§ 7.2. Основные понятия статистической оптики

Выше мы нашли в виде закона Кирхгофа интенсивность (спектраль­ную яркость) излучения /(ft) как функцию частоты и направления наблюдения в дальней зоне. Хотя интенсивность является важной ха­рактеристикой излучения, ясно, что она не дает полной статистической информации об электромагнитном поле.

В настоящем разделе мы на примере нескольких типичных экспе­риментальных схем рассмотрим реально наблюдаемые параметры и соответствующие им удобные теоретические величины — корреля­ционные функции GfJI.an (индекс i заменяет совокупность аргументов

Г(, t_t, О,).

Поскольку подавляющее большинство наблюдаемых оптических эффектов не требует для объяснения квантования поля, то мы ограни­чимся здесь более наглядной и простой классической теорией, приводя в необходимых случаях без вывода результаты квантовой теории (§ 7.4-7.7).

Аналитический сигнал. В статистической оптике удобно исполь­зовать вместо реальной напряженности поля E_a(r, t) комплексную функцию Е'+> (г, t), которая называется аналитическим сигналом или положительно частотной частью поля. Она однозначно определяет­ся равенством (аргументы а, г опускаем)

{7.2.1)

где £({о)—фурье-трансформанта реального поля:

£(»)== j dte^ME(t)!2n = E^K(~ а). (7.2.2)

— со

По определению спектр аналитического сигнала E^(l-'(t) содер­жит лишь положительные частоты (ш > 0), а спектр комплексно со­пряженной (отрицательно частотной) функции Eⁱ~⁾ = —толь­ко отрицательные частоты. Из определения следует связь (рис. 7.6)

£(0=£"-^,(0+^'"^>(0="²R^e£l1'^>(0- (⁷-²-³)

В случае квазимонохроматического поля с узким спектром удобно ввести «медленную» комплексную амплитуду Е₀ (t), определяемую ра­венством

E(t) = ReE₀(t)e-"<, (7.2.4)

где ь>—некоторая средняя частота. Модуль \E_a(t)\ называется оги­бающей, а аргумент—медленно меняющейся фазой. Спектр E_a(t) занимает интервал ± <W2 в области нулевых частот. Можно, оче­видно, полагать

£<° (0 = О'²) ^Е° (0^е~'^а ■ (7.2.5)

Показания оптических детекторов—ФЭУ, болометров, фотопле­нок и т. д.— зависят от квадрата (или более высоких четных степеней) поля, усредненного по некоторому интервалу времени Т за счет инер­ционности отклика детектора (мы отвлекаемся пока от конечности его

1	ImF
1 cot s~	/|
	a.

Рис. 7.6. Аналитический сигнал E^i+> (I) и реальная напряженность поля E{t] в слу­чае монохроматического спектра (а) и в общем случае (б)

пространственных размеров). Пусть Aw^1/7"<^ui, т. е. огибающая мало меняется за время отклика детектора, которое включает много периодов оптического поля, тогда показания детектора будут пропорциональны «мгновенной интенсивности» ^х)

J(t)^ЩГ)12 к (t)(О IV4. (7.2.6)

В § 7.7 это утверждение будет обосновано более строго. Использо­вание здесь аналитического сигнала автоматически избавляет от осциллирующих с двойной оптической частотой слагаемых.

Случайная интенсивность. В случайном поле мгновенная интен снбность I (t) в точке г изменяется, флуктуирует как во времени, так и в пространстве²). Часто измеряются лишь простейшие харак­теристики поля —средняя по ансамблю или времени интенсивность в одной точке (£^1+>s £^^> (г, t))

</> = <£'->£<⁺>> (7.2.7)

и средний квадрат интенсивности

</*> = <£^,-^]2£^t+>^a> (7.2.8)

или дисперсия

<Л/*> = <(/_</»*> = </•>—</>". (7.2.9)

^J) Мы иногда опускаем коэффициент пропорциональности, равный в плоской волне с/2л;.

^!) Вообще говоря, надо рассматривать случайный тензор /_ар = Е^Г'-Ер*', где «, р=х, у, z или, в случае направленного излучения, а, Р = х, у.

(Параметры (7) — (9) можно, в принципе, измерить, наблюдая среднее значение и дисперсию показаний широкополосного однорангового Л ото детектор a i.™- ниже). Показания n-квантового детектора сразу дают п-й момент

Мы будем полагать поле стационарным, так что средние в (7) — /9) не зависят от времени, и эргодическим. При этом угловые скобки ^огут означать усреднение как по времени, так и по ансамблю (с по­мощью некоторой функции распределения Р{1)).

При переходе к квантовой теория (§ 7.4) величина E^<+i заменяется на'оператор E^w, который выражается через операторы уничтожения фотонов a_k, и Я^- — на оператор £⁽~', выражающийся через операто­ры рождения а£. Знак комплексного сопряжения при этом заменяется на знак эрмитова сопряжения «+», а угловые скобки означают уже квантовое усреднение с помощью волновой функции или матрицы плот­ности. Большинство квантовых состояний поля допускает также усред­нение с помощью функции квазивероятности P(z) (§ 7.5), аналогичное классическому усреднению. Прн переходе к квантовому усреднению важен порядок написания операторов; принятая в (7), (8) последова­тельность называется нормальной. В рамках классической теории можно, конечно, заменить нормальный момент G^t"^l=(£^4_l,'£^l+)n} на <|£^>1^гч).

В подавляющем большинстве случаев оптическое поле возбуждает­ся множеством независимых источников со случайными амплитудами и фазами, как, например, в случае теплового излучения нагретого вещества или квантового усилителя (§7.1) или в случае многомодового лазера с независимыми модами. При этом распределение комплексной амплитуды Я₀=-Ео+££о является нормальным (гауссовым) с незави­симыми Е'_а и Е'о, а распределение интенсивности имеет экспоненциаль­ную форму (рис. 7.7):

/^>г(/) = </>-^!ехр (-//</».

(7.2.10)

Таким образом, средняя интенсивность {/} полностью определяет статистику стационарного хаотического поля (в одной точке и для одного типа поляризации). Обратим внимание на то, что чаще всего встречается нулевая интенсивность: Р (0)^Р (I). С помощью (10) легко найти моменты и дисперсию интенсивности:

Gf = п!</>", <Д/»> _Т = </>^s

(7.2.11)

индекс Т относится к хаотическому полю.

Другой характерный случай—излучение одномодового лазера со стабилизированной амплитудой (рис. 7.7). При этом

/»(/) = « (/-/„}, = /J, Д/ = 0. (7.2.12)

Формулы (Ш) — (12) не учитывают дискретности возможных зна­чений энергии ноля, т. е. его фотонной структуры, и поэтому пригод­вы лишь для классических полей, для которых фактор вырождения (N) (см. ниже) много больше единицы. Общий случай будет рассмотрен в § 7.6. Сейчас отметим лишь, что в квантовой теории непрерывное распределение (10) заменяется на «дискретно экспоненциальное», а (12) — на пуассоновское (рис. 7.7, в).

is

		(1 пТТ/Т, %
щ	n/vvv

№

Р F

Ркс. 7.7. Два основных Типа состояний поля. Показаны примерный вид изменения поля во времени с классической точки зрения (а) и соответствующие функции рас­пределении Р(\Е„\) — классические (б) в квантовые (в). В верхней части рисунка — квазимонохроматаческое ноле теплового излучения, квантового усилителя или гене­ратора ниже порога (флуктуируют и амплитуда, и фаза); в нижней — поле кванто­вого генератора выше порога (флуктуации амплитуды подавлены эффектом насыще­ния)

Корреляционные функции. Рассмотренные выше распределения или моменты интенсивности не несут никакой информации о корреля­ции между полями в соседних точках пространства — времени и между различными декартовыми компонентами поля. Полную информацию дает набор многомерных распределений или тензорных корреляцион­ных функций (КФ). Последние по Глауберу (54] определяются следую­щим образом (используется запись, пригодная и при квантовом рас­смотрении):

(7.2.13)

Здесь нижние индексы заменяют совокупность аргументов, например £₁ = £^,_С!| (r_lr ii). Мы для простоты рассматриваем лишь КФ с чет­ными числами полей, так как в оптике моменты типа <£₁£₂£_s> обычно равны нулю¹), и, кроме того, их непросто регистрировать.

КФ стационарного поля инвариантны относительно начала от­счета времени, т. е. относительно замены временных аргументов

i-П t_t +Д/ *_1Л+ДЛ (7.2.14)

где Д£ произвольно (удобно выбрать Д£=—/,).

Исключениями являются поля на выходе нелинейных сред, возбуждаемых внешним излучением |56, 58J или нагревом (37).

В результате G¹"¹ зависит от 2п—I временных аргументов, а ее фурье-образ — спектральная КФ G¹"'— от 2ft—1 частот. Например, «Ф первого порядка (КФ-1) имеет вид G(r_t, r_s,т); она называется функцией взаимной когерентности поля в точках г„ г_±, а ее фурье-образ G~(r_x, г_а, со) —взаимной спектральной плотностью. При r₁=r_i КФ-1 G(r, т) называется автокорреляционной функцией, a G (г, со) — спектральной плотностью. Традиционные поляризационные характе­ристики направленного излучения, например степень поляризация или параметры Стокса, также выражаются через КФ-1 при учете тензорных индексов [56]. При всех совпадающих аргументах КФ переходят в моменты интенсивности (тензорные индексы опускаем)

0Т.!л=<\£^ш(Ги Ml^ln>-<f"{rj>.- (7.2.15)

Среди всевозможных статистических моделей поля особое место занимает гауссова модель, в которой все КФ 'выражаются через КФ-1 [54]:

^и1...п1',..л'— j£j "11* ■ ' ^,иля'1

(7.2.16)

где 2' означает сумму из всех п\ перестановок штрихованных ин­дексов. Например,

0<&.= G<»G& + GI№ (7.2.17)

Всю информацию о гауссовом (хаотическом, тепловом) поле дает корреляционная функция первого порядка G_afj (г_х, г_г, т) или взаимная спектральная плотность G„_B {Г_lt г₂, со).

Для грубой характеристики квззимонохроматического направ­ленного неполяризованного гауссова поля достаточно задать в каж­дой точке для обоих типов поляризации (v —1,2) интенсивность G_v(r) и масштабы когерентности т_йПГ ~ 1 /А», р_ког. Смысл этих па­раметров поясняется ниже с помощью простых измерительных про­цедур.

Временная когерентность. Рассмотрим поле Е'(i) на выходе из интерферометра Майкельсона (рис. 7,8), Оно состоит из двух сла­гаемых, отличающихся сдвигом во времени на некоторое время за­держки i=V — t:

E'(t)=[E(t) + E(t')]>2,

тде £ (f)—поле в плоской волне на входе в интерферометр (без учета общей для обоих лучей задержки). В соответствии с (6) на­ходим интенсивность на выходе:

;'(0«[/(0+'(O + 2Re£--49£¹⁺4O]/4.

Отсюда в случае стационарного излучения

' (7.2.18)

</'> = [</> -f-ReG (т)];2 = </> [1 -f Re g (т)]/2, где

G (т) = <£<-> (0)£»-> (т)> = <£;(0)Е„ (т)>е"'^т/4 (7.2.19)

— автокорреляционная функция для поля на входе, связанная со­гласно теореме Винера — Хинчина со спектральной плотностью G(a) фурье-преобразованием, £(t)=G (т)/(/) — нормированная КФ и </)=G(0). Заметим, что КФ в оптике обычно нормируются на сред­ние значения, а не на стандартные отклонения Д/.

Согласно (18) зависимость интенсивности на выходе интеферометра от времени задержки определяет вещественную часть К.Ф-1. Можно показать, чот функция G (т), как и£* ^{+ |} (т), аналитична в нижней полу­плоскости, поэтому ее вещественные и мнимые части связаны преобра­зованием Гильберта, так что в принципе можно по интерференционной картине восстановить спектр излучения. Этот метод лежит в основе фурье-спектроскопии. С другой стороны, интерференция исследуемого поля с опорной когерентной волной служит источником информации в голографической интерферометрии.

Примерный вид интерференционной картины в случае одиночной спектральной линии показан на рис. 7.9. Относительный размах коле­баний выходной интенсивности называется видностью интерференци­онной картины или степенью когерентности. Согласно (18), (19) вид-ность практически совпадает с ]g(t)|.

Если определить время когерентности т_ког условием | g(x_ar>T) \—1/2, то из свойств фурье-преобразования следует t_Kor~ 2л/Дш. Отсюда длина продольной когерентности ст_вог имеет порядок обратной ши­рины спектра, выраженной в сантиметрах в минус первой степени:

L_or~ 2лс/Дш= l/Av.

(7.2.20)

Например, для линий с естественным уширением в видимом диа­пазоне Аа ~2- 10^ес~\ 1_клТ~ 10^ьсм. Наглядно это средняя длина цуга, испускаемого атомси при спонтанном излучении. В случае

_Одномодового лазера оценка по формуле Таунса (7.1.39) дает длину когерентности порядка световой секунды.

Пространственная когерентность. Корреляцию полей в двух точках г, и г₂ можно измерить с помощью интерферометра Юнга— экрана с дв^мя отверстиями, установленного перпендикулярно на­правлению на источник (рис. 7.10).

Рис. 7.10. Схема интерферометра Юнга (измерение радиуса поперечной когерент­ности)

Интерференционная картина в произвольной точке за экраном аналогично (18) определяется КФ-1 общего вида:

G_lt (т) = С {r_lt г,, т) - <£<"> (г 1, 0 t + т)>, (7.2.21)

а на оси симметрии —функцией G_la(0). Радиус когерентности р_ког определяется расстоянием между отверстиями, при котором в центре вндность падает до 50%.

Идеальный лазер, работающий на одной поперечной моде, излу­чает плоские или сферические волны, для которых р_ког=оо. В слу­чае же многомодового лазера или, вообще, хаотического (теплового) источника р_ног в дальней зоне (г^>а²Д) определяется поперечным размером источника а и расстоянием до него г (рис. 7.10):

(7.2.22)

где Од—угол дифракции и Ь_а—угловой размер источника. Радиус поперечной когерентности вследствие дифракции нарастает по мере распространения, излучения. Форма фазовых фронтов при этом вырав­нивается, приближаясь к сферической. Теорема Ван Циттерта — Цер-нике ГЗ, 53, 56], которая описывает это явление количественно, утверж­дает, что зависимость КФ-1 от (г_±—г₂)± является фурье-образом рас­пределения яркости по сечению источника.

Соотношение (22) позволило Майкельсону с помощью «звездного» интерферометра определить угловые диаметры некоторых звезд, для которых f}„SlO^-r рад и р_ког^10 м. При меньших г>_а радиус когерент­ности определяется уже искажениями волнового фронта атмосферой. Этого недостатка лишен интерферометр интенсивности Брауна — Твис-^са (см. ниже).

Объем когерентности и фактор вырождения. Объемом когерентно­сти называют произведение площади когерентности р£_ог на длину когерентности 1_КВГ. Для дальней зоны хаотического источника из (20) и (22) следует

V_Hor=X'/AXAQ_a,

(7.2.23)

где А). = №/1_ког ^н 4£!_а = (й/г)²—телесный угол, под которым виден источник.

Важным безразмерным статистическим параметром излучения является фактор вырождения-—средняя энергия поля (одной поля­ризации) в единицах %а>, заключенная в объеме когерентности, т, е. общее число фотонов в объеме V_KOr или, иначе, число фотонов, пе­ресекающих площадь когерентности за время когерентности:

S = <«?>_вог/&о. (7.2.24)

Выразим <(£>_KOr через спектральную яркость излучения:

<<£>_вог - /идЛыЛал^р^ = 2л1^я/_шй- (7.2.25)

Отсюда

6 = ^/_ай/&с = <ЛГ>.

(7.2.26)

Таким образом, фактор вырождения равен спектральной яркости в единицах %cfk³. Иначе, среднее число фотонов в объеме когерент­ности совпадает со средним числом фотонов в одной моде <Л?>. В равновесном поле S^ttf (<о) = [ехр (Ао/кТ)—I]^-1 (в неравновесном под Т следует понимать яркостную температуру Т_Эф).

Фактор вырождения 6 = </^> является не только удобной мерой спектральной яркости, он также определяет применимость класси­ческой статистики—при 5*^1 (г. е. Ь<а^%Т) становится существен­ной фотонная структура поля.

Разобьем пространство в дальней зоне квазимонохроматического источника на ячейки с объемом V_KEr. Излучение в любой паре точек, _лрйвадлежащих одной ячейке, по определению взаимно когерентно, и поле в пределах ячейки можно приближенно считать одномодовым, _т е. полагать его сферической монохроматической волной с определен­иями амплитудой \Е_а\ и фазой ф. При переходе от одной ячейки к дру­гой \Ео\ и ф будут флуктуировать случайным образом, Таким образом, пространственное распределение стационарного поля образует ан­самбль состояний гармонического осциллятора.

Поля, принадлежащие различным объемам когерентности, являются _по определению некоррелированными и, вообще, независимыми. Сле­довательно, в силу центральной предельной теоремы теории вероят­ностей распределение энергии в объеме У, много большем У_ког, будет гауссовым с дисперсией, обратно пропорциональной числу ячеек yJV_KOr- В квантовой области, когда fi^l, гауссово распределение для многомодового поля сменяется пауассоновским (§7.6).

В табл. 7.1 приведены некоторые характерные типы распределений энергии поля или числа фотонов. Состояния поля, названные условно К-фотонными, не имеют классических аналогов и проявляют эффекты антигруппировки и сверхгруппировки фотонов (§ 7.6.).

Статистика фотоотсчетов. Формула Манделя. Закон распределения интенсивности поля в одной «точке» можно измерить с помощью ФЭУ, работающего в режиме счета фотонов. При этом средняя интенсивность света (/) устанавливается достаточно малой, чтобы на выходе ФЭУ возникали отдельные неперекрывающиеся импульсы тока (рис. 7.IJ). Многократный подсчет числа импульсов т, появляющихся за некото­рый фиксированный интервал выборки Т, позволяет найти закон распределения Р{т) числа первичных фотоэлектронов, вырывае­мых падающим светом из фотокатода (общая длительность измере­ния должна значительно превышать, конечно, время когерентности

Найдем связь статистик фотоотсчетов и поля. Пусть 7*<^т_ког и А<^Л_кт, тогда можно пренебречь изменением интенсивности поля за время одной выборки Т и вдоль поверхности катода Л. При этом усло­вии распределение Р(т) будет определяться через Р(1) независимо от объема детектирования V_aeT=cTA. Здесь т_ног, Л_кпг=^_ог—харак­терные масштабы флуктуации поля и указанные неравенства позво­ляют считать детектор «точечным» или «одномодовым», т. е. измеряю­щим одну степень свободы поля (для этого надо, чтобы он измерял один тип поляризации).

Предположим сначала, что интенсивность поля / постоянна, т. е, не меняется от выборки к выборке. Существенно, что даже в этом слу­чае число фотоэлектронов в одной выборке является, согласно прин­ципам квантовой механики, случайным, непредсказуемым. Сам про­цесс измерения энергии поля неизбежно вносит дополнительную пуас-соновскую стохастичность в показания детектора (если исключить не­реалистичный случай 100%-ного квантового выхода ФЭУ и чистого Энергетического состояния поля с определенным числом фотонов). С помощью шлуклассическон (§2.1) или полностью квантовой (§ 7.7)

теории возмущения мы можем определить лишь вероятность W^At-^J ионизации одного атома катода за малый интервал At.

В случае достаточно малого At вероятность ионизации любого из Л' независимых атомов детектора будет в N раз больше и также

4 о

_ML

пропорциональна /:

(7.2.27)

Здесь а—-коэффициент пропорциональности, который можно пред­ставить в виде

a = r\V_at^2nAw, (7.2.28)

где У_дет = сТА — эффективный объем детектирования, i\ = atN₀ — = аМ/А — кван1овый выход тонкого кагода толщины I, а—сечение ионизации и N„ = NjAl—концентрация атомов (считаем, что о постоянно в пределах ширины спектра поля).

По предположению все моменты времени в пределах Т равно­правны, так как на катод падает «чистая» синусоидальная волна, л электрон может появиться с равной вероятностью а/ At/T в любом малом интервале At. Такая вероятностная модель, как легко пока­зать (см., например, [24]), приводит к распределению Пуассона с параметром а.Г.

Р (m7) = C(a/)^ffl/m!, C = e~^aI, (7.2 29)

Для учета флуктуации интенсивности от выборки к выборке надо усреднить (29) с помощью распределения Р(1):

Р (m)=$ <*1РИ/)^рО = Н')>. (7.2.30)

и

Б результате получаем полу классическую формулу Манделя для распределения фотоотсчетов, т. е. для вероятности обнаружения щ импульсов на выходе ФЭУ:

Р(т)=ф1)^ше-^а'У1т1

(7.2.31)

Квантовая теория, развитая в основном Глаубером (§ 7 6), дает такое же по форме выражение с тем лишь отличием, что вероят­ность Р(1) заменяется на кеазивероятность—функцию, которая при некоторых состояниях поля имеет отрицательные значения к принимает сингулярные формы (типа производных от б-функции).

Разложение (31) в ряд по аепеням эффективности детектора а позволяет выразить Р (т) через старшие моменты интенсивности

= </*>, где k^m:

Р(т) = § (—I)*—ec*G«ymr(ft—т)\ (7.2.32)

При достаточно малом объеме детектирования (<х ~ ТА —► 0) Можно, как правило, учитывать лишь первый член этого ряда, т. е. пренебрегать экспонентой в (31). При этом Р (т) можно пред­ставить в виде

P(m)^W^^^p<Wf\ (7.2.33)

где W^ia»—m-я производная Р{т) по Т, ^—вероятность иониза­ции первого атома в единицу времени, Л' — общее число атомов Детектора.

Формула Манделя (31) описывает ансамбль выборок, отличаю­щихся сдвигом ео времени (благодаря предполагаемой стационарности ^и эргодичности поля). Легко видеть, что в случае однородного и «про-странственно-эргодичного» по осям х, у излучения, распространяю­щегося примерно вдоль оси г, эта же формула описывает ансамбль Сборок, отличающихся сдвигом в плоскости х, у. Это, в принципе, Позволяет исследовать «в реальном времени» статистику нестацнонар­ных полей с помощью большого числа счетчиков, расположенных в различных точках сечения пучка на площади, много большей Л_кор, Далее, из вывода формулы (31) ясно, что она справедлива и в случае произвольного объема детектирования К_дег = с7*А, если под / понимать усредненную по V_act интенсивность:

1{г, t) **jf§dx' йу' 6ХЧ (*', у', z. Г), (7.2.34)

где пределы интегрирования х±а/2, у±(з/2, £±772 определяются размерами и постоянной времени детектора. При этом распреде­ление Р (I) надо заменить на Р (7). В предельном случае Л ^> Л_К(1Г и/или Т ^> Т_ког («многомодовое» детектирование) флуктуации / полностью усредняются: Р(1) = б(/ —</», так что из (31) получаем снова распределение Пуассона P(m]</», но уже не зависящее от статистики поля. Наблюдая зависимость Р(т) от А, Т в промежу­точном случае, можно, в принципе, получить информацию о мас­штабах когерентности поля.

Группировка фотонов. Связь (31) между распределениями опре­деляет и связи между моментами фотоотсчетов

<ш^й>= 2 m*P(m) (7.2.35)

и моментами интенсивности

fD

</*>™ Jd//V(/). (7.2.36)

о

Методом производящих функций (§ 7.6) легко найти общее правило

<m(m—1) . .. (m—fe + 1 )> = «*</*>. (7.2.37)

Слева здесь стоит линейная комбинация моментов, называемая факгпориадьным моментом порядка k. Отсюда, в частности, следует <;я> =а </> и

(Am*> = <m> + a^a<A/^s>,

(7.2.38)

<Д/⁸> = <Р> — </>², (7.2.39)

и аналогично для (Am²). Таким образом, флуктуации фотоэлектронов содержат кроме обычной пуассоновской (дробовой) части дополнитель­ный вклад от флуктуации интенсивности света. Лишь в случае одно-модового стабилизированного лазера (Д/=0) этот вклад отсутствует. В других случаях флуктуации электронов согласно (38) должны, казалось бы, всегда превышать дробовой шум, так как из определения (39) и условия Я(/)>0 следует (Д/³}^0.

Наличие этих «избыточных» флуктуации получило название эф­фекта группировки фотоотсчетов, поскольку в пуассоновском потоке импульсов появление одного импульса по определению никак не влия­ет на появление следующего и неравенство (Дт³)>(«г> означает «тен~ денцию» импульсов к группировке. Аналогичный эффект {AN²)>(N} для чисел фотонов называется группировкой или корреляцией фотонов. близкий эффект был обнаружен Брауном и Твиссом в 1956 г. в хаоти­ческом свете ртутной лампы.

В хаотическом свете из (11) и (38) Следует

<Am²>_r = <m>(i + <m», (7.2.40)

_т. е. избыточная часть дисперсии в (т) раз превышает пуассоновскую, так что аффект группировки фотонов сильнее проявляется в классиче­ских полях. С классической точки зрения сильные флуктуации ампли­туды волны \Е_а\, образованной множеством независимых источников со случайными фазами, совершенно очевидны. Более неожиданной для классической теории является антигруппировка фотонов и соот­ветственно фотоотсчетов, при которой Дт³<{т) в противоречии с (38) и исходной формулой Манделя (31), если в ней полагать Р(1)^Ь (в квантовой теории последнее условие, как уже отмечалось, нару­шается).

Корреляция интенсивностей. Распределение фотоотсчетов (31) не дает прямой информации о временном или пространственном спект­ре излучения, так как выражается через «одноточечные» К,Ф со всеми совпадающими аргументами (см. (32)). Чтобы определить полностью КФ и-го порядка, надо измерять поле в In точках пространства — времени. В случае КФ-1 это осуществляется с помощью интерферо­метров, как это было схематически описано выше.

Рассмотрим теперь измерение корреляционной функции интенсив­ности, а именно КФ-2 следующего частного вида;

G«>(x_tl х₃, х„ х_Л) = GJ? (т) = <:/ (х,) I (*,):>, (7.2.41)

где х, = {г,-, t_£}, i^t_u~t₁ и вектор г₂ —г_х = р перпендикулярен направлению распространения. Двоеточия напоминают, что при переходе к квантовой теории необходимо перед усреднением пере­ставить все операторы £^{< + )} правее

В случае гауссова поля с помощью (17) находим

G<*> (т) = <Л> </₂> [1 +1 g}» (т) |»], (7.2.42)

^гД^е giV (т)—нормированная КФ-1- Таким образом, в хаотиче­ском поле измерение корреляции интенсивностей дает информацию и о корреляции амплитуд. Эта связь G^,2) и G¹¹¹ лежит в основе спектроскопии оптического смешения [57], используются также тер­мины спектроскопия флуктуации интенсивноспш или метод корре­ляции фотонов.

В общем случае G'³' не выражается через G¹¹¹ н масштабы когерентности второго порядка могут отличаться от р^_г, т™_г: так, в «двухфотонном свете» р^г^Рког'

Для измерения временной зависимости G¹²ⁱ(t) при р= 0 используют один детектор с линией задержки и электронным коррелометром. Можно также применять спектральный анализ флуктуации фотото­ка. Впервые эксперимент такого типа был проведен Форрестером,

Гудмунсеном и Джонсоном в 1955 г. еще до появления лазеров¹). Современная аппаратура позволяет получить спектральное разреше­ние вплоть до долей герца.

Для исследования пространственной когерентности второго по­рядка G^(s(p) необходимо использовать два детектора с переменным расстоянием р между ними. Согласно (42) при изменении р от со до О 0^<г) возрастает в идеальном случае вдвое (рис. 7.12). Этот эффект был обнаружен Брауном и Твиссом в 1956 г. и использован ими для изме­рения угловых диаметров звезд [59], интенсивности которых коррели­руют на расстояниях порядка сотен метров.

Схема эксперимента Брауна — Твнсса по измерению G^lal(p) ^в свете ртутной лампы представлена на рис. 7.13. Расщепление луча с по­мощью полупрозрачного зеркала позволяет измерять корреляцию поля в сколь угодно близких точках. Пусть ФЭУ работают в режиме счета фотонов, тогда корреляция отсчетов в двух каналах On-irtlj) равна aia_a{/i/_s). Отсюда с помощью (42) находим

<_mim_a>- <m_x> <m₂> (1 + |g™ (0) | •). (7.2.43)

Этот результат справедлив лишь в случае одномодовых детек­торов, когда постоянная времени детектора Т много меньше t_K(lt и апертура детектора А много меньше Л_вог. Если же, например, 7¹^?т_КП1„ то во втором слагаемом (43) появляется малый множи­тель порядка r_KOtjT, что уменьшает наблюдаемый эффект.

Эффект корреляции интенсивностей тесно связан с флуктуациями интенсивности света на входе интерферометра Брауна — Твисса. Действительно, пусть /, и /_я—случайные интенсивности в плечах интерферометра и Д/j, Д/_а — их флуктуации (Д/„ = /„ — </„>)- Выход-

') Возможность проведения аналогичных экспериментов по «гетеродинировадик» света обсуждалась еще раньше Гореликом [63].

_ЯОи сигнал <i₁i₄> пропорционален

</Л> = <Л> <Л> + <ЛЛ АЛ>- (7.2.44)

Второе слагаемое здесь характеризует взаимную корреляцию интен сивностей. Из условия /₁-_г-'^,_г = / находим связь

<Д/г> = <(Д/₁ + Д/_г)*> = <Д/²> ₊ <Л/М 2<Д/₁Д/_г>. (7.2.45)

Таким образом, корреляция, определяется дисперсиями:

^ЛД/^ва/г)^/»)—<д/;>-<д/;». (7.2.46)

Предположим сначала, что падающий свет имеет постоянную интенсивность (излучение одномодового лазера), тогда Д/„=0 и согласно (46) корреляция равна нулю. При этом </₁/_в> =■ </i></_a>. Пусть теперь на интерферометр падает обычный свет от теплового или люминесцентного источника, тогда согласно (II) <Д/^г> = <У>². Предположим, что такие же связи имеют место и для вторичных пучков: <Д/„> = </„>^в. Отсюда с помощью (46) находим (рис. 7.12)

<Д/₁Д/_г) = (1/2)«/>^-</₁>²-</^) = </₁></_а>, (7.2.47)

вЯ?^</Л>/</1><Л> = 2.

Проведенное рассуждение легко повторить на фотонном языке, заменив 1_а на числа фотонов N_a. При этом надо добавить к дис­персии дробовые (пуассоновские) шумы, так что

<А№>_ХЗЭ = <N>, <AN*>_T - <N> + <N>*. (7.2.48)

Результат, по существу, будет тот же: е тепловом излучении имеется корреляция фотонов, вызванная их группировкой или, иначе говоря, наличием избыточных (по отношению к дробовым) шумов.

Рассмотрим далее поле с определенным числом фотонов N. Эти JV фотонов распределяются полупрозрачным зеркалом случайным обра­зом по двум каналам с вероятностями р и q=l—р. Эта картина соот­ветствует известной вероятностной модели Бернулли [241, согласно которой вероятность того, что в первый канал попадет N_x фотонов, определяется биномиальным распределением:

р (Л^) = CU'/V'^-*'- (7.2.49)

Моменты этого распределения имеют вид

Отсюда находим

<₁V₁W_a> = (l/2)(W²-<^>-<rVl» = p<_?N(W-l). (7.2.51) Примечательно, что теперь корреляция отрицательна: <AN, AN_S> <ЛГ₁г/_в>- <^> <JV₂> = - pqN. При этом (рис.. 7.12)

gg= 1 —1/ЛГ. (7.2.52)

Таким образом, антигруппировка фотонов в исходном пучке приводит к шнтикорреляции» фотонов в разделенных пучках.

Рассмотрим, наконец, общий случай с произвольной статистикой поля. Для этого надо вторично усреднить (51) по распределению фо­тонов P{N) в падающем поле. В результате находим

<(V₁iV_a> = pa<:N*:>_t g[%> = <:>/<ЛГ>» ^ g<«, (7.2.53)

где (:N*:)^.(N (N—1)) — нормальней (или факториальный) момент и угловые скобки означают усреднение по распределению Р (ЛГ). Итак, относительная корреляция чисел фотонов в двух точках поля gfS—l определяется нормированным факториальным моментом поля g^\ Этот же результат следует из более строгой квантовой теории поля (см. (7.6.31)).