§ 7. Силы в электростатическом поле

Вопрос о силе, действующей на точечный заряд, помещенный в за­данное электрическое поле, решается элементарно: эта сила равна произведению заряда на напряженность поля, F == <?Е. Сложнее об­стоит дело при нахождении сил, действующих на систему зарядов, например диполь.

Диполь в однородном поле. Если диполь поместить в однородное электрическое поле, то полная действующая на него сила будет рав­на нулю. Так получается потому, что действующие на входящие в диполь заряды силы равны по модулю и противоположны по на­правлению. Однако силы приложены в разных точках: это так на-

Е			+Q F+
		Л
	F_ -t	) 1

Рис. 36. Силы, действующие на диполь в одно- Рис. 37. К расчету момента сил, родном электрическом поле действующих на диполь

зываемая пара сил. Поэтому в общем случае на диполь действует момент сил, стремящийся ориентировать диполь так, чтобы его ди-польный момент р был направлен вдоль вектора напряженности по­ля Е (рис. 36). Момент пары сил не зависит от выбора точки, отно­сительно которой он рассматривается. Покажем это.

Обозначим через г₊ и г_ радиусы-векторы входящих в диполь зарядов + а и — а относительно некоторой точки О (рис. 37). Тогда для суммарного момента сил М можно написать:

M=rxF₊+r_XF_, (1)

где использовано обычное обозначение для векторного произведе­ния. Поскольку F_ = —F₊ = —qE, а разность г₊ — г_ представляет собой вектор 1, проведенный от отрицательного заряда диполя к по­ложительному (рис. 37), то

М= (r₊ -r_) XF+ =д]хЕ. (2)

Произведение а\ равно дипольному моменту р. Поэтому действу­ющий на диполь момент сил пропорционален дипольному моменту р и напряженности поля Е:

М = рхЕ. (3)

Модуль момента сил М зависит от угла а между направлениями р и Е:

М= рЕ sin а. (4)

При двух ориентациях диполя — по полю (а = 0) и против (а = л) момент сил обращается в нуль. Первая ориентация (а = 0) соответствует устойчивому равновесию, вторая (а = л) — неустой­чивому. Характер каждого из этих положений равновесия ясен не­посредственно из рис. 36: при малом отклонении ориентации от на­правления вдоль поля возникает момент сил, стремящийся восста­новить эту ориентацию, в то время как при отклонении от противоположной ориентации возникающий момент сил стремится увести из нее диполь еще дальше и «опрокинуть» его.

Энергия диполя во внешнем поле. Характер равновесия диполя в каждом из этих положений можно также установить, рассматривая зависимость потенциальной энергии диполя во внешнем поле от его ориентации. Энергия диполя как совокупности зарядов + а и — а может быть записана в виде

W= <7+ф+ +<?_ф_ = <?(ф₊ - ф_), (5)

где ip₊ и ip_ — потенциалы тех точек поля, где находятся соответ­ствующие заряды. Разность потенциалов ip₊ — <р_ между этими точ­ками, в соответствии с формулой (10) §4, выражается через размер диполя и его ориентацию следующим образом (см. рис. 36):

Ф₊ — ip_ = — El cos а. (6)

Поэтому

W(<p) = - qEl cos а. (7)

Формулу (7) для энергии диполя с моментом р = а\ во внешнем поле с напряженностью Е можно записать, используя понятие ска­лярного произведения:

W= -(р-Е). (8)

Из формулы (7) видно, что значению а = 0 соответствует мини­мум потенциальной энергии, откуда и следует, что ориентация ди-

Диполь в неоднородном поле. В неоднородном внешнем поле на диполь кроме ориентирующего момента сил действует еще и отлич­ная от нуля сила, втягивающая диполь в область с большей напря­женностью поля. Эта сила возникает как равнодействующая сил, действующих на входящие в диполь заряды, благодаря тому, что в местах расположения этих зарядов напряженность поля имеет раз­ные значения. Ясно, что эта сила тем больше, чем больше неодно­родность поля, т. е. чем больше градиент напряженности.

Попадая в неоднородное электрическое поле, диполь ориентиру­ется в нем должным образом и втягивается в область с большей на­пряженностью, так как на попадающий туда конец сориентирован­ного диполя действует бблыпая сила, чем на противоположный. Именно таким поведением поляризованных молекул воздуха объяс­няется возникновение электрического ветра вблизи острия (см. § 5). Такое поведение индуцированных на мелких частицах диполей можно использовать для экспериментальной «визуализации» элект­ростатических полей. Для этого используют ванну с подходящим жидким диэлектриком, к которому подмешен порошок из мелких твердых частичек. Частицы порошка образуют в электрическом по­ле множество цепочек, простирающихся от одного заряженного электрода до другого, и воспроизводят форму и расположение сило­вых линий.

На рис. 38 приведена полученная таким способом картина ли­ний напряженности электрического поля двух одинаковых шари­ков, заряженных разноименно. Картина на рис. 39 дает представ-

Рис. 38. Линии напряженности электрического поля между двумя разноименно заря­женными шариками

ление об электрическом поле двух параллельных пластин с одина­ковыми зарядами противоположного знака. Поле между пластина­ми можно считать однородным в случае, когда расстояние между пластинами малб по сравнению с их размерами, так как в средней части линии напряженности имеют вид параллельных прямых,

расположенных с одинаковой густотой. Вблизи краев пластин си­ловые линии искривляются, т. е. поле становится неоднородным.

И, наконец, именно таким поведением диполей объясняется один из самых известных электростатических опытов — притяжение мелких клочков бумаги наэлектризованной расческой.

Диполь в поле точечного заряда. Количественные закономерности поведения диполя в неоднородном электрическом поле рассмотрим на примере взаимодействия диполя с точечным зарядом. Чтобы не рассматривать силы, действующие на каждый из зарядов диполя, и находить их равнодействующую, найдем силу, действующую на то­чечный заряд со стороны диполя.

По третьему закону Ньютона она равна по модулю и противопо­ложна по направлению интересующей нас силе, действующей на диполь в неоднородном поле точечного заряда. При этом для напря­женности поля диполя мы воспользуемся формулами (15) и (16) §5.

Приведем результат для двух частных случаев, когда диполь ори­ентирован вдоль прямой, соединяющей его с точечным зарядом, и перпендикулярно ей, В первом случае угол 0 равен нулю. Поэтому от­лична от нуля только радиальная составляющая Е_т поля диполя и в соответствии с формулой (15) для действующей на точечный заряд Q силы получаем

F = QE_r = к

Направлена эта сила вдоль линии, соединяющей диполь с точечным зарядом. Диполь притягивается к заряду Q, если он ориентирован вдоль создаваемого зарядом Q поля, и отталкивается при противо­положной ориентации.

Во втором случае, когда диполь ориентирован поперек, угол 0 = хс/2 и отлична от нуля другая составляющая напряженности, вы­

(9)

ражаемая формулой (16) §5. Для силы, действующей на точечный заряд Q, при этом получаем

(10)

По модулю она вдвое меньше, чем в первом случае, а направлена перпендикулярно прямой, соединяющей диполь с точечным зарядом Q (рис. 40).

В обоих случаях сила взаимодействия точечного заряда и диполя обратно пропорциональна третьей степени расстояния между ними, т. е. убывает с расстоянием быстрее, чем сила взаимодействия то­чечных зарядов. Можно убедиться,

что она пропорциональна градиен- ⁺Sf>^] +Q

ту напряженности поля точечного IX q_

заряда, убывающей как 1/r². I ^r Q

СИЛЫ, действующие на провод- _Рис. ₄₀. При таком расположении ди-ник. В тех случаях, когда нас инте- поля и точечного заряда силы их взаи-ресует сила, действующая на про- модействия р_х и f₂ не направлены водник, помещенный в электри- ^ВД°^ЛЬ одной прямой ческое поле, приходится учитывать

изменение этого поля, связанное с возможным перераспределением зарядов на самом проводнике. Рассмотрим сначала силу, действую­щую не на весь проводник, а на малый участок его поверхности AS. Электрические силы приложены именно к поверхности проводника, так как весь его заряд сосредоточен на поверхности. Распределение этого заряда характеризуется поверхностной плотностью а, которая связана с напряженностью поля Е у поверхности проводника соотно­шением (1) § 6:

Е = 4лко. (11)

Однако если умножить заряд Ад = a AS, сосредоточенный на рас­сматриваемом участке поверхности AS, на напряженность Е, дава­емую формулой (11), то мы не получим правильного значения си­лы, действующей на этот участок. Дело в том, что при нахождении силы нужно умножать заряд на напряженность поля, создаваемого всеми остальными зарядами, кроме рассматриваемого, в то время как (11) дает результирующую напряженность электрического поля вблизи данного участка поверхности.

Согласно принципу суперпозиции эту напряженность можно рас­сматривать как векторную сумму напряженностей полей, создавае­мых выделенным элементом поверхности проводника AS и всеми ос­тальными зарядами, расположенными как на данном проводнике (за пределами выделенного участка поверхности), так и вне его. Так как нас интересует напряженность поля непосредственно у поверхности проводника, то выделенный элемент AS можно считать плоским и при вычислении создаваемого им поля воспользоваться выражением (16) или (17) § 3 для напряженности поля Е₁ равномерно заряженной

плоскости:

Е, = 2пка.

(12)

Это поле существует по обе стороны от плоскости.

Внутри проводника вплоть до самой его поверхности результиру­ющая напряженность поля равна нулю. Значит, внутри проводника вблизи элемента его поверхности AS поле зарядов этого элемента, направленное внутрь проводника, полностью компенсируется по­лем, создаваемым всеми остальными зарядами. Таким образом, в месте расположения выделенного элемента AS все остальные заря­ды, находящиеся как на проводнике, так и вне его, создают элект­рическое поле Е₂, направленное наружу, причем модуль этой на­пряженности также определяется выражением (12). Снаружи это поле Е₂ имеет одинаковое направление с полем, создаваемым заря­дами элемента AS, и, складываясь с ним, дает полное поле, напря­женность которого вдвое больше и определяется выражением (11).

Сила, действующая на элемент поверхности AS, равна произведе­нию заряда этого элемента AS на напряженность поля Е₂ = 2лка:

AF = 2пка² AS.

(13)

Эта сила направлена наружу по нормали к поверхности проводника независимо от знака заряда этого участка.

Электростатическое давление. Отношение силы (13) к площади поверхности, на которую она действует, представляет собой элект­ростатическое давление р. В соответствии с (13) имеем

Аг 1 ; 2 P=bS=^2nka-

(14)

Электрические силы как бы «распирают» проводник. Чтобы опреде­лить силу, действующую на все заряженное тело, нужно найти рас­пределение заряда а на его поверхности и просуммировать векторно силы электростатического давления, действующие на отдельные элементы поверхности тела.

• Докажите, что момент любой пары сил, т. е. двух равных по модулю и противоположно направленных сил, не зависит от выбора точки, отно­сительно которой рассматриваются моменты сил.

• Объясните появления знака минус в правой части формулы (6), учиты­вая, что вектор Е всегда направлен в сторону убывания потенциала.

• Почему при нахождении силы, действующей на диполь во внешнем электрическом поле, приходится учитывать неоднородность этого поля, в то время как при расчете действующего на диполь ориентирующего момента неоднородностью электрического поля можно пренебречь?

• Докажите, что на диполь, который может свободно ориентироваться в элект­рическом поле, во всех случаях действует именно втягивающая сила.

• Почему электрически нейтральные кусочки бумаги притягиваются наэ­лектризованной расческой? Проделайте такой опыт и постарайтесь объ­яснить все, что вам при этом удастся наблюдать.

• Объясните направление сил взаимодействия точечного заряда и диполя, показанных на рис. 40, рассматривая взаимодействие точечного заряда <Э с каждым из зарядов, образующих диполь.

• Будет ли действовать сила на незаряженный проводящий шар, поме­щенный в поле точечного заряда? Если да, то как направлена эта сила?

• Какая сила действует на плоскую поверхность проводника, на расстоя­нии h от которой находится точечный заряд ql Как она направлена? Зависит ли ее направление от знака заряда ql