§ 8. Конденсаторы. Электроемкость

Рассмотрим два заряженных проводника. Предположим, что все си­ловые линии, начинающиеся на одном из них, заканчиваются на другом. Для этого, разумеется, они должны иметь равные и проти­воположные по знаку заряды. Такая система двух проводящих тел называется конденсатором.

Примеры конденсаторов. Примерами конденсаторов могут слу­жить две концентрические проводящие сферы (сферический, или шаровой, конденсатор), две параллельные плоские проводящие пла­стины при условии, что расстояние между ними мало по сравнению с размерами пластин (плоский конденсатор), два коаксиальных про­водящих цилиндра при условии, что их длина велика по сравнению с зазором между цилиндрами (цилиндрический конденсатор).

Два проводника, образующие конденсатор, называются его об­кладками. Во всех таких системах при сообщении обкладкам равных

Рис. 41. Электрическое поле в сферическом, плоском и цилиндрическом конденсаторах

по модулю и противоположных по знаку зарядов электрическое по­ле практически целиком заключено в пространстве между обклад­ками (рис.41). Внешний вид некоторых используемых в технике конденсаторов показан на рис. 42.

Основная характеристика конденсатора — электроемкость или просто емкость С, определяемая как отношение заряда одной из об-

3 Е. И. Бутиков и по. Книга 2

кладок к разности потенциалов т. е. к напряжению, между ними:

C = g/U. (1)

Распределение зарядов на обкладках будет одинаковым незави­симо от того, большой или малый заряд им сообщен. Это значит, что напряженность поля, а следовательно, и разность потенциалов между обкладками, пропорциональны сообщенному конденсатору заряду. Поэтому емкость конденсатора не зависит от его заряда. В вакууме емкость определяется исключительно геометрическими ха-

Рис. 42. Устройство, внешний вид и условные обозначения на электрических схемах некоторых конденсаторов

рактеристиками конденсатора, т. е. формой, размерами и взаимным расположением обкладок.

Единицы емкости. В СИ за единицу электроемкости принят фа­рад (Ф). Емкостью 1 Ф обладает конденсатор, между обкладками ко­торого устанавливается напряжение 1 В при сообщении заряда 1 Кл:

1ф ₌ 12<£ 1В ^-

В абсолютной электростатической системе единиц СГСЭ электро­емкость имеет размерность длины и измеряется в сантиметрах:

dim С = dim f = = L.

V mwlwt 1

На практике обычно приходится иметь дело с конденсаторами, ем­кость которых значительно меньше 1 Ф. Поэтому используются доли этой единицы — микрофарад (мкФ) и пикофарад (пФ): 1 мкФ = 10^_6 Ф, 1 пФ = 10^_6 мкФ = Ю^-12 Ф. Соотношение между фарадом и сантиметром легко установить, учитывая, что 1 Кл =

= 3 • 10⁹ед. СГСЭ, а 1 В = 1/300 ед. СГСЭ. Поэтому

1 Ф =

310"

1/300

= 9-10" см.

Электроемкость и геометрия конденсатора. Зависимость ем­кости конденсатора от его геометрических характеристик легко про­иллюстрировать простыми опытами. Воспользуемся для этого элект­рометром, подключенным к двум плоским пластинам, расстояние между которыми можно из­менять (рис.43). Чтобы за­ряды пластин были одинако­вы и все поле было сосредо­точено только между ними, следует заземлить вторую пластину и корпус электро­метра. Отклонение стрелки электрометра пропорцио­нально напряжению между обкладками. Если сдвигать или раздвигать пластины конденсатора, то при неиз­менном заряде напряжение будет соответственно умень­шаться или увеличиваться:

емкость тем больше, чем меньше расстояние между пластинами. Аналогично можно убедиться в том, что емкость конденсатора тем больше, чем больше площадь его пластин. Для этого можно просто сдвигать пластины при неизменном зазоре между ними.

Емкость плоского конденсатора. Получим формулу для емкости плоского конденсатора. Поле между его обкладками однородно за исключением небольшой области вблизи краев пластин. Поэтому напряжение между обкладками равно произведению напряженности поля Е на расстоянии d между ними: U = Ed. Для нахождения на­пряженности поля Е можно воспользоваться формулой (1) §6, ко­торая связывает Е вблизи поверхности проводника с поверхностной плотностью зарядов а: Е = 4лка. Выразим а через заряд конденса­тора а и площадь S пластины, считая распределение заряда равно­мерным, что согласуется с используемым предположением об одно­родности поля: 0 = q/S. Подставляя приведенные соотношения в об­щее определение емкости (1), находим

с =

4nkd'

(2)

В СИ, где к = 1/(4ле₀), емкость плоского конденсатора имеет вид

С =

(3)

В системе единиц СГСЭ к = 1 и

^С = Ш- (4)

Емкость сферического конденсатора. Совершенно аналогично можно вывести формулу для емкости сферического конденсатора, рассматривая электрическое поле в промежутке между двумя заря­женными концентрическими сферами радиусов R_{ и R₂. Напряжен­ность поля там такая же, как в случае уединенного заряженного шара радиуса R_{. Поэтому для напряжения между обкладками радиусов R_{ и R₂ справедливо

и=ка(±-1

Выражение для емкости получаем, подставляя U в формулу (1):

\_ R,R₂

R₂-R^ (5)

Емкость уединенного проводника. Иногда вводят понятие емкости уединенного проводника, рассматривая предельный случай конденса­тора, одна из обкладок которого удалена на бесконечность. В частно­сти, емкость уединенного проводящего шара получается из (5) в ре­зультате предельного перехода R₂—*•<», что соответствует неограни­ченному увеличению радиуса внешней обкладки при неизменном радиусе внутренней R_{ = R:

C = {R. (6)

В системе единиц СГСЭ, где к = 1, емкость уединенного шара равна его радиусу. Если проводник имеет несферическую форму, его емкость по порядку величины равна характерному линейному размеру, хотя, конечно же, зависит и от его формы. В отличие от уединенного проводника, емкость конденсатора гораздо больше его линейных размеров. Например, у плоского конденсатора характер­ный линейный размер равен VS, причем VS^>d. Как видно из фор­мулы (4), при этом C»V5.

Конденсатор с диэлектриком. В рассмотренных выше примерах конденсаторов пространство между обкладками считалось пустым. Тем не менее полученные выражения для емкости справедливы и тогда, когда это пространство заполнено воздухом, как это было в описанных простых опытах. Если пространство между обкладками заполнить каким-либо диэлектриком, емкость конденсатора увели­чивается. В этом легко убедиться на опыте, вдвигая диэлект­рическую пластину в промежуток между обкладками заряженного конденсатора, подключенного к электрометру (рис.43). При неиз­менном заряде конденсатора напряжение между обкладками умень­шается, что свидетельствует о возрастании емкости.

Уменьшение разности потенциалов между обкладками при вне­сении туда диэлектрической пластины свидетельствует о том, что напряженность электрического поля в зазоре становится меньше. Это уменьшение зависит от того, какой именно диэлектрик исполь­зуется в опыте.

Диэлектрическая проницаемость. Для характеристики электри­ческих свойств диэлектрика вводят физическую величину, называе­мую диэлектрической проницаемостью. Диэлектрическая проница­емость е — это безразмерная величина, показывающая, во сколько раз напряженность электрического поля в заполненном диэлект­риком конденсаторе (или напряжение между его обкладками) мень­ше, чем в отсутствие диэлектрика при том же заряде конденсатора. Другими словами, диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз увеличивается емкость конденсатора при заполнении его диэлектриком. Например, емкость плоского конденсатора, заполнен­ного диэлектриком с проницаемостью е, равна

^С = Й <^СГСЭ)' <^СИ)- (^?)

Приведенное здесь определение диэлектрической проницаемости соответствует феноменологическому подходу, при котором рассмат­риваются только макроскопические свойства вещества в электри­ческом поле. Микроскопический подход, основанный на рассмотре­нии поляризации атомов или молекул, из которых состоит вещест­во, предполагает исследование какой-либо конкретной модели и позволяет не только подробно описывать электрические и магнит­ные поля внутри вещества, но и понять, как протекают макроско­пические электрические и магнитные явления в веществе. На этом этапе мы ограничиваемся только феноменологическим подходом.

У твердых диэлектриков значение е лежит в пределах от 4 до 7, а у жидких — от 2 до 81. Такой аномально большой диэлект­рической проницаемостью обладает обыкно­венная чистая вода. Кроме воздушного кон­денсатора переменной емкости (см. рис.42), используемого для настройки ра­диоприемников, все другие применяемые в технике конденсаторы заполнены диэлект­риком.

Батареи конденсаторов. При использова­нии конденсаторов их иногда соединяют в ба-тареи. При параллельном соединении Z^JS^Z^ (рис. 44) напряжения U на конденсато­рах одинаковы, а полный заряд батареи q ра­вен сумме зарядов конденсаторов q_t, для каждого из которых, очевид­но, справедливо q_t = C_tU. Рассматривая батарею как один конденса­тор, имеем

q=CU. (8)

С другой стороны,

Сравнивая (8) и (9), получаем, что емкость батареи параллельно соединенных конденсаторов равна сумме их емкостей:

С, С, С„ С=С,+ С₂ + ... _+с (₁₀₎