§ 2.2, Переходы в монохроматическом поле

Дипольное приближение. Применим общую формулу (2.1.23) к случаю гармонического возмущения. В большинстве задач кван­товой электроники применимо дипольное приближение для энергии взаимодействия зарядов с полем (§ 7.3):

^{<F>~ — d-E = — d.{E}_m^л~ш-ЬЕ'_а ^{е1ш')/2. (2.2.1)}

Здесь амплитуда Е„ электромагнитной волны предполагается по­стоянной в пределах рассматриваемой системы—атома или моле­кулы (так как в оптическом диапазоне л ~ 10^_4см^>а_(> ~ 10"*см, где а₀—боровский радиус).

В случае одноэлектронного атома оператор дипольного момента d равен произведению заряда электрона на его радиус-вектор: й= — ег, так что матричные элементы равны

^« = -rf«-(£ee-'^uf + K- с)/2, (2.2.2)

й_ШЛ = -.*\&тг$м» (2.2.3)

где к. с. означает комплексно сопряженное выражение. Для раз­решенных переходов интеграл в (3) имеет порядок размеров атома а„, так что

^,~вг₍-10-"СГС=1Д. (2.2.4)

В случае магнитодипольных переходов, которые используют, в част­ности, в парамагнитных усилителях, надо в (2) сделать замену электрического поля £"„ на магнитное И„ и d на магнитный диполь-ный момент fi, равный по порядку величины магнетону Бора:

V-mn ~ (1_в = еЙ/2тс« 0,9-10-^аоСГС. (2.2.5)

Вероятность перехода. Подставив (2) в (2.1.23), найдем (при t_e^0)

р Mw р expt'faiBB—«М—¹ t и с" ехр f'faw + a) Ц—1

*"> ~ Us" ° ™ 7, 7, г «я,»* с₀ —■—

(2.2.6)

Будем далее рассматривать вынужденные переходы вверх (&>_тп>0) или вниз {<в_тл<0) при условии резонанса между частотой поля (ю>0) и частотой перехода:

а~\а_щп\^>-Ы—\ш_тп\\. (2.2.7)

При этом одно из слагаемых в (6) много больше другого и последнее можно не учитывать — так называемое приближение вращающейся ¹) волны. Например, при вынужденном поглощении основную роль игра- ет первое слагаемое, пропорциональное по.южительно-частотной части поля £V~^,aV2, а при вынужденном излучении — второе, пропорциональное отрицательно-частотной части ££e^lu"/2 (в кван- товой электродинамике амп- литуды Ев, £"о*являются one- р с"' раторами, пропорциональны- ми операторам уничтожения а и рождения а⁺ фотонов — см. § 7.4).

Итак, в нервом порядке те­ории возмущения вероятность обнаружить атом на уровне т в момент времени t при на­чальном условии с„(0) = 1 рав­на

sin {mt;2)

р =

ЯП

2% L

м/2

(2.2.8)

где ваш—1 Итоп !■ Согласно этой формуле зависимость вероятности перехода от ча­стоты внешнего поля имеет резонансный характер, при­чем острота резонанса возрастает с течением времени (рис. 2.2). В результате в пределе при t->-ao вероятность перехода оказывается пропорциональной б-функции Дирака:

lim

sin jwt/2) ю/2

2я/5(ш).

(2.2.9)

Правильность выбора множителя при б-функции проверяется интег­рированием обеих частей равенства (9) по w.

Пропорциональность вероятности перехода времени действия воз­мущения t позволяет ввести вероятность перехода в единицу времени (ее называют также скоростью перехода):

(2.2.10)

*) Название связано с тем, что на комплексной плоскости вектор е-^!га{ вращается в отличие от осциллирующего вектора cos Ш.

Таким образом, скорость перехода пропорциональна квадрату поля, т. е. интенсивности волны. Наличие6-функции в (10), отличной от нуля лишь при точном резонансе, легко понять с фотонной точки зрения: согласно закону сохранения энергии изменение энергии атома на

&т—4>п=&в>тп должно сопровождаться излучением или поглощени­ем фотона с энергией Аа>.

Учет ширины уровней. Практически, однако, всегда имеются до­полнительные возмущения (например, столкновения в случае газа), которые уширяют энергетические уровни, и в результате резонанс даже при f-*-oo принимает конечную ширину Аа (в случае столкнове­ний Дю=2/т, где т — среднее время между столкновениями). Для учета конечной ширины резонанса надо 8-функцию в (10) заменить на форм-фактор g(«), описывающий истинную форму спектральной линии и также нормированный на единицу:

r„„ = 2n[rf_BB.E₀/2ftpff{a),

d to g (со) = 1.

(2.2.11)

(2.2.12)

При ушнрении столкновениями спектральные линии имеют лорен-цеву форму (рис. 2.3, кривая /):

Вероятность перехода максимальна при (й = 1ы_яя()

W_a = Q\>Aa,

(2.2.14)

где Q = \d_mil-E_t)\/A — частота Раба. Эта величина имеет размер­ность частоты и характеризует возмущение атома резонансным монохроматическим полем.

Итак, вероятность вынужденного перехода пропорциональна интен­сивности света, квадрату матричного элемента дипольного момента и обратно пропорциональна ширине спектральной линии.

Последняя зависимость характерна не только для столкновитель-ного уширения: из условия нормировки (12) в общем случае следует, что g(0)~l/A®. Например, в газах при низких давлениях Аа> часто определяется эффектом Доплера, который дает гауссову форму линии. На рис. 2.3 сравниваются формы спектральных линий в случаях уши­рения из-за столкновений (см. (13з)), из-за эффекта Доплера, когда

«.И-^(^)"«р[«-(-Ь)^,1п2],

и из-за конечного времени взаимодействия t (ср. (8)), когда

, . 0,886 . ,/2,78т \ л 5,56 ,„„,«,

Et Н = -д^мпс» _т , Д«—-p. (2.2.13b) где sine jc^(sin x)lx и Ды — полная ширина линии на уровне 1/2. Из рис. 2.3 ясно, что конкретный механизм уширения заметно сказы­вается лишь на крыльях линии. Заметим, что амплитуды нормирован­ных по площади форм-факторов (13) при точном резонансе и в случае одинаковых До> относятся как

^{X;(!J^y^»,:i,47:1.39. (2.2.15)}

Выше при выводе (11) функция (2/и)³ sin^s(fc>f/2), полученная из теории возмущения (здесь © — расстройка частот поля и перехода), была заменена на 2ntg(u>). Поясним смысл этой процедуры на примере модели «сильных» столкновений. Согласно последней каждое столк­новение мгновенно переводит атом обратно на исходный уровень, по­сле чего он начинает заново взаимодействовать с полем. При этом надо заменить в (8) t на t—t_a=At, где U— момент последнего столк­новения. В газе интервал времени At, прошедшего от последнего столкновения данного атома до какого-либо фиксированного мо­мента i, является случай­ной величиной с экспонен­циальным распределением (см. [241, с 35):

Р(Дг)-ехр (—Д*/т)/т,

(2.2.16)

гдет — среднее время меж­ду столкновениями.

Поглощаемая (или из­лучаемая) атомом мощность пропорциональна мгновенной скорости перехода в данный момент времени t:

Г(Л^<№/Л=Р%1п(о)Д*)/2й>. (2.2.17)

Здесь для вероятности перехода Р было использовано выражение (8). Средняя скорость перехода определяется усреднением (17) с гюмощью (16):

W^^d(At)P(At)W(At)~^L-. (2.2.18)

о

Последнее выражение согласуется с (11) и (13а) при замене т на об­ратную полуширину линии 2/Ди. Интеграл в (18) легко находится заменой sin х на Im ехр(«).