§ 7.4. Квантование поля

Итак, мы представили уравнения поля в форме уравнений Га­мильтона для пространственных гармоник E_h(t), H_h[t) (или их линей­ных комбинаций q_h, p_h, a_k). Теперь можно перейти к основному этапу квантового описания — нахождению правил перестановки динамиче­ских переменных поля.

Коммутационные соотношения. При переходе к квантовому опи­санию все канонические переменные q_k, p_k и их функции f(q_k, p_k) становятся линейными операторами q_k, p_ft, f_k, действующими по опре­деленным правилам на функцию состояния системы. Различие между

действием произведений операторов /g и gf*) можно с помощью скобок Пуассона (7.3.48):

fg-gf**\). g] = &{f< §}­

определить (7.4.1)

[<7*> ft-] = '&W, [f, aJl =df!da_k,

Здесь все переменные берутся в один и тот же момент времени. Отсюда, в частности, находим

fe- Qk-] = [а- ы=-0. (7.4.2) [а,, а_к.\ =[ai, й,-] = 0, (7.4.3) [а_к, f] =Щ1даЪ (7-4.4)

, [£_ft, E_k.\=\H_ht Н„.] = 0, (7.4.5)

где

с| = 2л^/^, k={k, v], k^~{-~k, v}.

(7.4.6)

Из (5) с помощью линейных связей (7.3.29) нетрудно найти и ком­мутаторы для самих полей Е{г, t), И(г, t)-

Классической комплексной переменной а% ставится в соответст­вие оператор рождения фотона а_к, эрмитово сопряженный с опера­тором уничтожения фотонов а_к. Эрмитов оператор а£а_к = (а^й_л) ^f= N_k называется оператором числа фотонов, чаще всего именно он соот­ветствует наблюдаемым в оптике величинам. Так, спектральная яркость излучения выражается через N_h следующим образом;

Л,а(й, v}~kc\-* <Л/_А>.

(7.4.7)

Здесь в отличие от (7.1 18) добавлена операция усреднения с помощью волновой функции или оператора плотности поля р.

Часто кроме jV₆ представляют интерес другие операторы. Так, среднее от о_ка_к, характеризует статистическую связь мод k и к'. Можно показать, что скорость m-квантового вынужденного перехода пропорциональна среднему от оператора a^^maf^:Nf:. Здесь двое­точия означают нормальное упорядочение, т. е. перестановку всех операторов а_к правее а_к. Средние от эгих операторов

С'Г = <: Щ: > = <аГ<%> (7-4.8)

называются нормальными (нормально-упорядоченными, факпюриаль-ными) моментами порядка т для моды k. Связь факториальных моментов G^,mi с обычными <W^m) легко найги из операторных тож­деств, следующих из (1) или (3):

[а^т, Щ = тсГ, [N, а ^т] = та^+т.

Отсюда

:tf-: = ,V(tf—1). ..(tf —m-fl),

(7.4.9)

в случаях, когда речь идет об одной моде, индекс к опускаем.

') Знак «л» над операторами будем ставить лишь в необходимые случаях.

243

В представлении Гейзенберга волновая функция и матрица плот­ности постоянны, а зависимость операторов от времени определяется уравнениями Гейзенберга, которые получаются из (7.3.47) и (1):

d//d/ = d//#-)-[/, $?]/ih. (7.4.10)

Например, полагая /=а_я и используя (7.3.29), (7.3.37), (7.3 45) и (4), получаем уравнение Гейзенберга для оператора уничтожения, иден­тичное по форме (7.3.30в). Аналогично и все другие соотношения § 7.3 остаются в силе при замене динамических переменных на операторы в представлении Гейзенберга. При этом произведения операторов надо писать в симметризованном виде, например^-

|а|* — (а+а + аа+)/2^а⁺а4-1/2 = шг⁺ —1/2, (7 4 11)

в последних равенствах использовано (4). Заметим, что в оператор­ных равенствах типа (11) под 1/2 подразумевавши 1/2, где 1~еди-ничный или тождественный оператор, /Ч'= 47.

Пространственные гармоники свободного поля зависят от времени гармонически с частотой <n_k — ck. Отсюда находим разновременные коммутаторы

[а_к (/), at (OUu = V ^р | - Ч ('-О] (7-4.12)

и анало1ичные соотношения для других переменных поля. При нали­чии сторонних токов вместо (12) может иметь место более сложная за­висимость от t и V, однако при i=t' она должна давать (3) (это свойство сохранения коммутационных соотношений следует из унитарности преобразования операторов во времени).

Квантование макрополя в среде. Макроскопическое поле в немаг­нитном веществе описывается уравнениями Максвелла с феноменоло­гической проницаемостью ё (в линейном приближении). В окнах про­зрачности е"(а>)яй0 и энергия свободного поля сохраняется, так что снова можно использовать гамильтонов формализм и проквантовать переменные макрополя. Если пренебречь также дисперсией &'(<о), то процедура аналогична приведенной в § 7.3, изменяются в основном лишь скорость света (c^cin) и ориентация ортов поляризации в/, (в слу­чае анизотропной среды).

Можно показать [37], что связь макрополя E{r, t) с операторами рождения и уничтожения фотонов в прозрачной среде а£, a_k при учете дисперсии в линейном приближении имеет вид (7.3.29), если в опре­деление коэффициентов c_h добавить множитель

^l,-{_2a^(i.V.e._e^{)"'};"=(^)r«J}_r^{, (7.4..3,}

где и_к = o)_k/k = с/п_к и и_к = ды_к/дкcosp_ft—фазовая и групповая ско­рости, р_к — угол между лучевым и волновым векторами. Простран­ственные гармоники магнитного поля в (7.3.29) следует при этом умножить на п_к.

Квантование поля в резонаторе. Поле в замкнутой полости с иде­альными зеркальными стенками можно представить в виде суммы вещественных ортогональных собственных функций и_к (г), v_h (г) соответствующей граничной задачи:

£ = 2 Р_к (0 и„ (г), И = 2 <М* (0 v_fc (г), (7.4.14)

где ^ын — собственные частоты резонатора.

Нзнричер, с&ободвое поле в прямоугольном резонаторе является суперпозицией стоячих плоских волн (поле при этом не является поперечным (см. [22], с. 431)). Разрешенные значения волново­го вектора определяются размерами резонатора L_a, а = х, у, г (ср. (7.3.10)).

^k=ⁿ{z;> Т^' Т;}' I, m, п = 0, U 2, ... (7.4.15)

Стоячая плоская волна является суперпозицией двух встречных бегущих волн с равными амплитудами а_л = а-к, при этом согласно (7.3 28) Е ~ p_KcQskz и /У ~-ып kz (коэффициент пропорциональ­ности определяется нз (7.3 37) при L^% = LJ^₄L_t и имеет порядок (16яД/^!)^,''^г), Отсюда при учете соотношения неопределенности Aq Ар^-А/2 следует, что точность одновременного измерения E{r, t) а И(г, t) внутри резонатора ограничена.

Иногда и в свободном пространстве разлагают поле по стоячим волнам вида cos ft г, ыпй г, однако амплитуды сюячих мод не связаны непосредственно с наблюдаемыми в эксперименте вели­чинами — ведь для практического выделения плоской волны 4-ft детектор должен быть расположен в дальней зоне излучателя, где волна —k отсутствует; связь «дальнего» поля с операторами а_к рас­смотрена в [37].