§ 7.5Ь. Возможные состояния поля и их свойства

Следующая задача — рассмотреть различные состояния поля (чис­тые и смешанные) и их свойства, а также средние значения и распре­деления наблюдаемых величин в этих состояниях. При этом удобно использовать некоторую базисную систему волновых функций, с по­мощью которой можно представить произвольное состояние (эта про­цедура аналогична разложению произвольного вектора по ортам не­которой системы координат в реальном пространстве). Мы рассмотрим поочередно несколько базисов, порождаемых различными оператора­ми—энергии Ж, координаты q, импульса р, уничтожения фотонов a~mq-\-ip, а также связи между этими базисами. При этом будут ис­пользоваться компактные обозначения Дирака, краткая сводка ко­торых приведена ниже.

Обозначения Дирака. Произвольное мгновенное состояние кван­товой системы задается волновой функцией ty(x) = Cr|t|;>, где х—не­которая совокупность аргументов (дискретных или непрерывных), доааточная для полного описания системы. Полное описание состоя­ния «одномерной» бесспиновой частицы, в частности осциллятора или моды поля, дается одной переменной — координатой {xs=q)_t импульсом (х = р) или энергией (х = <В)')

Функция <х|тр> называется ^-представлением состояния системы. Само состояние без указания представления обозначается символом |ф> или | > или еще | ty. Комплексно сопряженная функция ф*(д^ обозначается <ф|ху = <х\ф/*, т е. можно считать, что | >* = < I < ['=[ >•

В х-предс1авлении состояние [ > задается множеством (дискрет­ным или непрерывным) чисел <x_t [ y = c_lt <х₂| )=с_и, .,, которые естественно рассматривать как компоненты некоторого вектора в многомерном пространстве. При этом <я„| > является аналогом скалярного произведения единичного вектора (орта) <х„ | на вектор состояния | >, т. е. проекцией ] > на /i-ю ось. Любой векгор можно представить как сумму ортов, умноженных на коэффициенты с_я:

I > = 2с„[л_л> = 2К><*»1 >, (7.5.1)

или в более компактных обозначениях

> = 2|i><«l >■

(7.5.1а)

Аналогично

< | = 2< |п><п|-

(7.5.16)

В случае непрерывного аргумента суммирование в (1) и аналогич­ных разложениях заменяется на интегрирование;

^{>= J dx\x}<,x I >.}

(7.5.1в)

Векторы < [ и j > называются соответственно бра- и кэт-еектораш (от английского bracket—скобка).

Проекции различных ортов друг на друга равны нулю (в слу­чае ортогональной системы):

<п\п'> = 6_пг1„ <х\х'>=б(х-х').

(7.5.2)

Система координат (базис) называется полной, если любой вектор можно представить в виде (1). Свойство полноты выражается тен­зорным равенством

/ = 2|л> <п\.

(7.5.3)

Здесь /—единичный тензор (/1 > = [>). а символ |а><Ь( означает тензор-диаду (или внешнее произведение), образованную нэ векторов

^г) Напомним, что в классической механике состояние задается числами q. р, а в квантовой—функцией т|) (q) (или if (р), if ($), ...).

}й> ^и Действие диады на векторы очевидно из ее обозначения: {|а><6|}| >«|fl><6| > = <6| >]_й>, < |{]а><Ь)}^< |а><6| = <&|< 1«>. ^y'-°^v

Тензор \ау <а\ = Р_а при <«|а>=1 называется проектором, так как, действуя на вектор ] >, он выделяет его составляющую вдоль на­правления \ау. Р_а\ > = ]а><а| >^зс_д]й>.

Разложение единицы (3) позволяет легко строить различные пред­ставления скаляров <а \ by, векторов ] >, тензоров (операторов) f:

<й | by = <а | / | &> = S <« I »><« IЬ, (7.5.5)

[ > = Л > = S i л><л f >, (7.5.6)

/ = ///= S/«.-|rt><ft'l- (7.5.7)

в последнем выражении /„„, ~ <п| \ \ п'у.

Оператор f может действовать направо на кэт-вектор и налево на бра-векгор, при этом образуются новые векторы /|а>н=|6>, <^a\t=<c\ с другими направлениями и длинами (длиной или, точ­нее, норной вектора }аУ называется число <о| а>^1;а). Если изме­няется только длина вектора, ю он называется собственным (пра­вым или левым) для данного оператора. Удобно оператор и его собственные векторы и значения обозначать одной буквой:

f\fn>=f„\f_n>- (7-5-8)

Совокупность собственных векторов ]/„> обычно образует полный базис, необязательно ортогональный. Оператор /"\ эрмитово сопря­женный к оператору f, определяется равенством

f⁺|u> = {<a|/}*, (7.5.9)

или (/"')_д4 = (/_&а)*- Если f⁺ = f, то [—эрмитов оператор, для него = /„ = /;, <М/«-> = 0 (при f„^h,).

В квантовой механике постулируется, что распределение веро­ятности Р (f\t) в момент г для наблюдаемой f в ансамбле систем с одинаковым состоянием | ty определяется проекциями j ty на соб­ственные век юры \ fy оператора /:

Р(/|0 = С|</](>|» = С<_Г|Р_/|(>, ( (7.5.10)

Где С"¹ — нормирующая сумма или интеграл (С=1 для нормиро­ванных векторов). Если наблюдаемая f имеет непрерывный спектр, ТоР([) имеет размерность 1// и является плотностью распределения вероятности. Распределение (10) определено через шредингеровские величины. В представлении Гейзенберга оно имеет вид

Plf\t) = C<t.\P_f(t))t_a>, (7.5.10а)

^/(0-]/(0></(01-

В случае смешанного состояния надо усреднять оператор р с помощью оператора плотности. Например, в представлении Шре­дингера

^{/|0 = Sp{j/></[p(0} = </|p(OI/> (7.5.106)

— распределение наблюдаемой f определяется диагональными элемен­тами матрицы плотности в f-представлении (населенношями).

Согласно постулату о редукции волновой функции процесс изме­рения какой-либо величины, например энергии, с помощью класси­ческого прибора переводит систему из исходного сосюяния | > в состояние |©!>, где ^_х определяется показанием прибора. Таким образом, процесс измерения является одновременно процессом изготовления системы с известной волновой функцией. Чтобы приготовить сиаему в заданном заранее состоянии |<ё\>, надо по­очередно измерять энергию у достаточно большого количества систем в произвольных состояниях и дождаться нужного показа­ния S_l. Классический прибор, показавший отсчет /, перевел систему в состояние P_f\ > = |f> — обратное действие прибора на состояние системы описывается проектором P_f = \ f> </" j.

Энергетические состояния. Обычно в квантовой оптике изме­ряется энергия поля и соответственно в качестве базисных исполь­зуются собственные функции оператора энергии для отдельных мод свободного поля, т. е. гамильтониана гармонического осциллятора

$С_й = {р* + м^аде = hto (N +1/2), (7.5.11)

где М = а⁺а — оператор числа фотонов в моде; индекс k при рас­смотрении одной моды мы будем, как правило, опускать. По опре­делению собственные функции и собственные значения удовлетво­ряют равенству

&£AN> = g_N\N>. (7.5.12)

Согласно (11) энергетические состояния [ N} или, короче, N-co-стояния (их называют также фоктскими) являются собственными и для оператора a⁺a:(N—jV)|iV> = 0, где N = Sj1m—1/2.

Оператор Ж_й эрмитов, поэтому из векторов | iV> можно построить полную ортонормированную систему «координат»:

<JV|Ar>-6._w„ 2\N><N] = I, (7.5.13)

jV

I > = 2|tf><tf|>. /= 2 !nn'\ⁿ><ⁿ'V (7-5.14)

лг л v

Исходя из правила коммутации [а, о⁺] = /, нетрудно показать (см. [37], с. 91), что N—целые числа:

S_N=(N + U2)iio, JV=0, 1, 2,

(7.5.15)

Таким образом, энергия одной моды может принимать лишь дискретный эквидистантный ряд значений, отличающихся на %ч>-энер­_гцю фотона. Наименьшей энергни моды с JV = 0 соответствует ва­куумное состояние 10>, а состояния с Л/> О называются N-фо-