§ 7.3. Гамнльтонова форма уравнений Максвелла

В настоящем разделе будет показано, что уравнения Максвелла для поперечной части поля, т. е. поля излучения, сводятся к системе независимых уравнений для гармонических осцилляторов. Эти урав­нения легко представить в форме уравнений Гамиль­тона классической механи­ки, что позволяет восполь­зоваться алгоритмом кван­тования, определяющим коммутатор двух операто­ров через скобки Пуассо­на для соответствующих им классических величин. Уравнения Максвелла a k, /-представлении. Пусть нас интересует эволюция поля излучения в некоторой ограниченной области про­странства За ограниченный период времени Т. Разделим мысленно все пространство на одинаковые кубические ячейки с линейным размером 1*>сТ^г), причем одна из ячеек включает все измеряемое за время Т поле.

Рассмотрим зависимость какой-либо компоненты поля от одной из координат, например Е_х (г), в фиксированный момент времени (рис. 7.14). Определим периодическую в пространстве функцию Ё_х {г) условием Ё_х [z -f- tiL) s= Е_х (г), где — L/2 < г < Ц% п = О, ±1, .. . Внутри интервала наблюдения — L/2—L/2 фиктивное перио­дическое поле Е совпадает с реальным Е, поэтому Й н Е физи­чески эквивалентны и в дальнейшем мы опустим знак «—»,

Периодическое по z поле можно представить в виде суммы

пространственных гармоник (индекс х опускаем): Е(г)= 2 E_mtxp(ik_mz),

П\ ^ — Tl

k_m=*2nmjL, m = 0, ±1, ±2, ...

(7.3.1)

L 2

Чтобы определить амплитуду m-й гармоники, подействуем на (1) слева оператором

dz ехр {—Lk_az),

-1,2

тогда

L'2

tfe ехр (—ik_nz) £ (2) = 2 E_mL sine [л (m—«)J = (7.3.2)

Последнее равенство следует из того, что функция целого аргу­мента

I dz ехр \i {k_m-k_n) z] =L sine [_Я (m-и.)] =16„_ч (7.3.3)

-A/2

v	1 1 1 1 1 /	ч \ \ \ \

отлична от нуля лишь в одной точке т = п, в которой она равна единице (рис. 7.15). Из вещественности Е (г) следует £_„ =

На конечЕ1ых этапах вычислений обычно можно устремляв длину квантования L к бесконечности, при этом ряд Фурье (1) переходит в ин­теграл:

Е{г) = {Ц2я) I dkE(k)e^, (7.3.4) J

-<в ~" •

где теперь _Рн^ _{7 [g фуття 5}\_Пс{лп) в сду-

? чае дискретного (точки) И непре-

E(k) = L~¹² \ dzE(z)e-'^kz. (7.3.5) рывного (штриховая линия) аргу-

_„ ментов

При выводе (5) используется следующее представление fj-функции (ср. (3)):

dz е^,кг = lira L sine (ftL/2) = 2я5 (ft).

(7.3.6)

(7.3.7)

8 Д. H. Клашке

233

Величина /_/2л называется плотностью мод (в случае одного измерения и одной поляризации), обратная величина 2n/L равш расстоянию между соседними модами т, т+1 на оси k.

Повторяя описанную процедуру для других компонент поля Е Е_г и для зависимостей от х, у, получаем трехмерный ряд Фурье для поля:

E(r, t)= 2£_;иЛ0^-""^г,+т^"^г,|Х-2^(0^, (7.3.8)

Imn ft

^{Eb(t) = L-a I d*rE(r, t)e~»-' = £*_}_k^{(t), (7.3.9,.}

ft == (2я/Г) {/, m, л), I, m, n-=0, ±1, ±2, ... (7.3.101

Магнитное поле разлагается в ряд аналогичным образом. Пред­ставление произвольного поля (8) в виде суммы плоских воли позволяет задавать непрерывное пространственное распределение Е_а{г) счетным множеством комплексных чисел Е&_а. «Дозволенные> векторы k образуют решетку в ^-пространстве, разбитом условием периодичности на ячейки с «объемом» (2л//_,)*. Заметим, что ввид\

связи E_s = £ft не все числа Е_ка являются независимыми. Сумму (8) можно записать в следующих эквивалентных формах:

E = Re2£^^li'^r = Rei£ + ^f^) = ReS(£_ft-_T-iF_J;)eⁱ''-, (7.3.11) я к

где F(r, I)—произвольное вещественное поле и Fn = Fl_ft—его гар­моники.

Разложение по пространственным гармоникам (S) позволяет однозначно разделить поле Е(г) на две составляющие: попереч­ную Е_± (г) и продольную £_п (г) (аргумент t опускаем):

Е±(г)^2 2 еъЕ**е**"*

*^V-^1,S (7.3.12)

£i(r)=2e*,W*".

где единичные ортогональные векторы образуют правую тройку, причем e_fta = ft = ft/£. Из (12) следуют

div Е = 2 ■^Е" ^е'*'^г = Ei,

^в (7 3 13)

rot Е = 2 1Ъ X Е_Л e^h-^r = rot E_L

к

и аналогичные соотношения для магнитного поля. Подставив (13) в уравнения Максвелла (4.1.9), при е = 1 получим

с rot Н₁—Е₁ = 4nJ_L, с rot Е_± + H_L = 0, (7.3.14)

— £, = 4яУ,, Я,! = 0, (7.3.15)

div Ei = 4лр, div Щ = 0. (7.3.16)

Следовательно, продольная часть переменного магнитного поля равна нулю, а продольная часть электрического поля определяется положением зарядов в тот же момент времени, без запаздывания, по­этому интересующее нас в оптике поле излучения в вакууме, поперечно _и определяется динамическими уравнениями (14) через поперечную часть заданных (сторонних) токов j^—j (^в дальнейшем мы опустим индекс

Подставив (12) в (14), найдем уравнения движения для простран­ственных гармоник;

ick х Я* = ~ 4*/t, (Т.3.17а)

(7.3.17b) (7.3.18)

tf_s+rcftx£_ft=0, (7.3.176)

нли, после исключения //*,

<«№. = — 4л/'_А.

Здесь o)_ft ck и

где — проекционный тензор (см. (4.1.17)). Итак, уравнения Мак­свелла для поперечного паля в ft, t-представлении сводятся к системе неоднородных уравнений для независимых гармонических осциллято­ров. Заметим, что гармоники Ej, и Е-* всегда возбуждаются вместе ввиду того, что =

В случае свободного поля, т. е. когда токи в L³ отсутствуют, пространственные гармоники согласно (17) колеблются без затуха­ния с собственными частотами мод ы_к:

(7.3.19)

^(Освов ⁼ №»*^е

Здесь Ено является начальной амплитудой плоской волны, распро­страняющейся в направлении +k, а не зависимая от нее величина Е_ьа — амплитудой встречной волны, распространяющейся в направ­лении —-ft. Требование £_й=£!__й дает Еы, = Е-ы,- Отсюда, сумми­руя по всем ft. получаем

Таким образом, состояние свободного поля в произвольной точке г, f задается множеством комплексных векторов Еа,-

При наличии в L³ сторонних токов к свободному полю добав­ляется вынужденное, определяемое через функции Д(0 согласно неоднородному уравнению (17в). Например, монохроматическая плоская волна тока «раскачает» вынужденное поле со своей часто­той и, которая может отличаться от щ (ср. (4.1.20)). В общем

⁸* 235

(7.3.20) случае функция £*{()» конечно, не гармоническая. Вынужденное поле можно искать также в виде (20), полагая Ед₀ медленными функциями координаты в случае стационарных токов (см. гл. 6, где использовалось обозначение Е»₀ = Е*ь ^} (г)) или функциями времени в случае типичных для квантовой механики нестационарных задач.

Иногда удобно описывать поле с помощью векторного потенциала A(r, I). В случае кулоновской калибровки поле А полагается попе­речным и оно однозначно определяется соотношениями

roU = tf, ШуЛ^О. (7.3.21)

Подставив в (14) гоЫ вместо И, получим rot<cE+^) = 0, т. е.

Е=-А!с. (7.3.22)

Отсюда находим связи между пространственными гармониками ре­альных полей и их потенциала:

A_h= —сЕц, A_k = ikxH*jk\ Hb = ik< A_h. (7 3.23)

Канонические переменные поля. Уравнения (17) для fit, и Ец напоминают уравнения Гамильтона для канонических координат и импульсов системы частиц q_t и p_t\ токи ]л при этом играют роль обобщенных сил. Однако в эксперименте обычно наблюдаются бегу­щие волны в дальней зоне излучателя с определенным направлением распространения, например вдоль -j-ft, поэтому желательно, чт канонические переменные с индексом k относились только к «г мой» волне.

Совокупность четырех чисел J/, т, п, v)={k, v}^k задает плоскую волну или моду (тип колебания) свободного пространства (мы в дальнейшем будем нумеровать моды одним индексом к). При наличии токов мгновенное состояние поля в двух модах k и fe = s= {— ft, v} с одинаковыми линейными поляризациями задается двумя комплексными или четырьмя вещественными скалярными числами:

Е_п=Еь-e*v = Е'_к + 1Е'_к, Н_к=~.(кхе**) Нь+ Ш\, Е-^Е.ь-еь^Еъ-iEl, Н^-кхе^-Л^-Щ+Ш;- '

Вместо магнитного поля можно иснользовать век тор-потенциал. Согласно (23) и (24)

А_к = Аь ■ e_ftv = — iH_hik = (Hi—iHi,)/k,

здесь k обозначает одновременно модуль вектора k и индекс моды. Образуем линейные комбинации:

q_b »{L'iiwW* {El + Н'_ь), _ц -

р_к = -(Е*/4я)>!2{Е-_к + Щ),

выбор коэффициентов пропорциональности будет ясен ниже из (37). С помощью (24) убеждаемся, что переменные q^, р_к для встречной моды независимы от q_k, р_к:

Pi Е'-_к-Н\=-Е-_к + Н-_к.

Удобно объединить вещественные «координату» q_k и «импульс» р_к моды в одну комплексную безразмерную переменную;

Легко найти обратные преобразования:

Е_к = к_к (а_п-а^ = {nllsyi* [- р_к-р_к + ш_к (q„— ^)], ^

H_k = ic_h (а, + а\) = (я W [- _Рк + р-_к + ю_л {_Як + ^)].

Заметим, что в случае стоячей плоской волны а_к = а_к, так что пе­ременные q_k, рц пропорциональны магнитному и электрическому полям соответственно:

(7.3.28)

Е(г, 0 = - 4 (л W» ft (0 cos(ft-r), Я (г, 1) = — 4(я//-^э)¹ »avfo(l)sm(*-'^-)-В новых переменных разложение поля по плоским волнам имеет вид

Е(г,	0 =	'2^(0^*"' + к.с.,
Н(г,	*)=
Л (г,	0 =	= 2(c*/fc) Ой(/)е'*г + к.с.,
		я

(7.3.29)

где введены комплексные векторы ass=2^e^^a*v-

v

Подставив (27) в (17), найдем уравнения для новых переменных:

а_к = — (а_Аа_л + (2ш"/с_й) /_t. Общее решение последнего уравнения имеет вид

(7.3.30а) (7.3.306) (7.3.30b)

a„(0 = M0-k~'^V

_rf(V^⁽⁽'-^J)/_A(/')

(7.3 31)

Если разложить a_k(t) и j_k(t) в частотные интегралы Фурье, то из (ЗОв) сразу находим вынужденною часть поля в к, со-представ-лении (ср. (4.1.20)):

щ—ы—'ум

h N.

где мы добавили затухание (у_й > 0). Отсюда ясно, что при спектр a_ft(«>) амплитуды a_k(t) в основном содержит лишь положи­тельные частоты, близкие к собственной частоте co_fe. Если пренебречь отрицательно-частотной частью a_k{t), т. е. полагать

(7.3.32)

то каждое слагаемое в сумме (29) описывает плоскую волну, рас­пространяющуюся в направлении -\-k (в отличие or суммы (8)).

В свободном поле это приближение согласно (31) при /_Е=0 вы­полняется строго:

Отсюда, сравнивая (19) и (27), находим свя^ь Е_т = 2к_ка_ч(й).

Итак, положительно-частотная часть поля определяется функци­ями аь(1), а отрицательно-частотная—функциями a%(t):

E'-'ir, t) = <2c_fca»(f)e<*'-, Е¹~>(г, t) = -i^_ic_ka»_k{l)e-<

(7.3.34)

В квантовой теории эти функции становятся операторами уничто­жения и рождения фоюнов: а>—а\—^а^.

^Гамильтониан поля и вещества. Из уравнений Максвелла сле­дует (см., например, (4.1.24)), чго мгновенная энергия поля

(7.3.35)

Примем это выражение за функцию Гамильтона поперечной части свободного поля. Подставив сюда разложение по плоским волнам (8), получим с учетом условия ортогональности (3) диагональную квадра­тичную форму:

Ж„ = (L-'/Sn) 2 (/ Е„ {*■ -Н | H_k |²). (7.3 36)

(7 3.37)

Легко проверить, что из уравнений Гамнльгона q„ = дШ1др_к, P_k = — dfCidq_k,

(7 3.38)

при Ж = Ж„ следуют осцилляторные уравнения для q_k, p_h, a_h в соот­ветствии с (30) при / = 0, что подтверждает правильность выбора (35).

Общий гамильтониан поля и системы заряженных часi ид, рас­положенных внутри рассматриваемого объема D, в нерелятивист-

ском приближении равен (см. [26], § 16)

^ (7.3.39)

где .^_иул—энергия кулоновского взаимодействия частиц через про­дольное поле и R_t, Pj — канонические переменные i-й частицы с за­рядом и массой е₍, т_{.

Из (38) и (39) следует связь «кинетического» и канонического импульсов для часгиц:

m;\/, = Pi — e_tA_tlc,

(7.3.40)

где Vi^IZ, — скорость i-й частицы. Следовательно, гамильтониан (39) можно представить в простом виде:

Ж = 5Sf₀ + 2 «i VJ/2 + _Ул ■ (7.3.39а)

Гамильтониан взаимодействия частиц и поперечного поля согласно (39) равен

В случае частиц с собственным магнитным моментом ц₍ следует добавив энергию спинового взаимодейс1ЕИЯ —

Покажем, что из (38), (39) следуют обычные уравнения Ньютона с силой Лоренца для частиц и уравнения Максвелла со сторонними токами (14) для поля. Чтобы получить уравнения Ньютона, продиф­ференцируем (40) по времени. Учитывая, что согласно (38), (39)

Д« = {e_tfc) V\_p dArfdRb,, (7.3.42)

находим

тA, — Pin.—~ (^f + ~^У_Ф) = e_tE^ 4- 4- [ V_t х H_t\_a. (7.3.43)

Напомним, что поля берутся с точке нахождения частицы, поэтому

dA_i!dt^dA_[/dt = — cE_l.

Уравнения поля можно найти дифференцированием общего гамиль­тониана (39) по каноническим переменным поля p_fc, q_k. При этом «силы», действующие на поле со стороны частиц, определяются вторым слагаемым в (39а). Продифференцируем его сначала по A_ia_ с помощью (40):

Отсюда следует, что гамильтониан возмущения поперечного поля нерелятивистскими бесспиновыми час1ицами можно представить

239

вместо (41) в виде

(7.3.45)

где j(r, t)—заданная плотность тока, определяемая координатами и скоростями частиц:

j{r, 0 = 2е₍1М0 6^ы(г-Я,<0)> <⁷-³-⁴⁶*

i.

н штрих напоминает, что в соответствии с (44) гамильтониан взаи­модействия (45) точно описывает лишь возмущение поля частицами, но не наоборот.

Из уравнений Гамильтона (38) сраз> следуют уравнения движе­ния для произвольной функции канонических переменных / (q_k, р_к, t):

dfldt = df/dt+\f, Ж\, (7.3.47)

if _Р)=У (*L — (7 3 481

Легко проверить, что при линейном преобразовании (26) от q_k, р_к к новым независимым переменным й_й, а'_к скобка Пуассона (48) принимает вид

df

(7.3.48a)

Полагая f = a_k, находим с помощью (37) и (45)

ih oat

дН

lie J Oa_&

(7.3.49)

Это уравнение при учете (29) и (46) совпадает с уравнением (ЗОв), полученным из уравнений Максвелла со сторонними токами.

Итак, мы привели уравнения поля и вещества к каноническому виду (38) с гамильтонианом (39). Прежде чем использовать этот ре­зультат для квантования уравнений поля, рассмотрим дипольное приближение для гамильтониана взаимодействия,

^еДипольное приближение. В квантовой электронике часто вместо точных энергий возмущения (41), (45) можно использовать прибли­женные выражения. В случае свободной плоской монохроматической волны Н—Е, так что в первом порядке no V/'c в уравнении Ньютона можно пренебречь магнитной частью силы Лоренца:

т/г,»<г,Е(Я_:. t). (7.3.50)

Далее, если частицы занимают ограниченную область простран­ства с линейным размером а, много меньшим масштаба изменения поля X =с/<о, то поле можно разложить в ряд по /?₍ и ограничиться несколькими первыми слагаемыми. При этом из (41) получается мультипольное разложение гамильтониана возмущения для частиц по степеням Rj/%. В нулевом (дипольном) приближении А (/?,-)» да А (г₀) = А_е, где г_а-—какая-либо фиксированная точка внутри системы частиц (например, центр масс). При этом согласно (42) Р, = О и (43) принимает вид (ср. (50))

mftc=f,£₀, (7.3.50а)

_где £„ = £"(/•<,, 0- Это уравнение согласно (38) следует из гамиль­тониана возмущения следующего вида:

(7.3.51)

где

Здесь поле в отличие ог (41) является заданным внешним парамет­ром. Отметим также, что дипольный момент нейтральной системы не зависит от выбора г„.

Пусть вещество состоит из N отдельных неподвижных молекул с дипольными пометами d_s и центрами в г,, тогда энергия веще­ства в заданном поле будет согласно (51) равна (ср. (4.1,25))

?^лдя_П = -£«М0-£<О, t) = ~\d*rP(r, t)-E[r, t)_t (7.3.52)

,v

Гамильтониан возмущения для поля в дипольном приближении следует сразу из (45) при замене Aj на А_а\

^_n^—^d-A_a^-d.E_u-~^-^(d-A_K). (7.3.54)

Если ограничиться случаем квазимонохроматических токов и полей, то d-A_a содержит постоянную составляющую и осциллирующую с двойной частотой компоненту. В результате накапливающееся взаимодействие дает лишь первое слагаемое в (54), совпадающее с (51):

^_Ш»^_ип=-Л-^. (7-3-55)

Таким образом, дипольный гамильтониан 4^r\_aR можно использо­вать и для расчета поля излучения в «.одночастотныхъ задачах. Из (55) следует

h_% + ho_ka_k = -Li^L = £L d_k exp (- /*•/■„), (7.3.56)

где d_k = d-e_k. Этот же результат получается из точного уравнения (ЗОв) в случае нейтральной системы при учете (46), замене exp (—г/г -R;) на ехр(-— ik-r„) и V_t на — ио^.

Часто вместо (41} используют приближение

^~ —2 е_л Р,- ■ A i/mtc, (7.3.57)

£

т. е. пренебрегают квадратичным по еА слагаемым (заметим, что он в случае одного электрона в гармоническом поле имеет порядок аЕ\, где а=К%—поляризуемость свободного электрона (6.2.6)). Это до­пустимо лишь в первом порядке теории возмущения, т. е. при расчете одноквантовых эффектов. Выражение (57) следует также из (45) при отождествлении кинетического н канонического импульсов. Из (57) получается следующее уравнение движения для частиц:

t*i«,= —ц-цг- (⁷-³-⁵⁸>

совпадающее при а^Л с (50а).

Для связанных электронов в атомах и небольших молекулах a~10"^s см и условие применимости дипольных приближений (51), (54) выполняется вплоть до рентгеновского диапазона. Напомним, что магнитные моменты, связанные со спином н орбитальным движе­нием, имеют порядок одного магнетона Бора ц₀, который на два по­рядка меньше одного дебая:

2|А„ = ей/тс = е*_с ~еп₀/137. (7.3.59)

Однако несмотря на относительную малость мультипольных эф­фектов, их проявление в оптическом диапазоне имеет важное значение и легко наблюдается — например, в виде оптической активности ве­щества (вращения плоскости поляризации) и запрещенных линий в спектрах.

Свободный электрон под действием гармонического поля согласно (50) осциллирует с амплитудой a^eEJma* и скоростью а^, поэтому условия а<^К и V<^c имеют одинаковый вид:

Е^тсУек ~ 10^я Гс, (7.3.60)

где оценка сделана для Х—1 мкм и соответствует практически недости­жимой интенсивности 10^х8 Вт/см⁸. Тем не менее учет действия магнит­ного поля в световой волне (§ 6.2) приводит к квадратичной поляри­зуемости свободного электрона и наблюдаемым нелинейным эффектам.