§ 2.4. Вынужденные переходы в случайном поле

До сих пор поле, индуцирующее переходы, считалось монохро­матическим. Пусть теперь E(t) произвольно зависит от времени. Согласно (2.1.22) амплитуда перехода в первом порядке теории возмущений имеет в дипольном приближении следующий вид (при условии c₁(t_a)= 1):

i

c_a(l) — -L\ dt'expii^t'j^d^E^n, (2-4.1)

I о

где сб = х, у, z—индексы декартовой системы координат. Квадрат модуля этого выражения определяет вероятность перехода:

t

^Р_п ^{(0=А"12 d}_2m^{d^ I \ dt' rfr" exp [Ki tt'—П] E}_a^(t')E_e ^{(l"). (2.4.2)}

Корреляционные функции. Рассмотрим далее случай, когда поле имеет хаотический, случайный характер. При этом Р надо усред­нить по соответствующему распределению вероятностей, так что в (2) вместо парного произведения амплитуд полей Е_№Е$ появится матрица вторых моментов поля¹)

<ЕгЛПЕъ(О>^0_ае(Г, Г) = С^\ Г). (2.4.3)

Это равенство определяет некоторый тензор, каждая из девяти компо­нент которого является функцией двух аргументов. Матрицу вторых моментов (3) называют также тензором корреляции поля. Еще один эквивалентный термин — функция когерентности поля (первого по-

^г) Угловые скобки означают усреднение по статистическому ансамблю полей рядка). Полностью статистические свойства случайного поля задаются набором моментов (функций когерентности) всех порядков и для все- возможных пар «точек» г). Подробнее статистическая оптика -будет обсуждаться в гл. 7, а здесь лишь отметим, что нечетные моменты шля, как правило, равны нулю, а моменты порядка 2п определяют ве- роятности гс-фотонных переходов. Укажем также, что сумма диаго- нальных компонент матрицы вторых моментов ^,G_aa (итур или след матрицы) при совпадающих аргументах определяет среднюю плотность энергии электрического поля <£^г>/8л в рассматриваемой точке.

Важнейший класс случайных полей составляют стационарные пояя, статистические характеристики которых (интенсивность, спектр, поляризация) не меняются с течением времени. Функция корреляции стационарного процесса может зависеть лишь от разности двух ее аргументов:

G_a&{f, f) = G_aa(t' + t„ r + /_e)_s(3_ttf(('-r). (2.4.4)

Из (4) и определения (3) следует свойство симметрии:

^G_eP^{(_0 = G,ta(0; (2-4.5)}

в частности, G_aa(t)—четные функции времени.

Итак, согласно (2) и (3) вероятность перехода под действием стационарного случайного излучения определяется тензором кор­реляции поля:

t

^{/,„ = ^22 C4j IS rf/'rexpKir-rOG^fC-O. (2.4.6)}

Скорость перехода. Будем интересоваться действием возмущения за большие интервалы времени — много большие, чем время кор­реляции поля х_Е (§ 7.2). При этом можно устремить пределы интег­рирования в (6) к ± со. Сделаем замену переменных = — t_s = t'-\- f. Интегрирование по t₁ дает фурье-образ С_ор(ю_В|), назы­ваемый тензором спектральной плотности поля:

Й_ае И ^ (2лГ J dt e'-'G^ (0 = G;_fi (__ш) = G^ (со) =G^ (a). (2.4.7)

Обратное преобразование имеет вид

G^(0 = $<fo>e-^G_afiH. (2.4.8)

Бесконечные пределы интегрирования, как это принято, опускаем и обозначаем функцию и ее фурье-образ одинаковыми буквами. Вто­рое интегрирование (по t_s) дает просто время наблюдения t_c, так что можно определить не зависящую от времени скорость пере­хода W = Pl{t — t_a). Пусть дипольный момент перехода параллелен оси х, тогда окончательно получаем следующее простое выражение для скорости перехода:

(2.4.9)

Итак, скорость вынужденного перехода под действием случайного (шумового или некогерентного) возмущения пропорциональна спект­ральной плотности возмущения 0(b)) на частоте перехода. Выражение (9) полезно сравнить с формулой (2.2.11), определяющей скорость перехода в случае монохроматического поля: эти формулы совпадают при замене ]£_с|²£(к>)-»-0(ы).

В приведенном выводе не принималось во внимание уширение уровней Да в результате процессов релаксации. Однако интуитивно ясно, что этот вывод должен сохранить силу в случае, когда Дм много меньше ширины спектра возмущения Дш^—1/tj.. Поле при этом назы­вают некогерентным. В противоположном случае поле .можно, очевид­но, полагать монохроматическим, когерентным.

Коэффициент Эйнштейна fl. Рассмотрим теперь изотропное непо-ляризованное излучение, для которого G_ap=Gb_ap. Перейдем при этом от G(<») к спектральной плотности энергии р(и). Последняя опреде­ляется через плотность энергии следующим образом (полагаем п=1):

SIV = <Е^г + №>/8л = ) йЪр(at). (2.4.10)

о

В поле излучения Е=Н, поэтому

со

= 2 (i = 0)/4л = 3 J da G (ы)/2л, (2.4.11)

в последнем равенстве использована связь (8) при 2 = 0 и учтено, что согласно (7) 0(а>) —четная функция. Из сравнения (10) и (II) получаем связь спектральных плотностей амплитуды и энергии поля:

G(w) = 2jip(«)/3. (2.4 12)

Подставив (12) в (9), находим окончательно скорость перехода в изо­тропном неполярнзованном шумовом поле с широким спектром:

У_И-5_ЯРК.). (2.4.13)

B_n=B_li^(2n\a_il \ihy$.

(2.4.14)

Коэффициент пропорциональности В между скоростью перехода и плотностью энергии называется коэффициентом Эйнштейна для вынужденного перехода. В следующем параграфе, исходя из найденной Планком функции p^t0) (а) для равновесного излучения, мы найдем вто­рой коэффициент Эйнштейна Л, равный скорости спонтанного перехода.

"Спектральная плотность поля. В заключение настоящего раздела поясним физический смысл спектральной плотности поля 0(о>). Для этого формально представим E{t) в виде интеграла Фурье (индекс а опускаем):

£(/)«=?*»«-»*£(<»), (2.4.15)

£((о)= \ dt^E(t)(2n. (2.4.16)

Строгое определение фурье-представления случайной функции см. в [24]. Найдем с помощью (16) и определений (3), (4) корреля­тор фурье-компонент поля:

^{<£ (о) Е (а')> = J At dl'G (г—Г)/4л2. (2.4.17)}

(2.4.18) (2.4.19) (2.4.20)

(2.4.21)

^{Сделаем в интеграле по t замену переменных t}₁ ^{= t — г', тогда интеграл по t}_t ^{даст согласно (7) 2лС(со), а второй интеграл даст 2л S (« + м') согласно одному из представлений 6-функции:}

г

lim J (fte"* —2я6(ш).

-г

В результате

<£ (а) £ (ш')> = G (ю) 6 (о> + со').

Из (16) при учете вещественности E(t) следует

Е(а} = Е*(—а>)₁

поэтому (19) можно представить также в виде

<Е (а) Е* (о)')> = G (м) 6 (со—&').

Таким образом, в стационарном поле коррелируют только гармо­ники, отличающиеся лишь знаком частоты, и их корреляция опреде­ляется спектральной плотностью G(ta). Это означает, что показания фотодетектора, измеряющего энергию поля в полосе частот Дм со средней частотой ш, будут пропорциональны 0(«) Дш.