше. Для этого гальванометр снаб­жают шунтом: вход и выход гальванометра соединяются некоторым сопротивлением, обеспечивающим параллельный катушкам допол­нительный путь для тока (рис.66). Поэтому внутреннее сопротивление амперметра меньше, чем у примененного в нем галь­ванометра. Амперметр называется идеальным, если внутреннее со­противление можно считать равным нулю.

Вольтметр подключается к цепи параллельно тому участку, напряжение на котором требуется измерить. Чтобы процесс изме- рения меньше искажал значение измеряемого напряжения, собст- венное (внутреннее) со-

противление вольтметра ^ ~~ ~"~ -~ ~~*у-—_N

должно быть как можно больше. Поэтому в воль­тметре последовательно катушкам гальванометра включено некоторое со­противление (рис.67). Внутреннее сопротивление вольтметра, как правило, значительно больше сопротивления входящего в него гальванометра. Вольтметр называется идеальным, если его внут­реннее сопротивление можно считать бесконечно большим.

Каждый измерительный прибор рассчитан на определенный ин­тервал значений измеряемой величины, и в соответствии с этим проградуирована его шкала. Для расширения пределов измерений в амперметре можно использовать добавочный шунт, а в вольтмет­ре — добавочное сопротивление.

Шунт для амперметра. Если амперметр рассчитан на максималь­ную силу тока /, а мы хотим с его помощью измерять силу то­ка, в п раз большую, то очевидно, что через шунт при этом дол­жен протекать ток силой (п—1)1 (рис.68). Поскольку шунт включен параллельно амперметру, то

Рис. 68. Шунтирование амперметра Рис. 69. Добавочное сопротивление к

вольтметру

Добавочное сопротивление для вольтметра. Если вольтметр рас­считан на максимальное напряжение U, а мы хотим с его по­мощью измерять напряжения, в п раз большие, то очевидно, что на концах добавочного сопротивления должно быть напряжение (п — l)U (рис.69). Поскольку добавочное сопротивление вклю­чено последовательно с вольтметром, то

R, = R_B(n-l). (12)

Приведенные значения R_m и R_a соответствуют увеличению в п раз максимального показания прибора. То же самое справедливо,

Рис. 70. Измерение неизвестного сопротивления R_x с помощью амперметра и вольтметра

разумеется, и для любого другого значения шкалы прибора: измеря­емая величина в п раз больше показания прибора.

С помощью амперметра и вольтметра можно измерить сопротив­ление резистора, в котором поддерживается постоянный ток. Для этого можно воспользоваться любой из схем, показанных на рис. 70. В случае использования схемы а неизвестное сопротивление выра­жается через показания приборов / и U по формуле

При использовании схемы б для неизвестного сопротивления справедливо

(14)

Первая схема удобна для измерения сопротивлений, много мень­ших сопротивления вольтметра Л_ъ, вторая — для измерения сопро­тивлений, много больших сопротивления амперметра 7?_а. В обоих случаях R_x с большой точностью можно считать равным просто от­ношению показаний приборов U/I.

7,7?,

Мост Уитстона. Для точного измерения сопротивлений можно ис­пользовать метод сравнения сопротивлений, не требующий изме­рения тока и напряжения. В этом методе используется так называемый мост Уитстона, содержащий четы­ре сопротивления, одно из которых неизвестно (рис. 71). Переменное со­противление R подбирают таким об­разом, чтобы ток через гальванометр G был равен нулю. При этом через сопротивления 7?, и R₂ идет одина­ковый ток 7,, а через R и R_x — то­же одинаковый ток 7. Разность по­тенциалов между точками А и В равна нулю. Поэтому одинаковы напряжения на сопротивлениях 7?, и R:

IR, (15)

и на сопротивлениях 7?₂ и R_x:

7,7?₂ - IR_X.

Разделив почленно равенства (15) и (16), получаем

«1 R

(16)

откуда

R=R-^.

(17)

Для каждого моста отношение 7?₂/7?, фиксировано и может быть заранее измерено с предельной точностью. В качестве переменного сопротивления 7?, подбором которого осуществляют балансировку моста, обычно используют магазины сопротивлений.

Рассмотрим некоторые примеры, связанные с расчетом электри­ческих цепей, содержащих резисторы и измерительные приборы. Сформулируем их в виде задач.

Задачи

1. Погрешность при измерении сопротивления. Найдите относительную погрешность измерения сопротивления по схемам на рис. 70, если для расчета сопротивления R_x по показаниям приборов U и / вместо использования точных формул (13) и (14) считать приближенно, чтоЯ_х« VII.

Решение Относительной погрешностью измерения называют отноше­ние абсолютной погрешности к значению измеряемой величины. Абсолютная погрешность (или ошибка измерения) — это разность между полученным при измерении и истинным значениями измеряемой величины. Подчеркнем, что в данном случае речь идет о систематических погрешностях, обуслов­ленных применяемым методом измерения, а не о погрешностях самих при­боров.

В случае рис. 70а истинное значение сопротивления R_x дается формулой (13), в которую кроме получаемых при измерениях значений V и / входит внутреннее сопротивление вольтметра Я_в. Абсолютная погрешность измере­ний ДЯ_Х есть

v „ щ, 1 \

^AR' = T-^R' ⁼ j[^l-i-uHiR.))- ⁽¹⁸⁾

Разделив это выражение на R_x из (13), получим относительную погрешность

" ~щ- ⁽¹⁹⁾

Считая, что относительная погрешность невелика (в противном случае та­кое измерение вообще теряет смысл), т.е. значение R_x близко к отношению VII, переписываем (19) в виде

ДЯ, R

х* ⁽²⁰⁾

Знак минус говорит о том, что такой метод измерения R_x всегда дает не­сколько заниженное значение R_x. Модуль относительной погрешности тем меньше, чем больше внутреннее сопротивление вольтметра по сравнению с измеряемым сопротивлением. Относительная погрешность здесь не зависит от сопротивления амперметра.

В случае рис. 706 истинное значение сопротивления R_x дается формулой (14), в которую входит внутреннее сопротивление амперметра Я_а. Абсолютная погрешность

AR_x = j-R_x=R_a (21)

в данном случае просто равна сопротивлению амперметра R_z. Разделив R, на R_x, получим относительную погрешность

ДЛ. R.

(22)

R_t UII-R.'

Когда относительная погрешность мала, значение измеряемой величины R_x близко к VII. Поэтому

Дй, Я.

-^~ТГ- (23)

В данном случае относительная погрешность не за-висит от внутреннего сопротивления вольтметра и бу-деттем меньше, чем больше измеряемое сопротивление /ХПк iiiCv^U по сравнению с сопротивлением амперметра. Этот ме- '* iji ¹ "т v^y ' год всегда дает несколько завышенное значение R_r.

2. Делитель напряжения. В делителе напряже- U ния, образованном резисторами R\ и Яг, отноше- ние сопротивлений которых л1/л2 = 2/3, вольтметр, подключенный к R\ (рис. 72), показывает напряже- 'у \R₂ ние t/i = 20 В, когда к делителю приложено напря- жение U = 100 В. Почему вольтметр показывает 20 В, а не 40 В, как можно было бы ожидать? о— Сравните силу тока в вольтметре с силой тока в _рис 72 Д ит резисторе, напряжение на котором он измеряет. пряжения

Решение Вольтметр показывает низкое напря­жение, очевидно, потому, что его внутреннее сопротивление недостаточно ве­лико, и в него ответвляется значительный ток. Найти силу /„ этого тока можно следующим образом. Сила тока в резисторе R₂ равна, очевидно,

так как напряжение на нем равно разности между приложенным напряже- нием сети 0 и напряжением £/,, показываемым вольтметром. Этот ток раз- ветвляется на ток /, =U_l/R_l в первом резисторе и ток через вольтметр /_в. По_ЭТому _£z£l_£ ₍₂₅₎

Составляя отношение /„//,, получаем

I._U-U, Д, 5

/, U, Я, 3'

Ток, ответвляющийся в измерительный прибор, оказался больше тока в ре­зисторе, напряжение на котором измеряется. Ясно, что такой вольтметр и такой делитель напряжения несовместимы!

3. В делителе напряжения из предыдущей задачи (см. рис.72) сопро- тивления R_t и R₂ равны соответственно 4 и 6 кОм, а вольтметр при сетевом напряжении U = 100 В показывает £/, = 36 В. Что покажет этот вольтметр, если заменить сопротивления соответственно на R\ = 4 Ом и R'₂ = 6 Ом?

Решение В получившейся после замены резисторов цепи вольтметр включен параллельно сопротивлению R\. Последовательно с ними включено сопротивление R₂- Поэтому, обозначив напряжение, показываемое вольтмет­ром, через U\, имеем

~йГ~⁼—*т—• ⁽²⁶⁾

где Я_в — внутреннее сопротивление вольтметра, Решая уравнение (31) от­носительно U\, находим

^^{1 = и}Щ+Я^Щ+Щ- (27)

Для расчета показываемого вольтметром напряжения U\ по формуле (27) нужно знать его внутреннее сопротивление R_B. Его можно найти с помощью формулы (26), заменив в ней U\ на U_v a R[ и R'₂ — на R_X и R₂ (т. е. применив ее к цепи, существовавшей до замены резисторов). Чтобы избежать громозд­ких алгебраических выкладок, можно вместо этого воспользоваться формулой (25) предыдущей задачи и найти R_B как отношение U\И_Ъ. Проделав соответст­вующие расчеты, получим U[ « 40 В.

Полученное значение 40 В совпадает с тем, чего следовало ожидать от де­лителя напряжений. Это означает, что в данном случае внутреннее сопротив­ление вольтметра достаточно велико и ток в него практически не ответвляется. Сопротивление вольтметра R_B, очевидно, много больше R\ и R'₂. Поэтому в зна­менателе формулы (27) можно пренебречь слагаемым Л[Л₂, после чего она принимает вид

Формула (28) соответствует предположению об идеальности вольтметра. Та­ким образом, в цепи, содержащей килоомные резисторы, данный вольтметр с внутренним сопротивлением 9 кОм нельзя считать идеальным, а в цепи с резисторами в несколько омов — уже можно.

• Объясните каждый этап упрощения схемы на рис.63. Каким образом получаются приведенные значения эквивалентных сопротивлений?

• Приведите подробное обоснование того, что токи в одинаковых резисто­рах схемы на рис. 65 одинаковы.

• Составьте уравнение, соответствующее проходу от входа к выходу в схе­ме на рис. 65 по пути, пролегающему через резисторы R₂, R₃ и R₂, и покажите, что оно является следствием уравнений (8).

• Рассмотрите каждый из частных и предельных случаев в схеме на рис.65 независимо, и покажите, что общая формула (10) дает для них правильные результаты.

• Отклонение стрелки измерительного прибора у вольтметра, как и у ам­перметра, пропорционально силе тока, проходящего по его катушке. По­чему же вольтметр показывает напряжение, а не силу тока? Почему ам­перметр нельзя использовать как вольтметр?

• Выведите формулы (13) и (14) для расчета неизвестного сопротивления по показаниям амперметра и вольтметра.

• Объясните, почему условия применимости представления об идеальных амперметре и вольтметре зависят не только от характеристик этих изме­рительных приборов, но и от цепи, в которой они используются.

• Какими факторами определяется точность измерения сопротивлений с помощью моста Уитстона?