§ 2.3. Сечение и коэффициент поглощения

Связь интенсивности и амплитуды поля. Чтобы перейти от скорости перехода W к сечению a = W(F и коэффициенту поглощения (или уси­ления) a=oAN, надо выразить квадрат поля |Со1³ через плотность по­тока фотонов F[c~^j'Cm^_j] или интенсивность волны I=h(oF [Вт/см*].

Найдем сперва энергию волны Из уравнений Максвелла следу­ет, что мгновенная энергия поля, заключенная в объеме V прозрачного изотропного немагнитного вещества с диэлектрической постоянной е, равна

<£(0= $<Гг(е£² + Я³)/8л. (2.3.1)

v

В случае плоской монохроматической волны

Е={№)еЕ^*-'-т + _к, с, Н=пкхЕ. (2.3.2)

Здесь е—единичный вектор поляризации, k = knwjc—волновой вектор, ft—единичный вектор в направлении распространения, п = У &—показатель преломления. Подстановка (2) в (1) и усред­нение по времени приводят к следующей связи между средней по времени энергией и амплитудой плоской волны:

£ = ЩГ) = п*У | Е, \'{8п. (2.3.3)

Интенсивность волны равна, очевидно, плотности энергии 4>iV, умноженной на скорость волны с/п:

1 = сп\Е, |³/8я.

(2.3.4)

Заметим, что в этом выводе не принималась во внимание частотная дисперсия среды е(ю). Для ее учета надо в (1) заменить е на d(<at)^fd(a (см., например, [22 , 23]), так что в (3) вместо n^z будет выражение

(1/2) Ы(<ов)Ша+ъ]=сЧии, (2.3.5)

где v=c/n — фазовая скорость и u=da/'dk — групповая. Плотность энергии теперь надо умножать на и, и в результате снова получается та же связь (4),

Сечение резонансного взаимодействия. Подставив в выражение (2.2.11) для вероятности перехода W вместо квадрата поля |£₀1^а плот­ность потока фотонов F, найдем сечение перехода, равное по определе­нию WIF (полагаем я = 1):

0_Я„ =- (№1%с) щ И | \\ (2.3.6)

где а™, = ё_л„-е.

Сечение перехода максимально при точном резонансе (ю=<1>_тл>0); в случае лоренцевой формы линии (2.2.13а)

о_л„₀ = 8яш_яи|4!Й,|'/^А_ш. (2.3.7)

Для наглядности можно представить, что о — площадь «тени», от­брасываемой атомом. Оценим эту площадь. Ширина линии Д<о не может быть меньше так называемой естественной ширины, определяе­мой спонтанными переходами. В дальнейшем будет показано (§2.5), что

Аа>^ = 4ый, | d_mil = 1/Г, _есг, (2.3.8/

где 7"_1ест — время жизни атома в возбужденном состоянии, ограни­чиваемое спонтанными переходами в основное состояние. Пусть d_ma\e, тогда, подставив (8) в (7), получим

.(3/2л) (Дсо_ес1/Лй>) %*.

(2.3.9)

лот 1 ,

При случайной ориентации вектора d_m„ имеем |d„₄|^a=3|d^ так что в (9) появляется множитель 1/3.

Таким образом, если столкноактельная и доплеровская ширины много меньше естественной, то «тень» атома по отношению к резонанс-ным оптическим переходам имеет линейный размер порядка длины волны X—10~⁵ см (вместо размера атома аа~10~⁸ см). В разреженных газах основную роль играет доплеровское уширение, имеющее порядок Д/==Д(1)/2л~ 1 ГГц; естественная ширина для разрешенных оптиче­ских переходов на два порядка меньше, поэтому о-~Я^а/100 (в случае магнитодипольных переходов Д/_есг'-'10* Гц и сг—* Ю~⁰Я^а).

Кинетика населенностей. Рассмотрим, как изменяются средние на елейности уровней N_m, определяемые следующим образом:

N_m^\c_m\*M₀, (2.3.10)

где /V₀— общее число атомов. Таким образом, мы здесь переходим от рассмотрения одной частицы к свойствам системы из Ы» одинаковых невзаимодействующих частиц. Скорость перехода определим так

(ср. (2.2.10)):

W_mn^d\c_mWdt. (2.3.11)

Отсюда скорость увеличения населенности iV_m конечного состояния т должна быть Na^W_m„. Однако выше предполагалось, что начальное

состояние п занято с вероятностью единица; здесь же эта вероятность равна N_n!N₀, поэтому N_m=^W_maN_a. Если учесть, кроме того, уход частиц с уровней, то получаем следующую систему уравнений для на­селенностей:

dNjdt^ZiW^N^W^NJ. (2.3.12)

Здесь пока не учитывается релаксация: вообще же скорости W_ma долж­ны включать и вклад хаотических полей, создаваемых окружающими частицами. Такие уравнения изучают в неравновесной термодинамике, их называют кинетическими или уравнениями баланса населенностей. Если в обмене участвуют только два уровня, то

ЛГН-ЛГ,=ЛГ₀ (2.3.13) и достаточно рассматривать лишь одно из уравнений (12). Изэрмитово-сти оператора возмущения следует W_lz—W_ul=W (см. (2.1.24)), так что

#i=—ЛГ,=1Р(Я»— ЛГ_Ж>- (2.3.14)

Кинетика фотонов. Каждый переход вниз сопровождается излуче­нием одного фотона, а переход вверх — поглощением, поэтому скорость

излучения фотонов ^J) равна N_u и уравнение переноса для фотонов имеет вид

d№t+ V (uN)=dNM, (2.3.15)

где N(r, t) — концентрация фотонов и uN=F—вектор плотности потока фотонов. Отсюда в стационарном одномерном случае, когда dN/dt^O и F=FJz),

dFidz=W{N_i—N_i). (2.3.16)

Далее, из определения сечения перехода следует

dF/dz=~a (N_t—JV_S) F=~aF. (2.3.17)

Пусть населенности не зависят от г, тогда из (17) следует экспоненци­альный закон изменения интенсивности ^!) света:

F{z) = F{Q)e-**, (2.3.18)

где коэффициент поглощения (или при N₁ < N₂~усиления) согласно (6) равен

а м. (4п*/йс) og (со) J dff р (N, — N_s). (2 3.19)

Коэффициент" резонансного поглощения. Максимальное (резонанс­ное) значение коэффициента поглощения в случае лоренцевой формы (2 2.13а) равно

а_а= (8я/Йс) Kt/Aoi) | р №- Лд

(2.3 20)

Заметим, что в стационарном случае N_m—0 и из (14) при У?Ф0 сле­дует jV₁=itf₂, так что, казалось бы, всегда а=0 (это явление выравни­вания населенностей под действием поля называется эффектом на сыщения). Однако не учитываемые в (14) процессы релаксации (спон­танные переходы, неупругие столкновения атомов друг с другом и с электронами в газах, взаимодействие с колебаниями решетки в твер­дых телах, безызлучательные переходы) стремятся восстановить исход­ную разность населенностей N\—(V₂, и поэтому в случае достаточно малых полей насыщением можно пренебречь.

*) Понятие фотона в ранках пол у класс и ческой теории излучения не возникает, и здесь более последовательно было выговорить об изменении энергии поля на %w, а не числа фотонов. Однако фотонный язык удобнее ввиду его наглядности

^s) Напомним, что интенсивность / пропорциональна F, а именно 1=%<оР.

В оптическом диапазоне для разрешенных переходов с естествен­ным ушнрением величина а_а достигает значения 1 см^-1 при относн­

тельно небольшом числе активных частиц \AN\=N_t—Aff. При %= =0,5 мкм согласно (9) \АМ\=2пщ/Зк'¹=Ю^а см^-3. В рентгеновском диа­пазоне?- на 4 порядка меньше и |AJV|ft;10^ir см~³.

В парамагнитных усилителях СВЧ-диапазона ширина линии опре­деляется диполь-дипольным взаимодействием парамагнитных ионов. В кристалле рубина (Al₃O_s-f-10~³ Сг) при концентрации ионов хрома I0¹⁹ см^-3 ширина линии имеет порядок 50 МГц. Заменяя в (7) d на \i, для Х=1 см получаем а=8лр²/^Л/=5- Ю~™ см¹. Практически дости­жимое в парамагнетиках число активных частиц примерно равно равно­весной разности населенностей ДЛ^я'^|=ймЛУи7^,£-яаЛУ10=10¹⁸ см~⁸ {здесь g~2S+1=4 — вырождение основного уровня иона хрома, снимаемое постоянным магнитным полем, S — спиновое число). От­сюда а₀=0,05 см^-1, и для получения усиления G=100 необходима дли­на кристалла /=(1п G)/a₀m\ м. Для сокращения / кристалл помещают в объемный резонатор, т. е. применяют многократное прохождение сигнала через вещество, или в замедляющую систему. В последнем случае приведенные выше формулы для а и а сохраняют смысл при замене скорости света в вакууме на групповую скорость волн в за­медляющей системе u=dKldz, где К — постоянная распространения.

Полоса, усиления. Вследствие экспоненциальной связи (18) между коэффициентом- передачи 0=F(i)/F(0) слоя вещества с толщиной [ и коэффициентом поглощения а наблюдаемая частотная зависимость G(«) при \а\£^>1 (большая оптическая плотность) будет отличаться по форме от функции а(со). Легко убедиться, что этот эффект приводит к обострению наблюдаемого резонанса при «<0 и к его ушкрению при сС>0 (рис. 2.4), Пусть се<0 и функция а((о) имеет лоренцеву форму. Определим полосу усиления Д<о' условием уменьшения величины 0((о)—1 на граничных частотах вдвое по сравнению с ее максимальным значением, тогда из (18) находим

(2.3 21)

где G₀=exp( — а„1). Отсюда при G_a—1<^1 следует Д<о' = Дю, а при обратном неравенстве

(2.3.22)

Таким образом, полоса усиления с ростом длины усилителя сужается довольно медленно. Например, при G_o=100 (а„/=—4,6) отношение (21) равно 0,417 (приближенные выражения (22) дают 0,42 и 0,46).

⁰ Учет вырождения уровней. Выражения для коэффициента усиле­ния и условие инверсии AV^-JVi были выше получены в предположении, что уровни энергии атомов не вырождены. Пусть теперь g_t различных по каким-то параметрам состояний имеют одну и ту же энергию Si и g_e состояний имеют энергию tc?₂:

0 0

(2.3 23)

возмущения надо заменить на двойные li или 2/. Вероятность вы­нужденного перехода между состояниями М и 2/ согласно (2.2.11) пропорциональна соответствующему матричному элементу:

Число переходов вверх или вниз пропорционально населенностям исходного состояния N_u или iV^, поэтому

{W^N.j-W^uNu). (2.3.24)

i = i

Скорость изменения общей населенности уровня N_lms'^N₁i будет равна двойной сумме по вырожденным состояниям:

ч

Предположим теперь, что эффекта насыщения нет и процессы релаксации или механизмы инверсии приводят к равномерному распределению населенностей по подуровням:

N,_t = ffife^ *«/=AVft- (2-3-26) В результате (25) принимает вид (ср. (14))

Nj = — W AN', (2.3.27) где

(2.3.28)

Итак, для учета вырождения в формулах вида (20) надо пони­мать под W сумму W и под AN—разность «населенностей состоя­ний» N_mlg_m. При этом условие инверсии имеет вид

(2.3.29)

Пусть, например, ц_г^=\ и g_s = 3, тогда для усиления необходимо, чтобы N_t > 3N_t. Напомним, что согласно распределению Больцмана

tff/ЛГ = [ЯМ ехр (-^_а1/хГ)

(2.3.30)

■ и JVi^0J < ЗЛГ?>.