2 Д. Н. Клышко

33

зать и «полуквантовую» модель — классический ток, согласно Глаубе-ру 154], возбуждает квантованное поле в когерентное состояние.

Естественная ширина. Спонтанные переходы ограничивают время жнзни Ti изолированного атома в возбужденном состоянии. Можно ожидать, что 7"i=l/A. Эта простая зависимость будет подтверждена ниже, см. (5.2.18). Далее, согласно соотношению неопределенности A£At=% (где AS — точность измерения энергии и At — время изме­рения) конечное время жизни атома приводит к конечной ширине уровня. Полагая At=T_lt получим А£_г=АА. Это уширение уровня должно проявиться в стационарных экспериментах в разбросе частот переходов Дш₂₁=А^₂/А, т. е. в уширении спектральных линий,

Д<»_есг~ А.

(2.5.9)

Ширина спектральных линий, обусловленная спонтанными пере­ходами, называется естественной. Этот термин подчеркивает, что Д(о_е(Т — наименьшая возможная ширина, которая имеет место даже в случае одиночного изолированного атома. Отметим, однако, что в принципе все же можно избавиться от естественного уширения, по­местив атом в добротный объемный резонатор, у которого нет типов колебаний с частотой в окрестности <н_м. Практически наблюдаемые линии имеют естественную ширину лишь в тех редких случаях, когда другие возмущения — столкновения и эффект Доплера в газах, взаи­модействие с фононами в кристаллах и т. д.— дают много меньший вклад и, кроме того, когда оптическая толщина образца мала (§ 7.1). Заметим, что при этом ширина линий поглощения или усиления, свя­занных с вынужденными переходами, также равна А.

Форма изолированных линий при естественном уширении является лоренцевой. Строго это следует из теории Внгнера — Байскопфа (см., например, 1551). Имеется и наглядная классическая модель, согласно которой возбужденный атом излучает экспоненциально затухающее квазимонохроматическое колебание (§ 5.2). Фурье-преобразование та­кого колебания и дает лоренцеву (дисперсионную) форму спектра излучения.

Оценим с помощью (9) относительную величину естественного уши­рения. Для разрешенных переходов d^ea„ (см. (2.2.4)), так что

Да>_ест/ш »(4/3) (1/137) (аД)«, (2.5.10)

где для постоянной тонкой структуры е³/Ас мы приняли значение 1/137 (напомним, что это число определяет также отношение ско­рости электрона в атоме водорода к скорости света). Полагая % = в= 1//?в= 4я- 137а₀ я# 0,1 мкм (R — постоянная Ридберга), получаем

Дш_еСТ/ш^0,3/(137)³ »10-⁷. (2.5.11)

Такого же порядка или меньше смещение уровней атома из-за взаимодействия с электромагнитным вакуумом (сдвиг Лемба). Таким образом, относительное возмущение атома вакуумом весьма мало.

Число фотонов, спектральная яркость и яркостная температура.

Найдем отношение вероятностей вынужденных и спонтанных пере­ходов в случае некогерентного (шумового) поля. Согласно (7) и (2.4.13)

У_шш№_са = Во/А =plfmgn э JV, (2.5.12)

где величина

ft.^fliV^ (2.5.13)

имеет смысл спектральной плотности мод поля в единичном объеме (напомним, что р — спектральная плотность энергии в единичном объеме). Мода (или тип колебания) — это, грубо говоря, колебатель­ная степень свободы (или пространственная гармоника) поля (§7.3), Обратная величина I/g_M равна частотному интервалу между сосед­ними модами. Согласно определению (12) N имеет смысл энергии поля, приходящейся на одну моду и выраженной в единицах %<я_у т. е. JV — это число фотонов на моду. Эту величину называют также фактором вырождения фотонного газа. Отметим, что энергия и число фотонов флуктуируют (здесь р и N — средние значения).

Число N является важнейшим параметром некогерентного излуче­ния. Покажем, что оно пропорционально основной фотометрической характеристике — спектральной яркости Д^. Последняя определя­ется как интенсивность излучения в единичном спектральном интерва­ле н единичном телесном угле и имеет размерность Вт/(см^а-Гц-ср). Интенсивность излучения на единицу частоты /_а равна половине спектральной плотности энергии р/2, умноженной на скорость света. Добавив множитель 1/4я, переходим к спектральной яркости /_ад. Отсюда с помощью (12) находим

/₍₁₁а = ср/8л = fic^-³N.

(2.5.14)

Итак, согласно (12) вынужденные переходы под действием некоге­рентного поля происходят в N раз чаще, чем спонтанные. Общее число переходов вверх и вниз можно представить в виде

w_sl = AN, w_ls = А (ЛГ-f 1).

(2.5.15)

Иногда спонтанные переходы, которым соответствует второе сла­гаемое в последнем выражении, интерпретируют как вынужденные переходы, происходящие за счет нулевых (вакуумных) флуктуации поля. Однако такая интерпретация приводит к заниженной вдвое ве­роятности спонтанного перехода вниз и не объясняет отсутствия спон­танного перехода вверх [65]. Правильный результат получается, если отличать нормально и антинормально упорядоченные флуктуации. В § 7.7 показано, что спонтанные переходы определяются нормально упорядоченными флуктуациями дипольного момента атома и анти­нормально упорядоченными флуктуациями вакуума.

В равновесном излучении N зависит лишь от частоты и температу­ры и определяется функцией Планка (5) : N=0^ (о>). В общем же случае

2- 35

N зависит, кроме частоты, от направления наблюдения, тнпа поляри­зации и точки наблюдения: N=N(k,r, v). Здесь к — волновой.вектор, задающий и частоту, и направление, v — индекс поляризации, при­нимающий два значения.

В неравновесном поле равенство (5) используется для определения яркостной температуры 7"₉ф(Л^)==Аш/и ]n(I-f-l/JV) излечения с дан­ными частотой, направлением и поляризацией. Например, излучение Солнца для оптического Диапазона и соответствующего интервала углов имерт Т_9ф —6000 К, так что согласно (Б) для зеленых лучей (Х~0,5 мкм) Л/" — 10^—а и вынужденные переходы под действием солнечного света происходят много реже спонтанных. Таким образом, в видимом диа­пазоне вероятности вынужденных и спонтанных переходов сравни­ваются лишь при излучении в сотни раз более ярком, чем яркость Солн­ца (при этом 7"_вф~4-10* К). Такая яркость достигается с помощью многомодовых лазеров (к одномодовым лазерам понятие яркости не­применимо).

^сВремя релаксации. Определим теперь с помощью (2) скорость изменения населенностей при учете спонтанных и вынужденных пере­ходов. Заменим для этого на N_u—N% и воспользуемся соотно­шением (15):

Л'₂ = Л [AW„—{2ЛГ+1)Лд. (2.5.16)

Здесь Я/—число фотонов на моду и ЛГ„ = Nj -\~ iV_a—общее число атомов на двух уровнях. Отсюда в установившемся режиме

^№.-(JV+I)/(2JV+l)-v/(I + v), ,₉ , _m

ЛГ?уЛГ₀-ЛГ/(2ЛГ+1)-1/(1+^,

где vs^exp(&e>_atfn.T). Решение уравнения (16) имеет вид

N_a{t)=Nf>+[NM~N^]e-^, (2.5.18)

Итак, время 7\ нагрева (или охлаждения) внутренних степеней сво­боды атомов за счет взаимодействия с некогерентным излучением при малых N равняется 1/Л — времени жизни атома по отношению к спон­танным переходам, а при больших N сокращается в 2JV-f-l = = cih(%a_sil2v.T) раз.

Фактически мы здесь рассмотрели простую модель релаксации, в которой термостатом служит некогерентное электромагнитное излу­чение, окружающее атом (§7.7).