0Онным11.

Нетрудно найти также результаты действия операторов а и а⁴" на JV-состояния:

a\Ny = N^v^\N—\y, (7.5.16)

a-|JV> = (,V + 1)1Л|ЛГ+1>. (7.5.17)

Эти соотношения объясняют смысл названий операторов а и а*^- и показывают, что JV-состояния не являются собственными для опе­раторов q, р, а, а^т. Следовательно, если поле находится в каком-либо N-состоянии (включая вакуум), то результаты измерения напряженности поля будут испытывать квантовые флуктуации. Этот вывод следует сразу из того, что Ж_ъ не коммутирует с q, р.

Согласно (17) /V-состояние можно получить, подействовав JV раз оператором а⁺ на вакуум:

|Л> = (Л/!)-»'» (a+)V[0>. (7.5.18)

Однако практически перевести какую-либо моду свободного поля или резонатора в чистое jV-состояние (не считая вакуумного) очень не­просто, особенно при JV^2. Обычно реальное состояние моды является некогерентной смесью нескольких первых iV-состояиий, а в случае идеального лазера — когерентной суперпозицией множества .^-со­стояний.

Все приведенные выше соотношения откосились к фиксированному моменту времени. Временная зависимость вектора состояний одной моды свободного поля в представлении Шредингера определяется урав­нением

iAd\t->fdt = S?,\t>, (7.5.19)

и если в момент i = 0 состояние моды было /V-фотонньщ, то со­гласно (12)

|OAr=|jV>e-"^Vu,' = |jV, *>, (7.5.20)

где 4> — Ck. Следовательно, в N-Состоянии средние значения, моменты и распределения всех наблюдаемых, в том числе q, р, стационарны. Произвольное чистое состояние моды зависит от времени следующим образом:

|/> = 2сдг|Лг. /> = c,,|0> + c₁e-^to'|l>+"-. (7-5.21)

л

где с_ж= <JV ] f„>. При наличии токов коэффициенты в этом раз­ложении зависят от времени, обычно медленно по сравнению с exp (— ioit).

До сих пор мы говорили о состоянии одной моды. В случае независимых мод энергетическая волновая функция всего поля получается просто перемножением модовых энергетических функций

« определенными числами фотонов.

1М>*=П|ЛГ*>*^|Лг₁₍ N_v ...>, (7.5.22)

к

⁽> = 1№1> ехр {—l£tfh), tf = S2JV**>*- (7 5 23)

Таким образом, энергетическое состояние поля задается указа­нием чисел фотонов {N_k} во всех модах {числами заполнения), а про­извольное состояние поля можно представить в виде суперпозиции состояний со всевозможными сочетаниями {N}:

10-2 c({N_k})\{N_k], ty. (7.5 24)

{•4}

При наличии сторонних токов амплитуды состояний c({N_h)) за­висят от времени, и для их определения необходимо использовать теорию возмущения (ср. §2.1).

Когерентные состояния. Как показал Глаубер [54], удобную ба­зисную систему образуют также собственные функции неэрмитова ■оператора уничтожения фотонов:

а I г> = г I z>.

(7.5.25а)

■Состояния | г> называются когерентными. Поскольку а ~ щ+ ip, то можно ожидать, что спектр а непрерывный и комплексный, т. е. 2 = г'-И'г" — произвольное комплексное число,

Из определения (25а) следует, что действие произвольной опе­раторной функций f{a) на вектор (г> сводится к его умножению на обычную (с-числовую) функцию /(г):

/(a)UW(z)[2>. (7.5 26)

Сопряженное к (25а) равенство имеет вид

<г|а+ = 2*<г [ (7.5 256)

— кэт-векторы <г | являются левыми собственными векторами для -оператора а⁺.

С помощью (25), (26) сразу находим среднее число фотонов б когерентном состоянии | гу, или, короче, в г-состоянии:

<ЛГ>,^<г 1 |z>Hz|«. (7-5.27)

В случае 2-состояния элементарно вычисляются также все факто-риальные моменты (см. (7.4.9)) числа фотонов:

G«« <г |: Л"": [ z> = | z <Nyf. (7.5.28)

Это равенство выражает свойство факторизации моментов.

В (28) использовано обозначение :N^m: = :cf~a - . . а⁺а: = а^+та^т. Вообще двоеточия :. .: означают операцию перестановки опера­торов а⁺ и а в нормальном порядке, при котором все операторы а в произведениях оказываются правее операторов й⁺. При этом пре­иебрегается некоммутативностью операторов, т. е. внутри двоеточий операторы можно писать в любом порядке Заметим, что операция нелинейная, например, оператор :аа⁺: = ia⁺a-j-!: =а+а не ра­вен оператору :а*а: -\-1 — а+а + 1. Из (25), (26) следует

Of (a*. a)i>, = f (г*, г).

(7 5 29}

Чтобы найти среднее от произвольного оператора j{a*~, а) в z-co-стоянии, достаточно представить его с помощью равенства aa+~a⁺a+f в виде суммы нормальных операторов и заменить а⁺ на г* и а на г. Часто приведение к нормальной форме можно выполнить с помощью разложения в ряд-

/(пЛ а)^с_тпа+*а\

™ (7.5.30)

Например,

<аа⁺>_г = <аЪ+ !•>, = ] г |²+1,

№~а⁺аа+а = а⁺ (а+а + /)а- ;JV*: +JV, <Л/«>,=.|г|*-Ыг|^в.

С помощью последнего равенства можно выразить второй момент и дисперсию <AjV*> = <jV^e> — <Ny* через первый момент:

<JV«>,= <ЛГ>, «JV>,+ 1), <AJV«>,= <W>,. (7.5.31)

Полученная связь характерна для пуассоновской случайной величины (см ниже).

В общем случае задача «нормализации» произвольного опера­тора является непростой (см. примеры в [55]). Иногда при этом помогает использование следующего операторного тождества [53j:

= Се¹¹" ^С-'е^е^"*, (7.5.32)

где С == exp (jxtj/2) При г\= — (i* оператор (32) называется опера­тором смещения н обозначается О (р.):

^{D(u)^exp(u.a+ — ц*а). (7 5.33)}

Из (18), (33) и полученного ниже равенства (38) следует

Щ«)|0> = |2>. (7.5.34)

Можно показать [54], что классический сторонний ток j_k переводит моду из вакуумного | 0> в когерентное состояние \ г'у, т. е. его дей­ствие описывается оператором смещения. Амплитуда z при этом совпадает с классической амплитудой, определяемой из (7.3.31).

Покажем, что действительно разброс энергии осциллятора в г-со-стоянни будет пуассоновским, т. е. фотоны в случае когерентного состояния поля ведут себя в некотором смысле подобно хаотическому потоку песчинок. Для этого надо найти матрицу преобразования

<N [ z>. связывающую базисы [ My и ] г>. Умножим (25а) счеса на <JV |:

<N\a\z> = z<N\zy. (7.5.35)

Отсюда ври учете (9) и (17)

(ЛГ+1)'* <N + \\zy = z<N\zy.

Из эти рекуррентной связи находим

<ЛГ | г> = (ЛЧ)-^ z^v <01 z>. (7.5 36)

■Оставшийся неопределенным элемент <0| г> можно полагать вещест-венным, при этом он находится из условия нормировки

<z|z> = 2l<^|z>|³-<0|z>^aexp|2|^a=l. (7,5.37)

Отсюда следует разложение z-состояния по N-состояниям:

\zy^\Ny<M\zy, (7.5.38)

л

<tf | 2> = {JV!)-'^ г^Л ехр (—] z]V2). (7.5.39)

Напомним, что <N\zy является ^-представлением когерентной волновой функции, а <г | Му = <ЛГ | г>*—-г-представлением энергети­ческой волновой функции. Следовашльно, верояшость обнаруже­ния N фоюнов в моде в случае ее когереншого состояния опреде­ляется распределением Пуассона с парамефом <Л/> = [г|^г:

Р(ЛГ|г)=<М>^л ехр(— <ЛГ>уЛМ

(7 5.40)

Легко с помощью (39) убедиться, что различные г-векторы не ортогональны друг другу (в 01личие ог jV-векторов):

<*i 12_г> = S <*i | NX.N | г,у = ехр [— |z, — г_г |V2 + / Im («!«,)], (7.5.41)

л

| <_?11 г_г> |^а = ехр (- j г,-*, |²). (7.5.42)

Этот недоситок не исключает свойства полноты (как и в случае косоугольной системы обычных координат), т. е. возможносш раз­ложения произвольных векторов и операторов по векторам | г> и диадам \z_ty<z^\ соответственно. Действительно, из (38) следует

_^'-•""'"Sw¹_^¹_- ^{(7 5}_-⁴³⁾

Просуммируем эти диады по всем г=ре"":

\d*z\zy<z\--= 2 | >и><ЛГ/(аг]^!)-^* J + j ^<«-mj_Tj

(7.5.44)

_де (pz = dz''dz°' = рф(^ф. Интеграл по ф дает 2лЗ,ум. а интеграл jjo Р Р^ав6Н М/2. Отсюда с учетом (13) получаем разложение опера­торной единицы по г-диадам, т. е. условие полноты в виде

^{/= л,"1 J d?z | z> <г|.}

(7.5.45)

Следовательно, произвольный вектор можно представить в виде | >_&n-¹5^2|2><z| >. (7.5.46)

j} частности,

|г₁> = я-¹$^г|г><г|г₁>. (7.5.47)

Это соотношение при учете (41) показывает, что орты |г> выра­жаются друг через друга, \. е. г-базис является переполненным (грубо говоря, число координат превышает число измерений про­странства).

Зависимость когерентного состояния от времени легко найти, подставив (20) в (38):

| z, t> = 2 [ ЛГ><# 1 z> e-"^v»' -1 ze-^,B*> = I z (t)>. (7.5.48)

Таким образом, свободная эволюция не меняет когерентного (как и энергетического — см, (20)) характера состояния, в отличие or q- или /j-состояний (см. ниже).

Если все моды находятся в когерентных состояниях, то вектор состояния всего поля будет

j{z_ft}>Hz₁>₁iz_a>_s...^|z_t, г„ ...>. (7.5.49)

Согласно (7.3.34) это! вектор является собственным для оператора положительно-частотной час]и поля E^w(r, t) с собственным зна­чением

E^(r, i) = iXw_kexp(ik-r-m_kt). (7.5.50)

к

Среднее значение поля в г-сосгоянии равно удвоенной вещественной части этого выражения:

<Ы|£(г, Щ{2_к}> = 2Яе&+>(г. i). (7.5,51)

Далее, согласно (29) все нормально-упорядоченные моменты поля (корреляционные функции)

^G?!.. _гл ^{- - - - Ё<-^. .. ££<> (7 5.52)}

(через которые обычно определяются показания оптических детекто­ров) в случае когерентного состояния аЬакторизуются, т. е. выра­жаются через произведения первых моментов:

2л

с⁽₁^п1.._1Л({г»}) = £Г⁾--.£^,+'

(7.5 53) 25Э

Здесь собственные значения полей Е^¹ = Е_а (r_h г,) определяются через совокупность {г_к} по формуле (50).

Координатные и импульсные состояния. По определению собст­венные векторы [ а> оператора координаш q удовлетворяют условию

q\q>=q\q>. (7.5.54)

Из о'' = о следует q*=qw <q\q = q<q\. Аналогично определяются собстенные векторы \ру оператора импульса: р\рУ = р\ру. Спектр q непрерывный, поэт ому ^-представление произвольного вектора состоя­ния, условия ортонормированности и полноты имеют вид

| >=\dq\q><q\ >, (7.5.55)

<q\q'y = e(q-q-), (7.5.56)

I=[dq\q-><q\. (7.5.57)

Согласно (56) q-векторы имеют неограниченную норму: <q\qy = = оо, что приводит к некоторым затруднениям. В качестве примера найдем с помощью общего правила |Д0) плотность распределения вероятности координаты для системы в состоянии | > = |^₁>:

Р {q Ы = С \<q | q,> 1²= С[8(q-q,)}\ (7.5.58)

С-^ЦК^) |'=$ ^[8(9-^)1*. (7.5.59)

Квадрат б-функции приобретает смысл, если использовать какое-либо ее представление с конечной шириной Aq. При этом б (0) = l/Aq (см. (6.2.107)) и можно заменить б (q)* на б (q)j\q. Ширина Aq выби­рается из физических соображений — она должна быть много меньше интервала, на котором рассматриваемые функции (те, на которые умножается б-функция перед интегрированием) заметно изменяются. В данном примере, однако, Aq сокращается, так как C = Aq:

P(Q\g_i) = b(q-q_i). (7.5.60)

Иногда удобнее использовать дискретные q- и р-представления с обычной нормировкой <<7„ \q„y = ^p_m | р_п> = o_ffl(1. Для перехода к дискретным спектрам [qj и {/>„} рассматриваемые волновые функ­ции ф(^)=<^|> и их фурье-образы ф(р)=<р|> надо считать или периодичными, или отличными от нуля лишь на конечных интерва­лах L и hK соответственно (ср. процедуру дискретизации волновых чисел в § 7.3). Это ограничение эквивалентно предположению о ма­лости изменения ф(о), ф(р) на отрезках Aq^ljK, Ap^A/L и фи­зически всегда оправдано для достаточно больших L и К.

Найдем далее функцию преобразования <q\p} (т.е. ^-представ­ление р-состояния), приняв

<q\p~-iA±<q\. (7.5.61)

В этом соотношении q является непрерывным параметром вектора <i?| и дифференциальный оператор действует на этот параметр. Умно-

— &х;<Я\Р>*=Р<Я\Р> (7-5.62)

(61) на |р>, получим уравнение

dq

с очевидным решением

(7.5.63)

Константа нормировки здесь найдена с помощью подстановки в (56) разложения единицы по диадам [р><р[:

dp <?|р> <р|?'> = в (?—*').

Согласно (63) в q-состоянии все импульсы равновероятны, а в р-состоя-нии все координаты равновероятны:

/>(/>|_?)~Кр|₉>|*=1/2яЙ, - ,₇г;^

Аналогично можно найти функцию двух переменных (q\z)^^₂(q), квадрат которой определяет плотность распределения координаты P{q\z) в г-состоянии (отметим, что символ P{z\q) не имеет смысла, по­скольку неэрмнтову оператору а не соответствует физическая наблю­даемая). Из (7.3.26) и (61) имеем

<q\a = u + dldq)<q\lV% (7.5.65)

где q-a=(m®lfiy^!* q и мы ввели массу т эквивалентного осциллятора. Умножение на | 2> при учете (25) дает

(д/dq + q-V2 г) (q\z> = 0. (7.5.66)

Этому уравнению удовлетворяет функция

<? | г> = С, (г)ехр [_ {q-У 2 г)²Щ. (7.5.67)

Аналогично

<р \ г> = С_а(г) ехр [— (р + i V"2 г)'(2], (7.5.68)

где рзшр/ршт)¹''¹. Нормирующие константы здесь определены лишь с точностью до фаз:

С, = (жа/пй)!/. ехр [- г"* + 1_Ъ (г)],

С_а= (яйшт)-»/* ехр [— z'^a + icp_a (г)]. k'.o.oyj

Согласно определению (7.3.26)

~q=(a +а⁺)/К2, р = (а—а+)//1^2, (7.5.70)

поэтому из (25) сразу следует

<Я\ = <г 151 г> - V2 г', <р>_г = К2 г". (7.5.71)

255

Здесь собственные значения полей E\^ = E_tl_ (г_;, /Л определяются через совокупность {г_к} по формуле (50).

Координатные и импульсные состояния. По определению собст­венные векторы | q'> оператора координаты q удовлетворяют условию

q\q> = q\q>. (7.5.54)

Из q⁺ = q следует q* = q и <q[q = q<q{. Аналогично определяются собственные векторы | ру оператора импульса: р \ ру = р | ру. Спектр q непрерывный, поэтому ^-представление произвольного вектора состоя­ния, условия ортопормированности и полноты имеют вид

| >=[dq\<f><.q\\ (7.5.55)

<q\q'> = Hq-q'), (7.5.56)

J=^dq[q><q\. (7.5.57)

Согласно (56) (/-векторы имеют неограниченную норму: <iq\qy~ = оо, что приводит к некоторым затруднениям. В качестве примера найдем с помощью общего правила (10) плотность распределения вероятности координаты для системы в состоянии | > = |<7i>:

Р«_?1_?1) = СК?1?₁>1³ = С[8(₉-_?1)]¹. (⁷-Ь-Щ

С-' = J dq | <q I _?1> |*= J dq [6 (q-_4l)]'. (7.5.59)

Квадрат 6-функции приобретает смысл, если использовать какое-либо ее представление с конечной шириной Aq. При этом 5 (0)= l/Aq (см. (6.2.107)) и можно заменить &(qY на 8 (q)/Aq. Ширина Aq выби­рается из физических соображений-—она должна быть много меньше интервала, на котором рассматриваемые функции (те, на которые умножается 5-функцня перед интегрированием) заметно изменяются. В данном примере, однако, Ад сокращается, так как C = Aq:

P(q\q,)=c(q-_qi). (7.5.60)

Иногда удобнее использовать дискретные д- и ^-представления с обычной нормировкой <о_и|q_Hy = <р_т\р„> = 5_W„. Для перехода к дискретным спектрам [q_n] и {р_и| рассматриваемые волновые функ­ции ф(^) = <1т|> и их фурье-образы т|)(р) = <р|> надо считать или периодичными, или отличными от нуля лишь на конечных интерва­лах L и %К соответственно (ср. процедуру дискретизации волновых чисел в § 7.3). Это ограничение эквивалентно предположению о ма­лости изменения ty(q), ty(p) на отрезках Aq=\lK, Ap^fifL и фи­зически всегда оправдано для достаточно больших L и К-

Найдем далее функцию преобразования <q\py (т.е. ^-представ-ление р-состояния), приняв

«1\Р = -йщ<Ч\- (7.5.61)

В этом соотношении q является непрерывным параметром вектора <q\ и дифференциальный оператор действует на этот параметр. Умно-

жив (61) на |р>, получим уравнение

-&lk«t\P> = P«t\P> (7-5-62)

дд

с очевидным решением

<g|p> = (2nh)~^^s е¹""^.

(7.5.63)

Константа нормировки здесь найдена с помощью подстановки в (56) разложения единицы по диадам |р><р|:

\dp<q\py <p\q'> = b{q—q').

Согласно (63) в q-состоянии есе импульсы равновероятны, а в р-ссстоя-нии все координаты равновероятны:

P(p\q)~l<p\q>\^\l2KH, . P(qlp)~\<q\p>\*=V2_n1i.

Аналогично можно найти функцию двух переменных {q\z)^^Jq), квадрат которой определяет плотность распределения координаты P(q\t) в г-состоянии (отметим, что символ P{z\q) не имеет смысла, по­скольку неэрмитову оператору а не соответствует физическая наблю­даемая). Из (7.3.26) и (61) имеем

<q\a=(q + d/dq)<q\IV2, (7.5.65)

где о = {т<о1%У^/г q и мы ввели массу т эквивалентного осциллятора. Умножение на | г> при учете (25) дает

(dldq + q—V2 г) <q 12> = 0. (7.5.66)

Этому уравнению удовлетворяет функция

<q| г> = С, (г) ехр [- (q~—V2 г)'/2]. (7.5.67)

Аналогично

<р | г> = С, (г)ехр [— (р-Н / 2 г)^г/2], (7.5.6S)

где ps рДЙшт)¹'⁸. Нормирующие константы здесь определены лишь с точностью до фаз:

С, - {mnliihy ех р [ - г"² + йр_г (г)],

С₂ = (tdUam)-*** ехр [— z'4-iip, (г)]. * '

Согласно определению (7.3.26)

5 = (а + й⁺)/К2, р = (a—e+)/i V2, (7.5.70)

поэтому из (25) сразу следует

<q>* = <z J g I г> - К 2 г', <р>, = К2 г". (7.5.71)

255

В результате следующие из (67), (68) распределения можно пред­ставить в виде

Piq\2) = n-*" ехр [-(?-<?»«]. Р[р\г)=я-^ ехр[— (£— <~руу].

(7-5.72,

Итак, в когерентном состоянии, распределения координаты и им­пульса осцилттора имеют гауссову форму с дисперсиями

<Д<?*> = A/2ima, < V> = Awm/2, <4<f > = <Л^> = 1,2 (7.5.73) и минимально возможным произведением неопределенностей'¹³}

AqAp^i/2. (7.5.74)

Распределения координаты и импульса при z Ф О отличаются от вакуумного лишь сдвигами начала координат на У2г' и V"2z\

их дисперсии при этом не возрастают (в отличие от дисперсии энергии—см. (31)). Относительные ширины распреде­лений Aq/<_qj> и Лр/<р> обратно про­порциональны г' и z".

Из (48) следует, что эволюция осцил­лятора в 2-состояннн описывается про­стой заменой г на z«e~"°'. Пусть 2_В — = zl~qjy^r2, тогда согласно (71) на­до в (72) полагать

<q> = q_B cos at, <p> = — q_g sin tor.

(7.5.75)

В результате распределения сдвигают­ся, не меняя формы (рис. 7-16):

P(q\z, /)=я-¹⁴'⁴ ехр [—(q—q_Q cos <nt}¹⁵], p(p\z,t) = n-i" ехр[— [р+ д„sin at)¹⁶].

(7.5.76)

Таким образом, средние значения координаты и импульса в случае когерентного состояния зависят от времени так же, как и соответ­ствующие величины в классическом осцилляторе. При возрастании |z„| относительные флуктуации уменьшаются и квантовый осциллятор становится все более похожим на классический.

Заметим, что волновая функция (67) при подстановке z_t= z {i) = = ^„е"""' должна удовлетворять уравнению Шредингера в (J-пред-ставленни:

256

(7.5.77)

(здесь и далее используются безразмерные величины q = q, р = р). Это требование позволяет определить фазу в (69). В результате «когерентную» волновую функцию можно представить в виде

_Ь {q, t) = zi-ч* ехр [- {_q~V2z_tyi2-zy +1(зд-шг/2)] -

^л-¹"ехр {—{q—<q_t»*/2 + i[i.q—«lt>/2)<Pt> —<*>№]}■ (7.5.78)

Выше мы нашли матрицы преобразования от ^-представления к р- и г-представлениям. Аналогично можно найти функции <N\ q'y = ^¹l¹.v(9)> определяющие распределения координаты в энергетических состояниях и распределение энергии в g-состояниях. Эти функции удовлетворяют уравнению (77) при замене d^/dt на — i/V <оф и равны полиномам Эрмита, умноженным на вакуумную функцию <0jq> = = ехр (—<7^г/2). Их можно найти, умножив (18) на <_q\ и заменив <q\a ⁺ на 2"^{1 2} (<? — d/dq)<.q\:

<q\ jV> = (2^aW! n¹!*)-^ (q—didq)^Nexp {— q*-!2). (7.5.79)

Сжатые состояния. Следует помнить, что в случае неэнергетиче­ских состояний распределения и моменты зависят от времени (см. (75), (76) для когерентного состояния). Можно показать, например, что (j-состояния периодически становятся р-состояниями и наоборот (рис. 7.18).

Рассмотрим изменение дисперсий координаты и импульса в случае произвольного начального состояния. Решения уравнений Гейзен-берга для операторов координаты и импульса имеют «классический» вид:

q (t)= gcosr-j- р sin и, p(j) = р cost — qsiax, (7.5,80)

где т = ю£, I? =3(7(0), OE=p(0).

В общем случае из (80) находим следующую зависимость диспер­сий координаты и импульса от времени:

D_q (т) = D_p (т—я/2) = D_q cos^? x + D_p sin² т + D_qp sin 2т. (7.5.81) Здесь введены обозначения:

Д,(0 = <[Д*(0]*>. Ax(t) = x{t)-<xlt)>, A^DJO), D_9/l(t) = <&q(t)Ap{t) + Ap(t)Aq{t)>/2 =

= <.a(ty~a+(ty>l2i~<q(t)> <p{i)y,

усреднение производится no начальному состоянию осциллятора | („>. Таким образом, дисперсии координаты и импульса осциллируют в протиеофазе с частотой 2о>, а их сумма является интегралом дви­жения:

D_q(t) + D_p(/) = D_q + D_p = 2{<N>-<a<><a»+ 3 = 2D_aar (7.5.82)

Согласно (81) дисперсии постоянны, лишь если Z>_e= £>_я и D_qp = Q. С помощью (70) можно проверить, что эш условия выполняются в случае энергетических (D_q = D_p=N -\-\j2) и когерентных (D_q = ~ О_я= 1/2) состояний.

В последнее время обсуждается возможность изготовления и ре. гистрации так называемых сжатых состояний [77], в которых Q_fl<^l/2 (или D_p<g.\/2) и D_QD_p=\lA (рис. 7.17). В таких состояниях флуктуа­ции координаты механического осциллятора или электромагнитного поля при повторных стробоскопических измерениях с подходящей

фазой будут много меньше нулевых флуктуации V %12та>. Таким об­разом, в принципе нулевые флуктуации не ограничивают предельно достижимую точность измерения координаты или им. пульса. Сжатые состояния могут пред­ставлять интерес для передачи информа­ции и для измерения малых сил, вызы­ваемых, например, гравитационными волнами 161]. Отметим здесь, что неко­торые вопросы квантовой теории изме­рений до сих пор привлекают к себе внимание 160, 61].

Мы рассмотрели четыре типа состоя­ний, порождаемых операторами р²+<?^а, p-\-iq, р, Я. и связи между этими состоя­ниями. Аналогично можно построить множество других типов состояний. От­метим собственные состояния оператора фазы 17, 13], наиболее близко соответ­ствующие классическому колебанию с определенной фазой.

Различные состояния удобно условно изображать на фазовой плоскости (17, р) в виде фигур различной формы с линей­ными размерами, равными неопределен­ностям Aq, Ар в этих состояниях (рис. 7.18). Площадь любой фигуры не может быть по порядку меньше единицы. Клас­сическое состояние осциллятора изоб­ражается точкой (q-i, р,), когерентное — кружком с единичным диаметром н центром в (q_lt рт), Л/-фотонное — тонкой окружностью с диаметром (JV+I/2)¹/² и центром в начале координат, ^-состояние — тонкой вертикальной линией, р-состояние — горизонтальной линией. Следует помнить, од­нако, что фигуры имеют чисто качественный смысл, строго им не со­ответствуют какие-либо совместные распределения P{q, р), которые в квантовой механике не существуют.

Как и сами состояния, отображающие их фигуры на фазовой плос­кости изменяются из-за естественной эволюции (описываемой уравне­нием Шредингера) или из-за редукции в результате обратного воздей­ствия измерительного прибора. Например, после точного измерения^ когерентный кружок на рис. 7.18 превратится в вертикальную пря-258

_Myjo. Процессу эволюции при свободных колебаниях соответствует вращение изображающей фигуры против часовой стрелки вокруг дичала координат с угловой скоростью со или вращение осей коорди­нат ц, р по часовой стрелке.

Смешанные состояния. Если поле взаимодействует (или взаимо­действовало) с другим квантовым объектом, например с атомом, то отдельных волновых функций поля $(х_Е, 0 и атома ty{x_A, t) не существу­ет по определению; можно говорить лишь об общей функции ty(x_E, х_А, t). Также нельзя говорить и о векторе состояния | )_fc данной моды fe, если она связана с другой модой k' или мо­дами. Например, классический точеч­ный источник с частотой а возбуж­дает сферическую волну, и поэтому все плоские волны с \k\ = a/c связаны. Аналогичное перемешивание равно-частотных («поперечных») мод дает дифракция. Разночастотные («про­дольные») моды перемешиваются за счет ангармонизма вещества [37].

Во всех тех случаях, когда систе­ма описывается с помощью неполного набора переменных, говорят, что она находится в смешанном состоянии (§3.1). При этом она вместо вектора состояния 1 ) характеризуется некото­рым оператором о, называемым опе­ратором плотности. В частном слу­чае чистого состояния оператор плотности р является диадой-про­ектором: р_ЧНС1=|}(|, а в смешанном состоянии р равен сумме про­екторов (см. (7)).

Оператор плотности, как и любой оператор поля, можно коли­чественно задавать в различных базисах (представлениях) с помощью матриц плотности вида p_:vjv- = <<V} р | Л/">, р_ч?-, p„> н т. д. Для пред­ставления оператора плотности поля обычно используется /^-базис, однако в некоторых случаях удобнее г-базис. Для одной моды р Можно выразить через Л'- и г-проекторы следующим образом (индекс моды к опускаем):

Р= 2 Р*л'|ЛГ><ЛГ'|= (7.5.83а)

^{= 1^гР(г)\г><г\. (7.5.836)}

Заметим, что здесь используется диагональное г-представление, что допустимо во многих случаях и связано с переполненностью г-базиса. Формула (836) называется представлением Глаубера—Су-даршана или /"-представлением. Условия нормировки и эрмнтовости р имеют вид

S P,V,V ~ 1 ■ PJVjV = P,V',V>

^{1&2Р(г) = 1, Р(г) = Р'(г).}

Среднее от любого оператора поля / выражается через р по муле </> = Sp(p/) (§ 3.2) или согласно (83)

</>= 2риЬ=( <PzP(z)<z\f\z>. (7.5.84а>

Отсюда с помощью (29) находим

<:/К, a);>=\&zP{z)f{z*, г).

(7.5.846)

Таким образом, функция Р(г) позволяет легко находить среднее от нормальных операторов. В частности, нормальные моменты опреде­ляются следующим образом:

G™=\d.HP{z)\z\*^a. (7.5.85)

Формулы (84) показывают, что весовая функция Р (г) играет роль вероятности того, что осциллятор имеет комплексную ампли­туду 2 (т. е. q = V"2z', p=\'^r2z"). Однако Р(г) может принимать отрицательные значения и даже при Р (z) = 6'^г> (г — г,) (т. е. в случае чистого 2-состояния) q и р испытывают нулевые флуктуации, поэтому Р(г) называют квазивероятностью.

Квазивероятность г-состояния Р (г) позволяет находить также и закон распределения Р (/) произвольной наблюдаемой/. Для этого надо в (84а) заменить / на проектор Р(/) = ]/></[:

P(f) = J d'z Р(г) | <г|/>|² = ] d>zP(f\z)P (z). (7.5.86,

Двумерный фурье-образ квазивсроятности Р (г) называется харак­теристической функцией (нормальной):

_x(fi, ц^,) = <ги»⁺е-»*«>*= J d/zPtye¹¹**-***. (7 5.87)

Это определение дает для всех состояний обычную (кеобобщенную) функцию (в отличие от Р (z)')). Из определения % следует, что для вычисления G^u" можно использовать вместо операции интегрирова­ния (85) более простую операцию дифференцирования:

^е,"-(-^^)"^х((1' ^'ч- ⁽⁷'⁵'⁸⁸⁾

Итак, смешанное состояние моды можно задавать с помощью матрицы p_NN, или одной из функций Р (г), %(и-, ц*).

^J) Например, Р (г) для .У-состояний пропорциональна производной порядка 2JV от 6-фупкции [56].

Смешанное состояние многомодового поля задается матрицей йлотности

<л^ лг„ ...\o\ni, лг;, ...> = <{rv_ft}|p|{rv;}>

или квазйвероятностью Р({г_к\), или ее фурье-обрззом х((!**> pi})-В случае независимых мод эти величины факторизуются («приво­дятся»). Следует подчеркнуть, что при использовании квазивероят­ности операция квантового усреднения для нормальных оператров (которые обычно и представляют интерес) принимает «классический» вид (846), который сохраняется и в случае многомодового поля. Например, функции корреляции (52) определяются усреднением их значений в когерентном состоянии (53) с помощью квазивероятности:

^0?\._1Я^{=1 - 5^(Ы)С1}₁^я.,.._г^{«(Ы)П^. (7.589)}

Напомним, что z_k = z{k, v) здесь имеет смысл амплитуды (в едини­цах 1с_к) плоской волны Е_ка, распространяющейся в направлении к и имеющей поляризацию е_ч.

Рассмотрим далее некоторые примеры смешанных состояний пол я.

В случае стационарного поля оператор плотности не зависит от времени, т.е. [р, ,$f] = 0, чю в ^-представлении дает

<№}|p({>v;j>2№-jv_ft)(o_t=o.

к

Следовательно, стационарная матрица плотности диагональна по числам заполнения мод с различными частотами. Функция Р({г_к}) при этом зависит лишь от модулей \z_k\, так как z_k(t)~ е~^ш.

В стационарном состоянии все одновременные моменты </"(/)> и функции корреляции </ (t)g(t -j- т).. .> не зависят от /. Обычно принимается, что имеет место свойство эргодичности, т. е. что сред­ние по ансамблю </> совпадают с реально измеряемыми величинами /$цсп(0' усредненными по времени, и что наблюдаемые изменения (флуктуации) /"_эвсп (t) во времени вызваны неопределенностью / в чисто квантовом или смешанном ансамбле. Важную роль играют также периодически нестационарные состояния, к которым, в частности, относятся когерешные состояния.

Часто можно использовать приближение статистически независи­мых мод: р=Цр₄. При этом диагональный элемент <A^r_ft[p^[ N_k>

имеет смысл населенности (числа Заполнения) Л'-фотонного состоя­ния &-й моды. В случае стационарного поля с независимыми модами населенности полностью задают все свойства поля. В частности, среднее число фотонов в моде, определяющее основной фотометри­ческий параметр — спектральную яркос1Ь, равно

_{<tf.> = Sp(utop»)= S N<.N\pk\N>. (7.5.90)}

JV = C

В равновесном, или 7'-состоянии, оператор плотности опреде­ляется распределением Гиббса: р_й'~ехр(—Ж^у.Т), где Г—темпе­ратура термостата (§ 3.2). В Г-состоянии населенность ^-фотонного уровня (т. е. вероятность обнаружить в моде одновременно N фо­тонов или вероятность энергии моды приня1Ь значение ^го> (Л/ +1 /2)) зависит от N экспоненциально:

(7.5.91)

где

С — Р(0) = I— <г\ х = Аа/кТ.

Распределение (91) называется планковским, или геометрическим, так как оно образует геометрическую прогрессию, или распределе­нием Возе—Эйнштейна. Подставив (91) в (90), находим среднее число фотонов в моде, называемое также фактором вырождения («газа» фотонов):

^</v>_r ^{= (е* — 1 J-1 = Jf = б. (7.5.92)}

Эго равенство позволяет в качестве параметра распределения вместо х использовать 8, при ыои (91) принимает вид

Р_Т (N) = Р (0)1(1 +1 /б)" Р (0) = 1/(1 + 6).

(7.5.93)

Экспоненциальное распределение энергии имеют также моды не­равновесного поля в случае, когда они возбуждаются хаотически мно­гими независимыми источниками — т. е. при тепловом излучении, люминесценции или сверх люминесценции (в линейном режиме — см. §7.1). При этом зависимость (/V_ft) от |ft|=oj/<7 определяет частот­ный спектр излучения, а зависимость от направления klk — угловой спектр и направленность некогерентного излучения. Напомним здесь, что в нелазерном свете обычно все (JV_ft)<^l. Например, для зеленых солнечных лучей {jV„}~10~², так что вероятности обнаружить 0, 1 и 2 фотона в одной моде равны примерно 0,99, 10~^е и 10~*.

Можно показать [54], что квазивероятность в хаотически возбуж­денной моде является двумерной гауссовой функцией с дисперсией (Л0/2:

P_T(z) = exp(-\z\y<,N»/K<N>.

(7.5.94)

Отсюда при учете (87)

%т(Р> И*) = ехр(—|i|i*<tf»

(7.5.95)

и согласно (88) отличны от нуля лишь четные симметричные мо­менты

Gf = <:ЛГ^т-.>_т = т! <ЛГ>*.

(7.5.96)

Из (96) и (28) следует, что т-квантовый переход в Т-поле в ml pas вероятнее, чем в г-поле с тем же </V> (см. (6.4.6)), что объясняется длинным «хвостом» 7"-распределения. При т= 2 (96) описывает группировку фотонов (§ 7.2, 7.6).

Подставив (94) в (86), можно убедиться, что распределения ко­ординаты и импульса в хаотическом состоянии также являются гауссовыми с нулевыми средними значениями и дисперсиями, опре­деляемыми связью </V> + 1/2= <p^+ff^J>;2, т.е.

<Л^>_Г = <Д_у>>_г = <Л/>_Т+ 1/2 = <1/2) cth <*/2). (7.5.97)

Заметим, что аддитивные многомодовые параметры поля, например его напряженность Е_а в точке (г, t), будут иметь гауссово распределе­ние независимо от состояний отдельных мод (при условии их незави­симости) в силу центральной предельной теоремы.

Как уже отмечалось, чистое г-состояние не относится к классу стационарных, поскольку z(r)=p ехр(—iait+Uf). Однако из него мож­но построить «стационарное когерентное» состояние, образовав смесь z-состояний с одинаковыми амплитудами р и случайными фазами ф. Такому состоянию соответствует, очевидно, квазивероятность вида 154)

Я(г)=б(|2[—р)/2лр=б(|г]²—р^г)/л, (7.5.98)

которая описывает ансамбль идеальных лазеров с неопределенной фазой. Легко проверить с помощью (86), (40), что распределение энер­гии в таком ансамбле остается пуассоновским с (Л0=р³.