§ 6. Проводники в электрическом поле

Характерным свойством проводников является наличие в них сво­бодных зарядов (электронов или ионов), способных перемещаться по всему объему тела.

Напряженность поля внутри проводника. В равновесии заряды располагаются таким образом, чтобы равнодействующая всех сил, действующих на каждый из зарядов, обращалась в нуль. Поэтому необходимым условием электростатического равновесия является равенство нулю напряженности электрического поля внутри провод­ника. Если бы внутри проводника существовало электрическое по­ле, то свободные заряды пришли бы в движение, т. е. равновесие было бы нарушено. Условие Е = 0 должно быть выполнено для всех точек внутри проводника независимо от того, заряжен он сам или помещен во внешнее электростатическое поле.

Условие отсутствия электростатического поля внутри проводника приводит к тому, что нескомпенсированные заряды могут распола­гаться только на его поверхности. В этом легко убедиться с по­мощью теоремы Гаусса. Рассмотрим произвольную замкнутую по­верхность, ограничивающую некоторый объем внутри проводника. Во всех точках этой поверхности напряженность электрического по­ля равна нулю. Следовательно, равен нулю и поток напряженности поля через эту поверхность. Тогда по теореме Гаусса равен нулю и полный заряд в объеме, ограниченном рассматриваемой поверх­ностью. Так как поверхность произвольна, то результат применим к любому участку внутри проводника вплоть до его границы. Итак, нескомпенсированные заряды могут располагаться только на по­верхности проводника.

Проводники и закон Кулона. Отсутствие зарядов во внутренних частях проводника может быть использовано для проверки закона Кулона на опыте. Если бы в законе Кулона

показатель степени г не равнялся бы точно двум, то не была бы справедлива теорема Гаусса и во внутренних частях заряженного проводника должны были бы находиться заряды. Интересно, что от­сутствие зарядов во внутренних частях заряженного металлического проводника было экспериментально установлено Г. Кавендишем за 12 лет до того, как Кулон сформулировал закон взаимодействия то­чечных зарядов.

Идея опыта Кавендиша ясна из рис. 26. Металлический шар 1 укреплен на изолирующей подставке 2. Две металлические полу­сферы 3, изолированные от земли и от шара, укреплялись на по­движных подставках и могли быть соединены в одну сферу, охва­

тывающую шар /. В одной из полусфер имелось малое отверстие, в которое можно было вставлять изолированный проводник 4, что­бы соединять шар со сферой. Соединенные с шаром полусферы заряжали некоторым зарядом 5, о величине которого можно бы­ло судить по показаниям электрометра. Затем соединяющий шар с полусферами проводник 4 удаляли, полусферы раздви,-гали и разряжали. После этого электро­метр подсоединяли к шару / и проверяли, имеется ли на нем какой-либо заряд. Опыт всегда показывал, что на шаре нет никаких следов заряда. Проверку закона Кулона таким способом можно произвести с большей точностью, чем при непосредст­венном измерении силы взаимодействия между заряженными телами, так как очень трудно создать усло­вия, отвечающие требованию, чтобы заряды были точечными.

Напряженность поля и поверхностная плотность зарядов. С по­мощью теоремы Гаусса легко найти выражение для напряженности электрического поля в непосредственной близости от поверхности проводника. Прежде всего отметим, что во всех точках проводника

потенциал одинаков и, следова­тельно, его граница является экви­потенциальной поверхностью, а си­ловые линии перпендикулярны его поверхности. Возьмем на поверх­ности проводника настолько малый участок AS, чтобы его можно было считать плоским, а поверхностную плотность заряда а — постоянной. Проведем мысленно малую замк­нутую цилиндрическую поверх­ность, образующие которой пер­пендикулярны к поверхности проводника, а основания параллельны AS (рис. 27). Нижнее основание расположено целиком внутри про­водника, где поле отсутствует, а верхнее — в непосредственной близости от поверхности проводника, где силовые линии еще пер­пендикулярны ей.

При таком выборе замкнутой поверхности поток напряженности проходит только через верхнее основание и равен EAS. По теореме Гаусса

Е AS = 4лак AS,

откуда

Е = 4лка.

(1)

В СИ к = 1/(4л;е₀) и формула (1) принимает вид

£ = - (2)

В системе единиц СГСЭ к = 1 и для напряженности поля вблизи по­верхности проводника имеем

Е = 4ло. (3)

Подчеркнем, что формула (1) дает выражение для напряженно­сти полного электростатического поля, существующего вблизи по­верхности проводника, независимо от того, создается ли это поле только самим заряженным проводником или еще и другими заряда­ми. Из (1) видно, что напряженность результирующего поля вблизи поверхности проводника связана только с плотностью зарядов на его поверхности.

Распределение зарядов по поверхности проводника. От чего зави­сит плотность заряда на поверхности проводника? В случае уединен­ного заряженного проводящего тела эта плотность тем больше, чем больше полный заряд д проводника. Если это тело — шар, то заряд д распределен по его поверхности равномерно, так что поверхностная плотность всюду одинакова:

^{СТ =} ^- (4)

Так как напряженность электрического поля, создаваемого равно­мерно заряженным шаром вблизи его поверхности, равна

Е=к± (5)

то при подстановке сюда заряда д, выраженного через плотность ст из (4), приходим к формуле (1) Е = 4лка, справедливой в общем слу­чае, а не только для заряженного шара. Поверхностную плотность за­ряда ст можно выразить не через заряд д, а через потенциал шара <р = kg/R. Подставляя д= <$Щк в (4), получаем

_{»=if- (б)}

При заданном потенциале поверхностная плотность заряда ст об­ратно пропорциональна радиусу шара R.

Этот результат имеет общий характер. Какой бы сложной фор­мой ни обладало проводящее тело, потенциал во всех точках одина­ков: <р = const. Поэтому поверхностная плотность заряда будет боль­ше в тех местах, где меньше R, т. е. где поверхность искривлена сильнее. Очевидно, что в этих же местах будет больше и напряжен­ность электрического поля.

Зависимость напряженности поля от кривизны поверхности мож­но продемонстрировать в простых опытах. Воспользуемся гибкой ме­

таллическои сеткой (рис. 28), установленной на изолирующих под­ставках, по обе стороны которой навешены тон­кие бумажные листочки. Если сетку зарядить, листочки отклоняются тем сильнее, чем больше напряженность электри­ческого поля вблизи сет­ки. Пока сетка плоская, листочки расходятся одинаково с обеих сто­рон. При изгибании сет­ки листочки с выпуклой стороны отклоняются еще больше, а с вогну­той спадают.

На острие заряженного проводника поверхностная плотность мо­жет стать настолько большой, что заряды с него начинают «стекать». Причина этого явления заключается в большой напряженности и нео­днородности электрического поля вблизи острия. В сильном поле ней­тральные молекулы воздуха поляризуются, т. е. приобретают диполь-ные моменты из-за относительного смещения положительных и отри­цательных зарядов. Так как поле острия неоднородно, эти диполи втягиваются в область, где напряженность поля больше, т. е. притя­гиваются к острию. Коснувшись острия, молекулы приобретают одно­именный с ним заряд и отталкиваются от него. Эта сила отталкивания значительно больше ранее действовавшей силы притяжения, по­скольку теперь полный заряд молекулы отличен от нуля.

Заряженные молекулы уда- ляются от острия с большими скоростями, чем они приближа- лись к нему, и увлекают за со- бой другие молекулы воздуха. Возникает так называемый электрический ветер, которым можно даже погасить зажжен- ную свечу. В демонстрационном приборе — колесе Франклина электрический ветер, образую- щийся при стекании зарядов с остриев, приводит во вращение легкий крест из металлических Рис. 29. Колесо Франклина проволок (рис. 29).

Добиться появления зарядов на поверхности проводника можно, просто помещая его во внешнее электрическое поле.

Рис. 30. Электрическое поле точечного заряда, находящегося вблизи поверх­ности

В качестве примера проводника в электрическом поле рассмотрим большой кусок металла с плоской границей, т. е. фактически запол­ненное проводником полупространство, в поле точечного заряда а, находящегося на расстоянии / от плоской поверхности (рис. 30). Вы­ясним, каким будет электростатическое поле во всем пространстве.

Рис.31. Слева от плоскости действие индуцированных на плоской границе зарядов эквивалентно действию точеч­ного заряда — q

Прежде всего отметим, что внутри куска металла поля нет: спра­ва от плоскости Е = 0. Остается найти поле в полупространстве, со­держащем заряд. На плоской поверхности проводника индуцируют­ся заряды, поверхностная плотность а которых связана с напряжен­ностью полного поля вблизи плоскости соотношением (1). По принципу суперпозиции полное поле в любой точке можно рассмат­ривать как сумму полей заряда а и индуцированных на плоскости зарядов. Так как справа от плоскости полное поле равно нулю, то ясно, что суммарное поле всех индуцированных на плоскости заря­дов можно заменить для правого полупространства полем одного то­чечного заряда —а, помещенного в ту же точку, что и исходный за­ряд а. Поле индуцированных зарядов симметрично относительно плоскости. Поэтому поле индуцированных зарядов в левом полупро­странстве эквивалентно полю точечного заряда — а, расположенного справа от плоскости симметрично заряду а (рис.31). Итак, полное поле в левом полупространстве представляет собой суперпозицию полей, создаваемых зарядом а и зарядом —а, расположенным справа от плоскости симметрично заряду а.

Полученный результат можно кратко сформулировать так: дей­ствие плоской границы проводника с индуцированными на ней за­

рядами можно заменить действием точечного заряда — д, являюще­гося как бы зеркальным изображением данного заряда д в проводя­щей плоскости. Поэтому описанный способ нахождения поля носит название метода изображений.

Распределение зарядов на поверхности.

Зная электрическое поле, можно рассчитать поверхностную плотность индуцированных на проводнике зарядов и силу, действую­щую на точечный заряд д. Поскольку все силовые линии, выходящие из заряда д, оканчиваются на проводящей плоскости, то полный индуцированный на ней заряд равен —д. Разумеется, этот заряд распределен не­равномерно.

Поверхностную плотность индуцирован­ных зарядов легко определить с помощью соотношения (1). Напряженность поля вблизи поверхности проводника направлена по нормали к ней. Очевидно, что в рассматриваемом случае поле обладает осевой симметрией: при вращении вокруг линии, соединя­ющей заряды д и — д, картина поля не меняется. Поэтому плотность заряда на поверхности зависит только от расстояния г от оси сим­метрии: а = о(г). Простой расчет, идея которого понятна из рис. 32, приводит к результату (в единицах СИ):

Ql

2*(г² + /²)^3/2'

(7)

Какая сила действует на заряд д? Для нахождения силы нужно знать напряженность поля, в котором находится этот заряд. В дан­ном случае это поле создается зарядами, индуцированными на про­воднике. Точно такое же поле создавал бы заряд-изображение —д. Таким образом, заряд д притягивается к проводнику с такой же си­лой, как и к заряду — д, находящемуся на расстоянии 21 от него.

Энергия заряда вблизи проводника. А какую работу нужно со­вершить, чтобы удалить заряд д на бесконечность? Может пока­заться, что искомая работа будет такой же, как и при раздвиже-нии на бесконечность зарядов д и — д, находящихся на расстоянии 21 друг от друга:

(8)

Однако это неверно! В этом можно убедиться с помощью сле­дующего простого рассуждения. При удалении заряда q от поверх­ности металла будет удаляться в противоположную сторону и его

«изображение» —д, ибо в каждый момент сила, действующая на заряд, определяется зарядом-изображением —д, расположенным симметрично д относительно поверхности металла. Поэтому по формуле (8) определяется работа, которая совершается внешними силами, действующими на оба заряда. Нам же необходимо найти работу только одной из этих сил, действующей на заряд д: ведь на самом деле никакого заряда — д нет, а есть заряды, индуциро­ванные на поверхности металла, которые при удалении заряда д растекаются по эквипотенциальной поверхности, так что при их перемещении никакой работы не совершается.

Таким образом, интересующая нас работа А' будет в два раза меньше, чем работа А в (8):

A' = \A=k£. (9)

Энергия системы точечных зарядов и проводников. Расчитать эту работу можно и с помощью общей формулы (12) из §4 для энергии системы зарядов, которая справедлива и тогда, когда наря­ду с точечными зарядами в систему входят проводники. При этом в слагаемых, соответствующих проводникам, g_t есть полный заряд проводника, a ip,- — его потенциал, создаваемый как другими заря­дами, так и его собственным. Докажем это.

Пусть в системе из N зарядов есть один заряженный про­водник с зарядом д_п и потенциалом ip_n, а все остальные заряды точечные. Тогда формула для энергии этой системы должна иметь вид

N — 1

^WN = \ 2 Я Ml + \ Ч_п9п- (Ю)

Чтобы показать справедливость этой формулы, разобьем мыслен­но заряд проводника д_п на большое число М малых частей так, что­бы каждую часть Ад_к можно было считать точечным зарядом, и представим энергию всей системы как энергию (А/ — 1) + М точеч­ных зарядов. В соответствии с формулой (12) §4 имеем

^ = 12ад + 5ХДад₁. (П)

:' = 1 к=1

Поскольку все точки проводника имеют одинаковый потенциал <р_к = <р„ (к = 1, 2, ..., М), во второй сумме в этой формуле <р_к мож­но вынести за знак суммы:

Af Af

<t = l <t = l

Сумма всех Aq_k представляет собой полный заряд д_п проводника. Таким образом, формула (10) доказана.

Из приведенного вывода ясно, что потенциал проводника <р_п со­здается как точечными зарядами д_г так и зарядом самого провод­ника д_п. Действительно, в формуле (11) <p_t есть потенциал поля, создаваемого всеми зарядами, кроме Ад_к, т. е. всеми точечными за­рядами q_t и зарядом проводника д_п за исключением малой его части Ад_к, которая может быть выбрана сколь угодно малой по сравнению с д_п. Разумеется, формула (10) остается в силе и в том случае, ког­да в рассматриваемой системе есть только заряженные проводники и нет точечных зарядов.

Применим общую формулу (10) к рассмотренной выше системе, состоящей из точечного заряда д и проводника с бесконечной пло­ской поверхностью на расстоянии / от заряда д. Потенциал <р_п этого проводника равен нулю, так как проводник простирается до беско­нечности, и соответствующее слагаемое в формуле (10) отсутствует. Поэтому энергия рассматриваемой системы равна (1/2)<7<р, где <р — потенциал, создаваемый индуцированными на проводнике зарядами (т. е. зарядом-изображением —д) в точке, где находится заряд д: <р = —кд/(21). Итак,

и/ | 1 kq²

Работа А', которую совершают внешние силы при удалении то­чечного заряда д на бесконечность, равна происходящему при этом изменению энергии системы, т. е. А' = — W, что совпадает с (9).

• Докажите, что потенциал всех точек проводника, включая его границу, оди­наков независимо оттого, заряжен он сам или помещен во внешнее электри­ческое поле.

• Докажите, что силовые линии электростатического поля вблизи провод­ника перпендикулярны его поверхности.

• Как связаны между собой поверхностная плотность заряда и напряжен­ность поля вблизи поверхности проводника?

• Объясните, почему диполь втягивается в область, где напряженность электрического поля больше.

• Докажите формулу (7) для поверхностной плотности заряда, индуциру­емого точечным зарядом на проводящей плоскости.

• Почему в задаче о заряде вблизи проводящей плоскости формальное применение метода изображений дает правильный результат для дейст­вующей силы и вдвое завышенный результат — для работы?

• В чем отличие смысла входящих в формулу (10) величин <р, в слагае­мых, относящихся к точечным зарядам и к проводникам?

д Еще о методе изображений. Мы рассмотрели простейший случай: точечный заряд вблизи бесконечной плоской поверхности проводника, и сумели просто угадать решение — заменили поле индуцированных зарядов полем фиктивного точечного заряда- изображения, расположенного i по другую сторону границы

проводника. А можно ли при- у f i >v ,

менять метод изображений \ / ' \ / для проводников более слож- \ _—-Н—- / ной формы? Для ответа на /С L./\ ! / \.J

этот вопрос рассмотрим разо- / >\\//<Гп1^/'/* ^

бранный выше пример с не- —4—I—i—+—— сколько иной точки зрения. \ V /\хЗ>>ч/\\ '

Предположим, что имеют- ^у\/ ^ЧК/ > \/"\ \у'

ся два точечных заряда q и —г'^^^^^н—" \

—q на расстоянии 21 друг от / \ ' / \

друга. Поле такой системы за- / V J У \

рядов хорошо известно. На ^~~~Г^^

НИИ И сечения ЭКВИПОТенци- _{Рис 33} д_инии напряженности и сечения алЬНЫХ поверхностей. Одна ИЗ эквипотенциальных поверхностей поля ЭКВИПОТеНЦИаЛЬНЫХ поверх- Двух разноименных точечных зарядов

ностей — плоскость, перпен­дикулярная соединяющему заряды отрезку и делящая его попо­лам. Действительно, потенциал любой точки этой плоскости

рис. 33 показаны силовые ли- i

так как расстояния любой точки этой плоскости от зарядов q и —q одинаковы (г, = г₂). Совместим с этой плоскостью тонкий проводящий экран. Поскольку все точки проводника, помещен­ного в электростатическое поле, имеют одинаковый потенциал, картина поля не изменится вне экрана, а внутри него напряжен­ность поля равна нулю. Уберем теперь заряд —q. Справа от эк­рана поля не будет, слева все останется без изменения. Но полу­чившаяся система — как раз то, что нам нужно рассмотреть! Справа от экрана поля нет, слева напряженность в любой точке определяется векторной суммой напряженностей полей, создава­емых зарядами q и —q, а потенциал — алгебраической суммой потенциалов этих полей.

Теперь можно сформулировать основную идею метода изобра­жений: нужно подобрать точечные заряды, которые создавали бы такие же поля, как и индуцированные на поверхностях провод­ников заряды. Положение и величина этих фиктивных зарядов должны выбираться таким образом, чтобы одна из эквипотенци­альных поверхностей поля, создаваемого заданными и фиктив­ными подобранными зарядами, совпадала бы с поверхностью проводника. Подчеркнем, что с помощью этих зарядов находится поле только вне проводников. Внутри проводников поля нет.

Метод изображений в некоторых случаях позволяет очень про­сто находить решения весьма сложных на первый взгляд электро­статических задач. Для примера рассмотрим поле точечного заря­да а, находящегося внутри проводящего прямого двугранного угла

Q<>

_I

<rQ

2/,

21,

Рис. 34. Электрическое поле внутри двугранно- Рис. 35. Такую задачу методом го угла (а) совпадает с полем четырех зарядов (б) изображений решить нельзя

(рис. 34а). Все электрическое поле сосредоточено только внутри угла, где расположен заряд а; по другую сторону проводящей по­верхности поля нет. Нетрудно убедиться, что эквипотенциаль-ность поверхности двугранного угла будет обеспечена, если ввести еще три фиктивных точечных заряда. Поэтому поле внутри угла представляет собой суперпозицию полей четырех изображенных на рис. 346 зарядов.

Сила, с которой заряд притягивается к проводнику, может быть представлена как векторная сумма сил его взаимодействия с тремя фиктивными зарядами.

Но, несмотря на свою привлекательность, метод изображений далеко не универсален. Достаточно поместить точечный заряд q снаружи проводящего двугранного угла (рис. 35), чтобы задачу уже невозможно было решить таким методом. Хотя система че­тырех точечных зарядов, изображенная на рис. 346, и в этом слу­чае обеспечивает эквипотенциальность поверхности двугранного угла, она не дает решения задачи. Дело в том, что фиктивные заряды можно помещать только по другую от реального заряда сторону проводящей поверхности. В той точке, где находится то­чечный заряд, напряженность поля обращается в бесконечность. Поэтому если мы поместим фиктивный точечный заряд по одну сторону с реальным зарядом, то в точке нахождения фиктивного заряда напряженность поля обращается в бесконечность, чего на самом деле нет. ▲

• Сформулируйте основную идею, на которой основан метод электри­ческих изображений.

• Почему метод изображений удается использовать для нахождения электри­ческого поля вблизи проводников, поверхность которых имеет достаточно простую форму?

• Почему фиктивные заряды в методе изображений нельзя помещать по ту же сторону от проводящих поверхностей, где находятся реальные точеч­ные заряды?